Колебания и волны

Период математического маятника

Период математического маятника — период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается

\LARGE T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}


Для математического маятника выполняются некоторые законы:

1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом..

Период математического маятника

Давайте выведем формулу периода математического маятника.

На груз m математического маятника действуют сила тяжести mg и сила упругости нити Fynp. Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для данного случая:

\Large m \vec a= \vec F_{упр}+m\vec g

С проецируем все на ось ОХ:

\Large ma_x=mg\cdot sin\theta

При малых углах sin\theta

\Large sin\theta=\theta =\frac{x}{l}

Сделав замены и маленькие преобразования у нас получается, что уравнение имеет вид:

\Large a_x+ \frac{g}{l}x

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

\Large a_x(t)+\omega ^2 x(t)=0

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

\Large \omega=\sqrt{\frac{g}{l} }

Тогда период математического маятника будет равен:

\Large T=\frac{2\pi }{\omega } =2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

Период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Так же мы установили количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2p

Так же есть:

Период пружинного маятника T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Период физического маятника T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgl}}

Период крутильного маятника T=2\pi \sqrt{\frac{I}{K}}

В Формуле мы использовали :

 T — Период математического маятника

L — Длина подвеса

g=9.8 — Ускорение свободного падения

\omega  — Циклическая частота пружинного маятника

F_{упр} — Сила упругости

x — Длина дуги АВ