Ускорение свободного падения на земле и на луне

Задача по физике — 2263

ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-02-19   Космический корабль движется к Луне под влиянием ее притяжения. На „большом расстоянии от Луны скорость корабля относительно нее была нулевой. На какой высоте от поверхности Луны должен быть включен тормозной двигатель для осуществления мягкой посадки, если считать, что двигатель создает пятикратную перегрузку ($5g$)? Ускорение свободного падения на поверхности Луны в $n=6$ раз меньше, чем на Земле ($g_{л}=g/6$). Радиус Луны $r_{л} \approx 1,7 \cdot 10^{3} км$. Изменением массы корабля при торможении пренебречь. Считать ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны постоянным.

Решение:Потенциальная энергия взаимодействия дзух точечных зарядов, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга, описывается формулой
$W_{e} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{r}$,
где отличие от выражения для кулоновской силы
$F_{e} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{ q_{1} q_{2}}{r^{2}}$
только в показателе степени $r$. Используя аналогию между законом Кулона и законом всемирного тяготения $F = G m_{1}m_{2}/r^{2}$, запишем выражение для потенциальной энергии двух притягивающихся (поэтому появляется знак «—») точечных масс:
$W = — G \frac{m_{1}m_{2}}{r}$.
Вне шара поле сил тяжести таково, как если бы вся масса была сосредоточена в центре шара. Поэтому для тела, находящегося на поверхности шара или очень близко к ней, в качестве $r$ надо брать радиус шара. Для земного шара у его поверхности имеем
$W_{0} = — G \frac{mM_{З}}{r_{З}}$.
В то же время сила тяжести на поверхности Земли
$mg = GmM_{З}/r_{З}^{2}$; отсюда $GM_{З} = gr_{З}^{2}$.
Подставляя полученное для $GM_{З}$ выражение в формулу для $W_{0}$, получаем
$W_{0} = — mgr_{З}$.
Если речь идет о Луне, то вместо $r_{З}$ надо взять раднус Луны $r_{Л}$ и ускорение свободного падения на Луне $g_{Л} = g/6$. Таким образом, для Луны находим
$W_{0} = — mgr_{Л}/6$.
В момент начала движения корабля к Луне его кинетическая энергия по условиям задачи равна нулю, в нуль обращается и потенциальная энергия из-за большого расстояния $r$ до центра Луны. В момент включения двигателя кинетическая энергия корабля равна $mv^{2}/2$, а потенциальная равна $- mgr_{Л}/6$. Закон сохранения энергии дает
$0 = \frac{mv^{2}}{2} — \frac{mgr_{Л}}{6}$, откуда $v^{2} = \frac{gr_{Л}}{3}$.
Считая $a = 5g$ (влиянием добавки к ускорению, равной $-g/6$, можно пренебречь), из кинематических соотношений для равноускоренного движения с начальной скоростью $v$ получаем $v^{2} = 2ah = 10gh$, Подставляя выражение для $v^{2}$, имеем
$gr_{Л}/3 = 10gh$, откуда $h = r_{Л}/30 \approx 60 км$.

Ссылка на основную публикацию