Напряженность электрического поля. электрическое смещение

5.Понятие ротора

Поле по своей структуре может быть достаточно неоднородным. Циркуляция же не дает детальной характеристики поля. Следовательно, начнем стягивать контур интегрирования к какой-либо точке М (уменьшать турбину). Циркуляция при этом будет стремиться к нулю, но и площадь,
охваченная контуром, также будет стремиться к нулю. А их отношение дает конечное число.

Турбину можно ориентировать в пространстве тремя независимыми способами. Следовательно, таким способом можно получить 3
независимых числа, а три числа – это вектор, следовательно, образуется векторная характеристика поля, которая и называется ротором.

Ротор – это локальная или дифференциальная характеристика.

Понятие о поверхностных интегралах. Поток векторного поля

Пусть в каждой точке некоторой поверхности S определен непрерывный вектор
Зададим направление нормалик поверхности S (эту сторону поверхности считаем положительной). Проекциявекторав каждой точке M поверхности S будет являться скаляром. Поэтому функциябудет скалярной функцией и от нее можно вычислить поверхностный интеграл первого рода.
    Определение 5:Поверхностным интегралом второго родаот векторапо поверхности S называется поверхностный интеграл первого рода от проекцииэтого вектора на вектор нормали n к S и обозначается

В теории поля поверхностный интеграл второго рода называетсяпотоком векторного полячерез поверхность.

Примерыпотоков векторных полей
1)Поток  электрического поляточечного заряда напряженностьючерез замкнутую поверхность S, охватывающую этот заряд, равен

.

2)Поток магнитного поляс индукциейчерез поверхность S равен

     Из этой статьи Вы узнали:

  • основные вида простейшихвекторных полей:соленоидальное,потенциальноеигармоническое
  • способы определения вида векторного поля
  • циркуляциювекторного поля и формулу подсчетациркуляции
  • поток векторного поляи формулу подсчета потока векторного поля

Векторные поля

К простейшим векторным полям относятся:соленоидальное,потенциальноеигармоническое.

    Определение 1: Векторное поленазываетсясоленоидальнымилитрубчатым, если во всех точках поля Соленоидальное полене
имеет ни источников, ни стоков, его векторные линии замкнуты.
Поскольку  div\vec{B}=0, то поле вектора магнитной индукции
является соленоидальным.

    Определение 2: Векторное поленазываетсяпотенциальнымилибезвихревым, если во всех точках поля    
Для потенциального векторного полявсегда найдется такая скалярная функция  u(M) (потенциал векторного поля), что.Потенциал векторного поляможно найти по формуле

где  – произвольная точка поля, в которой функции P, Q, R определены, С – произвольная постоянная.

    Определение 3: Векторное поле называетсягармоническим, если во всех точках поляи                 
и  
т.е. поле являетсясоленоидальнымипотенциальным.
Потенциал u гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа

Циркуляция — вектор — напряженность — магнитное поле

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме только макроскопических токов, охваченных контуром интегрирования. Формула ( 3 — 5) называется законом полного тока.

Вычислим циркуляцию вектора напряженности магнитного поля Н по контуру абвга, элемент бв которого ( равный dx) лежит в диэлектрике непосредственно у поверхности идеального проводника, а элемент га — в толще идеального проводника бесконечно близко от его поверхности.

Ограничение магнитного поля током на поверхности идеального проводника.

Вычислим циркуляцию вектора напряженности магнитного поля Н по контуру абвг, элемент бв которого ( равный dx) лежит в диэлектрике непосредственно у поверхности идеального проводника, а элемент га — в толще идеального проводника бесконечно близко от его поверхности.

Составим выражение для циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру I. Если проводник расположен от элемента контура на расстоянии г ( рис. 13.6), то длину элемента контура можно выразить через угол, под которым он виден с линии электрического тока: dl гиф.

Справедливо ли выражение циркуляции вектора напряженности магнитного поля по круговому контуру радиуса г с центром на оси стержня: 2пгН1, если: а) контур проходит внутри стержня; б) снаружи. Контур расположен в плоскости нормального сечения стержня.

Использовать уравнение Максвелла, определяющее циркуляцию вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру, и осевую симметрию задачи.

Выражение § Hidl иногда называют циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру. В соответствии с этим иногда изменяют и формулировку закона полного тока.

Интеграл (29.1) выражает закон полного тока: циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром интегрирования. Как известно, положительными считаются токи, направление которых образует правовинтовую систему с направлением обхода контура.

Уравнение (4.44) выражает закон полного тока: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром.

Выражение § Н ( dl иногда называют циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру. В соответствии с этим изменяют и формулировку закона полного тока.

Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

Самое важное в этой главе — обобщение теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля Я.

Формулы (52.7) и (52.8) выражают теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.

Принципиальное отличие магнитного поля от электрического заключается в том, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля не равна нулю.

4.Понятие о циркуляции

Пусть в некоторой области пространства существует векторное поле .

Циркуляцией вектора  по произвольному замкнутому контуру L
называется следующий криволинейный интеграл:

Здесь  — единичный вектор, касательный к контуру в данной точке, направленный в сторону положительного обхода контура.

Существует соглашение, что положительное направление обхода контура (направление ) выбирается таким, чтобы область, охваченная
контуром, оставалась при обходе слева.

Напомним, вкратце, как можно “сконструировать” криволинейный интеграл. Для этого нужно
выбрать точку на контуре, показать в ней вектор , в этой же точке показать единичный вектор
касательной, вычислить скалярное произведение , разбить контур на малые элементы, длину элемента обозначить , вычислить произведение ; проделать это для всех элементов контура; произвести суммирование результатов,
устремляя элемент длины контура  к нулю — перейти от суммирования к интегрированию.

Так же, как и поток, циркуляция является ещё одной характеристикой свойств векторного поля. А именно, циркуляция характеризует
степень завихренности векторного поля.

Пример: если в качестве «измерителя» циркуляции поля скоростей жидкости можно взять турбинку, то если она вращается, циркуляция не равна нулю.

Циркуляция – это интегральная характеристика поля.

Циркуляция векторного поля

     Рассмотрим непрерывное векторное полеопределённое в каждой точке гладкой замкнутой кривой L.
    Определение 4:Циркуляцией С векторного полявдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

     В случае, когда векторное полеявляется силовым полем,циркуляциядаёт величину работы этого поля вдоль кривой L .
     Если кривая L лежит в плоскости xOy, то
направление обхода против часовой стрелки считается положительным, а по
часовой – отрицательным.

Примеры циркуляцийвекторных полей:
1.    Циркуляция вектора напряженностиэлектрического поля вдоль контура L равна э.д.с.,  возникающей в этом контуре
2.    Циркуляция вектора напряженностимагнитного
поля вдоль контура L равна силе тока в этом контуре {tex}C =
\oint_{L}\vec{H}d\vec{l} =
i{/thttp://naotlichno.by/administrator/index.php?option=com_content&sectionid=0&task=edit&cid[]=22ex}

10.Разность потенциалов

Поделим работу на заряд.

Правая часть зависит только от самого поля. Следовательно, и левая часть также является характеристикой поля. Её называют разностью потенциалов.

Разностью потенциалов между двумя точками
электростатического поля называется отношение работы, совершенной полем по
перемещению пробного заряда между этими точками к величине этого заряда.

Следующее выражение – интегральная связь между разностью потенциалов и напряженностью.

Не следует путать разность и изменение.

Замечание: Потенциальная энергия (потенциал) определяется с точностью до постоянной, и физический смысл имеет не она сама, а её изменение или разность.

Замечание: Потенциал и напряженность – это две равноправные характеристики поля.
Напряженность – это силовая характеристика, а потенциал – энергетическая.

Замечание: Если рассматриваемая среда не вакуум, то напряженность и потенциал в e  раз меньше, где e – диэлектрическая проницаемость среды.

Ссылка на основную публикацию