Амплитуда затухающих колебаний маятника за время совершения 231 колебания уменьшилась вчетверо. определите логарифмический декремент затухания

ЗАДАЧИ

Собственные
незатухающие колебания:

1.
В контуре, состоящем из конденсатора емкости C и катушки с индуктивностью L, происходят свободные незатухающие
колебания с амплитудой  напряжения на конденсаторе Um . Найти ЭДС самоиндукции в катушке в моменты,
когда ее магнитная энергия оказывается равной электрической энергии конденсатора.

Решение:

Согласно закону
Ома RI =
+U εс , где U       напряжение на конденсаторе

(U =ϕ ϕ1
2).
В нашем случае R =
0 , поэтому εс =−U .

Остается найти напряжение U в моменты, когда электрическая
энергия конденсатора равна магнитной энергии катушки. При этом условии можно записать: , откуда U = Um . 2

В результате имеем
εс =
Um .

2

Ответ: εс =
Um .

2

2.
Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L и незаряженного конденсатора
емкости С. Активное сопротивление контура R = 0 . Катушка находится в постоянном магнитном поле так,
что полный магнитный поток, пронизывающий ее витки, равен Φ.
В момент t =
0 магнитное поле резко
выключили. Найти ток в контуре как функцию времени t.

Решение:

При резком выключении внешнего магнитного поля
в момент t =
0 появится индукционный
ток, но конденсатор будет еще не заряженным.

Поэтому согласно закону Ома RI =− ddtΦ−
L dIdt .

В данном случае R = 0 и, значит, Φ+
LI =
0. Отсюда Φ=
LI, где I начальный ток (непосредственно
после выключения поля).

После выключения внешнего поля процесс будет описываться уравнением

0 =− −Cq L dIdt (1).

Продифференцировав
это уравнение по времени, получим d Idt22 + LC1 = 0. Это уравнение гармонических колебаний, его решение
ищем в виде

I = Im cos(ω
αt + ).

Постоянные Im
и α
находим из начальных условий I
(
)0 =
I, dIdt (
)0 =
0

(второе
условие следует из уравнения (1), т.к. в начальный момент t = 0 конденсатор был не заряжен).
Из этих условий найдем α= 0, Im = I. В результате I = Icosωt =ΦL cosωt, где ω=
LC1 .

Ответ: I = I0 cosω0t =ΦL cosω0t.

Добротность
контура:

3. 
Колебательный
контур с малым затуханием имеет емкость C и индуктивность L. На поддержание в нем незатухающих гармонических
колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе Um необходимо подводить среднюю мощность P . Найти добротность контура.

Решение:

Вследствие
малости затухания добротность равна Q, где W  энергия, запасенная в контуре,
δW  уменьшение этой энергии
за период колебания T .
W =
CU2 m2 и δW = P T . В нашем случае T T=

LC .

Окончательно получим
Q =
2UPm2 CL .

Ответ: Q = 2UPm2 CL .

Затухающие
колебания:

4. 
В колебательном контуре имеется конденсатор емкости C , катушка индуктивностью
L, активное сопротивление
R и ключ. При разомкнутом
ключе конденсатор зарядили, а затем замкнули. Найти отношение напряжения на конденсаторе
к его амплитудному значению в начальный момент (сразу после замыкания ключа).

Решение:

Напряжение на конденсаторе будет зависеть от времени так же как
заряд, поэтому запишем U =U em −βt cos(ω
αt +
).

В начальный момент t = 0 напряжение U ( )0 =Um cosα, где
Um  амплитуда в этот момент. Нам надо найти U (
),
т.е. cosα.
Um

Для этого воспользуемся другим начальным условием: в момент t = 0 ток

I = =q! 0. Т.к. q =
CU , то достаточно
продифференцировать первое уравнение по времени и полученное выражение при t = 0 приравнять к нулю. Получим −βcosα ω α−
sin =
0, откуда tgα=−.

Поэтому
искомое отношениеUU(
)m=
cosα=
1+1tg2α =
1+1

2 .


Принимая          во
         внимание,          что          ω ω2 =
2 −β2, запишем

UU(
)m0 = 1−ωβ0 2 = 1− R C42L ,
где учтено, что β= 2RL и ω02 = LC1 .

Ответ: U (
)0 =
1−
R C2  .

                     Um                          4L

5. В колебательном
контуре с емкостью C
и индуктивностью L совершаются
затухающие колебания, при которых ток меняется со временем по закону I t( )=
I em −βt sinωt . Найти напряжение на конденсаторе
в зависимости от времени.

Решение:

Выберем положительное направление обхода контура
контур по часовой стрелке. Согласно закону Ома для участка контура 1RL2 имеем

RI =ϕ ϕ1
2 c . В нашем случае εc =−LI и ϕ
ϕ2
1 =
Cq =Uc , где q  заряд на обкладке 2, поэтому 
первую формулу можно переписать так: Uc =−RI LI!. После подстановки сюда
выражения для I t(
) и его производной получим

7.3. Характеристики затухающих колебаний

Из решения
дифференциального уравнения видно, что амплитуда затухающих колебаний
уменьшается с течением времени по закону . Чем
больше коэффициент b,
тем быстрее уменьшается амплитуда колебаний. Поэтому его называют коэффициентом
затухания.

Поскольку , постольку колебания затухают тем быстрее,
чем больше коэффициент трения r и чем меньше масса колеблющегося груза m.

Этот вывод достаточно легко
понять – чем больше трение, которое препятствует всякому движению, тем быстрее
пре-кратится колебательное движение реального осциллятора. Умень-шение массы
означает, что уменьшается запас кинетической энергии осциллятора и поэтому при
равном трении энергия будет быстрее израсходована на его преодоление.

Если обозначить символом t время, за которое амплитуда колебаний
уменьшится в е раз, то , т. е. bt = 1 и .

Таким образом, b есть величина, обратная времени, за
которое амплитуда уменьшается в е раз.

Время t называют временем релаксации

В качестве характеристики
затухания колебаний используется также логарифмический декремент затухания

,

где A(t) –
амплитуда колебания в некоторый момент t; A(t + T) –
амплитуда колебания через один период затухающего колебания.

Из последнего соотношения
следует, что l = bT.

Целесообразность использования такой
характеристики видна из следующего.

Поскольку l = bT, а
b = 1/t, постольку .
Но Т – это время, за которое совершается одно колебание, а t – время, за которое произойдёт, в
общем случае, несколько колебаний*.

Тогда

,

где Nе – число
колебаний, в ходе которых амплитуда уменьшится в е раз.

Таким образом, b и l являются характеристиками затухания, дополняющими друг друга:
b показывает, как быстро затухают
колебания, но при этом не содержит информации о количестве колебаний; l же показывает, за сколько колебаний
амплитуда уменьшится в е раз, но ничего не говорит о времени, за которое
произойдёт это уменьшение.

Из решения
дифференциального уравнения также следует, что частота затухающих колебаний w меньше частоты колебаний идеального
маятника wо: .

Циклические частоты w и wо соотносятся
следующим образом. Допустим, маятник совершает затухающие колебания с частотой w; если избавиться от трения, он будет
совершать гармонические колебания с частотой wо.

Поскольку , где r – коэффициент трения, с
ростом трения частота затухающих колебаний уменьшается.

Колебания, совершаемые
пружинным маятником с трением, не являются гармоническими.

____________________________

* В ходе этих колебаний амплитуда как
раз и уменьшится в е раз.

Они также не являются и
периодическими. Однако в физике принято использовать так называемый период
затухающих колебаний ; при этом под Т
подразумевают время, за которое совершается одно колебание. 

Превращения энергии при колебаниях. Затухающие колебания

Свободные колебания могут совершаться за счет первоначального запаса энергии. Вернемся к предыдущим рассуждениям: в первом примере, который мы приводили, это была первоначальная энергия грузика, мы выводили его из положения равновесия, а потом отпускали. А во втором случае этот первоначальный запас энергии – это кинетическая энергия (в случае, когда мы толкали грузик). Согласно закону сохранения энергии в обоих случаях сумма кинетической и потенциальной энергий маятника должна оставаться неизменной с течением времени. То есть, какое бы промежуточное значение маятника мы бы ни рассмотрели, в любой из них эта сумма равна начальной энергии маятника (см. рис. 6), при этом маятник мог совершать колебания довольно долго.

Рис. 6. Иллюстрация закона сохранения энергии

Однако на самом деле мы понимаем, что маятников, которые могли бы совершать колебания довольно долго, не существует – это какая-то абстракция.

Учтём, что система маятников незамкнутая, то есть в системе присутствует сила трения. В реальных условиях мы можем взять тяжелый груз, подвесить его на очень длинную и легкую нить или проволоку, закрепить один конец на опоре и получить систему, близкую по своим свойствам к математическому маятнику. Однако нельзя сказать, что механическая энергия такого маятника будет сохраняться – мы прекрасно знаем, что рано или поздно он остановится. В чем же наша недоработка? Ответ прост: в данной системе присутствуют различные виды трения, действие которых приводит к потере на каждом периоде колебаний маятника какой-то части его энергии (см. рис. 7).

Рис. 7. В системе присутствуют различные виды трения

Силы трения могут быть внутренними (например, в подвесе маятника), а могут быть и внешними (например, со стороны окружающего воздуха или другой среды, в которой может находиться маятник). Естественно, что силы трения зависят от свойств среды: в воде колебания будут затухать быстрее, чем в воздухе (см. рис. 8).

Рис. 8. Затухание в воздухе и воде

В итоге амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, и в конце маятник остановится. На рисунке представлены смещения груза маятника от времени: видно, что амплитуда постепенно уменьшается, стремясь к нулю, такие колебания называются затухающими (см. рис. 8).

Затухающие колебания – это колебания, которые происходят в незамкнутой системе, то есть колебания, которые происходят в том числе под действием силы трения. Амплитуда таких колебаний постепенно затухает. Большинство колебаний в мире – затухающие, так как в окружающем нас мире, постоянно существуют силы трения.

Ссылка на основную публикацию