Броуновское движение Молекулярная физика

Барометрическая формула

Барометрическая формула — определяет зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести

\Large P=P_0\cdot \exp  [\frac{Mgh}{RT}]


Давайте теперь узнаем, откуда же получается барометрическая формула. Давление газа на некой высоте, определяется как :

\Large P=\frac{F}{S}=\frac{\rho ghS}{S}=\rho gh

Теперь возьмем колонну в атмосфере и выделим в ней тонкий слой воздуха высотой dh. Ясно, что такой слой вызывает изменение давления на величину dP :

\Large dP=-\rho gdh

Знак минус необходим для того, что с увеличением высоты давление уменьшается

Барометрическая формула

Рассматривая атмосферный воздух как идеальный газ, можно воспользоваться уравнением Менделеева — Клапейрона

\Large PV=\nu RT=\frac{m}{M}RT

Из этого уравнения выражаем давление

\Large P=\frac{m}{VM}RT=\frac{\rho}{M}RT

А теперь можно и плотность газа

\Large \rho=\frac{MP}{RT}

Подставляя найденную плотность газа в дифференциальное уравнение dP, мы получаем :

\Large \frac{dP}{P}=\frac{Mg}{RT}dh

Сделав все преобразования. мы получаем зависимость давления P от высоты подъема h. Теперь необходимо проинтегрировать обе части нашего уравнения:

\Large\int \frac{dP}{P}=\int \frac{Mg}{RT}dh

Проинтегрировав, у нас полечилась вот такое уравнение:

\Large \ln P=-\frac{Mgh}{RT}+\lnP_0

И теперь последний рывок, это взять логарифм. И у нас получится Барометрическое уравнение.

\Large P=P_0\cdot \exp  [\frac{Mgh}{RT}]

В Формуле мы использовали :

 P — Давление газа (атмосферное)

 P_0 — Давление газа над уровнем моря

h — Высота над уровнем моря

\rho — Плотность газа

g=9,8 — Ускорение свободного падения

k=1.38\cdot10^{-23} — Постоянная Больцмана

T — Температура

 m — Масса одной молекулы

R=8.31 — Универсальная газовая постоянная

 M — Молярная масса

\nu — Количество вещества

 N_a=6,02\cdot10^{23} — Число Авогадро