Задача кластеризации. алгоритмы кластеризации

Выясним структуру матрицы перемещений — .

Поскольку конечные элементы, сходящиеся в один узел,
имеют одинаковые перемещения, ограничимся только перемещениями узлов.

Шарнирный
узел имеет возможность перемещаться только линейно: по горизонтали и вертикали,
а жесткий узел еще имеет и угол поворота.

Примем правило
(рис. 23):


горизонтальное перемещение будем считать первым (1) направлением;


вертикальное перемещение – вторым направлением;

— угол
поворота – третьим направлением.

Рис.23

Стрелочки
указывают на положительное направление перемещений. Тогда вектор перемещений примет вид:

где у — первый индекс указывает на номер узла, а
второй индекс – на номер перемещения.

Для рассматриваемой рамы вектор перемещения запишется
(в виде матрицы-строки)

Подведем итог нашим рассуждениям:

Получили 2
группы уравнений:

— уравнения
равновесия (геометрические уравнения)

— уравнения
совместности деформации (физические уравнения)

Из второй
группы уравнений находим усилия

где — обратная матрица податливости, которая
названа матрицей жесткости конструкции, т. е.

тогда
выражение для усилий перепишется:

Подставим
выражения для усилий в первую группу уравнений, получим:

откуда
находим перемещения узлов

а затем и
усилия – S.

Пример
4
(рис. 24).

Рис.24

1. Расчетная
модель получена введением жесткой связи в узел 2, пронумеровав узлы слева
направо и вниз. Получаем 2 участка.

2. Перенесем
внешнюю нагрузку в узлы рамы (по схеме рис. 25).

Рис.25

3. Строим
схему загружения рамы.

4.
Представляем эпюры внутренних расчетных усилий.

По ним
составляем вектор внутренних усилий (представим его в виде строки)

5. Составляем
уравнения равновесия, вырезая узел 2 из представленной рамы (рис.26).

Рис.26

или

Рис.27

Рис.28

Матрица
равновесия представится в виде

Вектор нагрузки (запишем строкой)

6. Составляем
вектор перемещений

и матрицу
податливости

Умножим
равенство на EF, подставим значения, получим

Используя
программу расчета, все параметры, Р, А, В
вносим в компьютер и получаем:

а) величину
усилий

Построим
эпюры полученных усилий: для Nрасч (рис. 29,а) и если эпюру Nмы
получаем в окончательном виде, то для эпюры Мок
нужно к полученной эпюре Мрасч.
(рис. 29,б) добавить эпюры на
конечных элементах из МР (рис.
29,в). Эпюра Мок представлена на
рисунке 29,г.

Рис.29

Остается
построить эпюру Qок. по эпюре Мок, как это мы делали в
методе перемещений (рис. 30).

Рис.30

б) величину
перемещений:

u21=20,20/EF;

u22=42,11/EF;

u23=2730/EF.

По этим данным
при необходимости строится деформированная схема конструкции (рамы).

Понятие о методе конечных элементов

Современная
вычислительная техника позволяет проводить расчеты сооружений с более подробным
описанием их внутренней структуры и с более точным учетом действующих нагрузок.
Для этого разработаны специальные методы расчета, среди которых наибольшее
распространение получил метод конечных элементов (МКЭ).

Метод
конечных элементов
– это метод расчета сооружений, основанный на
рассмотрении сооружения как совокупности типовых элементов, называемых конечными
элементами (КЭ)
.

В дискретном
методе мы рассмотрели три типовых стержневых элементов, которые используются и
в МКЭ как конечные элементы. Например, элемент 3-его типа в МКЭ называется
ферменным (рис. 1,а), а 1-го типа – плоским стержневым конечным элементом
(рис. 1,б). При расчете пространственных рам используется КЭ бруса
(рис. 1,в). В расчетах плоских тел (плит или пластин) используются
треугольный (рис. 1,г) или четырехугольный (рис. 1,д) конечные
элементы. При расчете пространственных сооружений могут использоваться
призменный КЭ (рис. 1,е) или тетраэдальный КЭ
(рис. 1,ж) и др. Для расчета различных сооружений разработано множество
других КЭ.

Рис. 1

МКЭ –
дискретный метод. В этом методе сооружение делится на
определенное число КЭ, соединенных между собой в узлах конечно-элементной
модели. А нагрузка, действующая на сооружение, переносится в узлы. Это
позволяет определять НДС сооружения через узловые усилия и перемещения
конечно-элементной модели.

Как мы знаем,
можно выбирать разные расчетные схемы сооружения. Но и в пределах одной
расчетной схемы можно выбирать разные расчетные модели по МКЭ, потому что
сооружение можно разбить не только на разное количество однотипных КЭ, но и
представить его как комбинацию различных типов КЭ. С другой стороны, при
расчете сооружения могут быть реализованы различные варианты МКЭ в формах
метода сил, метода перемещений и смешанного метода. В настоящее время широкое
распространение получил МКЭ в форме метода перемещений.

Информация о статье

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 21 человек(а).

Категории: Физика

На других языках:

English: Calculate Force, Español: calcular la fuerza, 中文: 计算力, Português: Calcular Força, Italiano: Calcolare la Forza, Nederlands: Kracht berekenen, Deutsch: Kraft berechnen, Français: calculer la valeur d’une force, Bahasa Indonesia: Menghitung Gaya, ไทย: คำนวณแรงที่กระทำต่อวัตถุ, العربية: حساب مقدار القوة, हिन्दी: बल की गणना करें, Tiếng Việt: Tính Lực Tác động F, Türkçe: Kuvvet Nasıl Hesaplanır, 日本語: 力の計算, 한국어: 힘 계산하는 법

Эту страницу просматривали 34 496 раз.

Была ли эта статья полезной?

Да
Нет

 

Вопросы для самопроверки

— Перечислите
основные современные численные методы расчета конструкций.

— В чем суть
(основная идея) метода конечных элементов?

— Что такое дискретизация расчетной области конструкции при расчете
МКЭ?

— В чем суть
дискретной модели рассчитываемой конструкции по МКЭ?

— Перечислите
основные шаги общего алгоритма статического расчета по МКЭ?

— Конечные элементы, их типы.
Степени свободы конечного элемента. Конечно-элементная расчетная схема.
Приведение нагрузки на систему к узловой.

— Матрица жесткости конечного
элемента. Ее структура. Связь между перемещениями узлов элемента и усилиями,
действующими на них.


Дайте определение числовой матрице.


Какая матрица называется квадратной, прямоугольной, единичной,
матрицей-вектором?


Как складываются, вычитаются и перемножаются матрицы?


Что такое обратная матрица и для чего она используется?


Каков смысл коэффициентов матрицы влияния изгибающих моментов?

— По каким
формулам вычисляются элементы матрицы жесткости конечного элемента?

— По каким
формулам вычисляются элементы матрицы геометрической жесткости конечного
элемента?

— По каким
формулам вычисляются элементы матрицы масс конечного элемента?


Сформулируйте метод разложения по собственным формам?

— Собственные
формы какой матрицы участвуют в расчетах?

— Как
определяются функции матриц?

— Преобразование матрицы
жесткости конечного элемента при повороте координатных осей.

— Матрица жесткости системы
конечных элементов. Ее структура. Связь между перемещениями узлов
конечно-элементной схемы и усилиями, действующими на них.

— Векторы перемещений и усилий,
действующих на элемент. Векторы перемещений и усилий, действующих и на систему
элементов, их структура и связь между собой.

— Соединение конечных элементов.
Условие равновесия узлов в конечно-элементной схеме. Формирование системы
разрешающих уравнений метода конечных элементов.

— Формирование глобальной
матрицы жесткости конечно-элементной схемы из матриц жесткости конечных
элементов.

— Определение внутренних усилий
в стержневых конечных элементах после нахождения узловых перемещений в
конечно-элементной схеме. Учет направленности осей местной
системы координат конечного элемента по отношении к глобальной системе
осей координат конечно-элементной схемы.

— Учет связей и заданных узловых
перемещений в системе разрешающих уравнений метода конечных элементов.

— На
какие элементы делится плита при её расчёте методом конечных элементов?

— Зависимость между какими величинами представляет в методе
конечных элементов матрица жесткости отдельного элемента?

— Общая процедура расчета
стержневых систем методом конечных элементов в форме метода перемещений.
Реализация алгоритма МКЭ в современных программных комплексах.

— Препроцессор, процессор,
постпроцессор, библиотеки конечных элементов.

— Сформулируйте
в матричной форме решение задачи определения перемещений для произвольного
силового воздействия?


Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения внутренних сил для
произвольного силового воздействия?

— Сформулируйте
в матричной форме решение задачи определения перемещений для гармонического
воздействия?

— Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения
внутренних сил для гармонического воздействия?

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Теоретическая механика Строительная механика

Прикладная механика Детали машин
Теория машин и механизмов

00:00:00

Аппроксимация КЭ

Имея КЭ разного типа, при выборе конечно-элементной
модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например,
в плоской системе могут рассматриваться узлы как с тремя степенями свободы
(рис. 2,а), так и с двумя (рис. 2,б) или даже с одной степенью свободы. В
первом случае учитываются два линейных (поступательных) и одно угловое
перемещение узла, во втором – два линейных перемещения, а в третьем −
лишь одно поступательное перемещение. В пространственной системе узлы могут
иметь шесть (рис.2, в) или три степени свободы (рис.2, г).

Рис.2

Для упорядочения степеней свободы и соответствующих
перемещений узлов КЭ все они нумеруются в определенном порядке и собираются в
общий вектор перемещений u.

Чтобы воспользоваться принципом Лагранжа, вводятся так
называемые координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле
перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов:

Здесь – вектор перемещений внутренних точек КЭ,
C
– матрица координатных функций,
– вектор коэффициентов. Элементы
матрицы C выбираются в виде
полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число
членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом.
При учете большего числа членов полинома КЭ называется комплекс-элементом.

В качестве простейшего примера рассмотрим ферменный КЭ с
узлами i и j (рис. 3, а) в местной системе координат . Его узлы имеют по одной поступательной степени свободы по оси и соответствующие им узловые
перемещения и . Допустим, что в узлах КЭ приложены силы и (рис. 3, б).

Рис. 3

Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать
полиномом первой степени

Запишем его в матричной форме:

где называется матрицей координатных функций, аявляется вектором неизвестных коэффициентов.

Подставив и в наш полином, получимдва равенства:

С другой стороны, и (рис. 3, б). Учитывая их,
предыдущие равенства перепишем так:

Тогда их можно записать в матричной форме

и представить как матричное уравнение

связывающее вектор узловых перемещений и вектор координат через представленную выше матрицу Ф.

Определим вектор

Тогда

или

Входящая сюда матрица называется матрицей форм. Она
позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних точек КЭ через
перемещения узлов.

По аналогии с перемещениями поле внутренних усилий в КЭ можноаппроксимировать через вектор узловых сил P по формуле

Например, для рассмотренного КЭ имеем

Шаги

Часть 1

Формула

  1. 1

    Умножьте массу на ускорение. Сила F, необходимая для того, чтобы придать объекту массой m ускорение a, определяется по следующей формуле: F = m x a. То есть сила равна массе, умноженной на ускорение.

  2. 2

    Переведите единицы измерения в систему СИ. В Международной системе единиц (СИ) основной единицей измерения массы служит килограмм, а ускорения – м/с2

    Например, если масса объекта составляет 3 фунта, необходимо перевести ее в килограммы. 3 фунта равны 1,36 килограммам, то есть масса объекта равна 1,36 кг.

    (метр на секунду в квадрате). Выразив массу и ускорение в единицах СИ, мы получим значение силы в ньютонах (Н).

  3. 3

    Помните о том, что вес и масса – это различные понятия в физике. Если вес объекта дан в ньютонах, для нахождения массы его следует разделить на 9,8. Например, 10 Н эквивалентны 10/9,8 = 1,02 кг.

Часть 2

Использование формулы

  1. 1

    Найдем силу, необходимую для того, чтобы разогнать автомобиль массой 1.000 кг до 5 м/с2.

    • Сначала проверим, все ли величины приведены в единицах измерения системы СИ.
    • Умножив массу (1000 кг) на ускорение (5 м/с2), получим силу (5000 Н).
  2. 2

    Вычислим силу, необходимую для того, чтобы разогнать тележку массой 8 фунтов до ускорения 7 м/с2.

    • Сначала выразим все величины в единицах измерения СИ. Один фунт равен 0,453 килограммам, поэтому, умножив 8 фунтов на этот коэффициент, находим, что масса тележки составляет 3,62 килограмма.
    • Умножив массу (3,62 кг) на заданное ускорение (7 м/с2), находим необходимую силу (25,34 Н).
  3. 3

    Найдем силу, действующую на повозку весом 100 Н, которая движется с ускорением 2,5 м/с2.

    • Как мы помним, вес в ньютонах следует перевести в массу в килограммах, поделив на 9,8. Разделив 100 Н на 9,8, получаем массу 10,2 кг.
    • Умножая найденную массу повозки (10,2 кг) на заданное ускорение (2,5 м/с2), получаем силу (25,5 Н).

Советы

  • Всегда внимательно читайте условие задачи, чтобы определить, что дано – масса или вес.
  • Согласно определению основной единицы измерения силы в системе СИ, Н = кг * м/с^2.
  • Проверьте единицы измерения и при необходимости выразите массу в килограммах, а ускорение – в м/с^2.

Учет граничных условий

Разрешающее уравнение МКЭ нельзя сразу решить
относительно перемещений u. Причина
в том, что при его составлении не учтены граничные условия закрепления
сооружения в опорах. Поэтому матрица жесткости K является вырожденной (т.е. ее определитель равняется нулю). Чтобы
выйти из положения, вектор перемещений приходится делить на две части – на
перемещения по закрепленным (з) и незакрепленным (н) направлениям:

Так как опоры сооружения обычно бывают достаточно
жесткими, их перемещения можно принять равными нулю (), а нагрузку, приходящуюся на опоры, не учитывать. В
таком случае разрешающее уравнение преобразуется в уравнение меньшего размера.
Однако такая процедура существенно меняет структуру матрицы жесткости K и усложняет дальнейшее решение.

Поэтому используется другой прием: все элементы строк
и столбцов матрицы жесткости, соответствующие закреплениям, приравниваются
нулю, и лишь вместо их диагональных элементов ставятся единицы. В таком случае
разрешающее уравнение упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид:

Здесь
E
единичная матрица, и − блоки
матрицы жесткости и вектора нагрузки, соответствующие незакрепленным
направлениям.

Ссылка на основную публикацию