Разность хода двух интерферирующих лучей монохроматического света равна (длина волны). при этом разность фаз колебаний равна …

Введение

Успехи в изучении электромагнетизма в XIX веке привели к бурному развитию промышленности и техники, особенно это касается средств связи. Прокладывая линии телеграфа на большие расстояния, инженеры столкнулись с рядом необъяснимых явлений, которые побудили ученых к исследованиям. Так, в 50-х годах британский физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) занялся вопросом о трансатлантической телеграфии. Учитывая неудачи первых практиков, он теоретически исследовал вопрос о распространении электрических импульсов вдоль кабеля. При этом Кельвин получил ряд важных выводов, которые в дальнейшем позволили осуществить телеграфирование через океан. Также в 1853 году британский физик выводит условия существования колебательного электрического разряда. Эти условия легли в основу всего учения об электрических колебаниях. На этом уроке и на других уроках данной главы мы рассмотрим некоторые основы теории электрических колебаний Томсона.

Разность фаз напряжения и тока

Воздушная линия > Цепи переменного тока. Теория.

Разность фаз напряжения и токаУсловимся под разностью фаз j напряжения и тока всегда понимать разность начальных фаз напряжения и тока (а не наоборот):Поэтому на векторной диаграмме угол j отсчитывается в направлении от вектора I к вектору U (рис. 3.10). Именно при таком определении разности фаз угол j равен аргументу комплексного сопротивления. Угол j положителен при отстающем токе () и отрицателен при опережающем токе ().Разность фаз между напряжением и током зависит от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений. При имеем и ток отстает по фазе от напряжения, . При имеем , ток совпадает по фазе с напряжением, rLC-цепь в целом проявляет себя как активное сопротивление. Это случай так называемого резонанса в последовательном контуре. Наконец, при имеем , ток опережает по фазе напряжение.

Векторные диаграммы для трех возможных соотношений даны на рис. 3.11. При построении этих диаграмм начальная фаза тока ; принята равной нулю. Поэтому равны друг другу.Рассматривая при заданной частоте цепь по рис. 3.8 в целом как пассивный двухполюсник, можно ее представить одной из трех эквивалентных схем: при как последовательное соединение сопротивления и индуктивности (), при как сопротивлениеr и при как последовательное соединение сопротивления и емкости (). При заданных L и С соотношение между зависит от частоты, а потому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.Выше, в разделе, было принято, что задан ток, а определялись напряжения на элементах и на входных выводах цепи. Однако часто бывает задано напряжение на выводах, а ищется ток. Решение такой задачи не представляет труда. Записав по заданным величинам комплексное напряжение U и комплексное сопротивление Z, определим комплексный ток
и тем самым действующий ток и начальную фазу тока.Часто равной нулю принимается начальная фаза заданного напряжения: . В этом случае, как следует из раздела, начальная фаза тока ; равна и противоположна по знаку разности фаз j, т. е.Установленные выше соотношения между амплитудами и действующими токами и напряжениями, а также выражение для сдвига фаз ф позволяют вычислить ток и не прибегая к записи закона Ома в комплексной форме. Подробно этот путь решения показан в примере 3.4.Пример 3.4.
К цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, приложено напряжение . Емкость конденсатора С=5 мкФ, сопротивление катушки г=15 Ом, индуктивность L=12 мГн. Найти мгновенные значения тока в цепи и напряжений на конденсаторе и на катушке.Решение.
Схема замещения цепи показана на рис. 3.8.
Напряжение на емкости отстает от тока по фазе на 90°, следовательно,
Комплексное сопротивление катушки
Комплексная амплитуда напряжения на
выводах катушки
Мгновенное напряжение на катушкеПример 3.5.В цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, ток I=2 А, его частота f=50 Гц. Напряжение на выводах цепи U=100 В, катушки Uкат =150 В и конденсатора Uc=200 В. Определить сопротивление и индуктивность катушки и емкость конденсатора.Решение.
Полное сопротивление цепи z=U/I=50 Ом.Полное сопротивление катушкиzкат=Uкат/I=75 Ом;

Смотри еще по разделу на websor

  • Переменные токи
  • Понятие о генераторах переменного тока
  • Синусоидальный ток
  • Действующие ток, ЭДС и напряжение
  • Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами
  • Сложение синусоидальных функций времени
  • Электрическая цепь и ее схема
  • Ток и напряжения при последовательном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов
  • Сопротивления
  • Разность фаз напряжения и тока
  • Напряжение и токи при параллельном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов
  • Проводимости
  • Пассивный двухполюсник
  • Мощности
  • Мощности резистивного, индуктивного и емкостного элементов
  • Баланс мощностей
  • Знаки мощностей и направление передачи энергии
  • Определение параметров пассивного двухполюсника при помощи амперметра, вольтметра и ваттметра
  • Условия передачи максимальной мощности от источника энергии к приемнику
  • Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости
  • Параметры и эквивалентные схемы конденсаторов
  • Параметры и эквивалентные схемы катушек индуктивности и резисторов

Свойства электромагнитных волн

Электромагнитная волна – это изменяющееся во времени и распространяющееся в пространстве электромагнитное поле.

Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году. Электромагнитные волны были открыты Г. Герцем.

Источник электромагнитной волны – ускоренно движущаяся заряженная частица – колеблющийся заряд.

Важно! Наличие ускорения – главное условие излучения электромагнитной волны. Интенсивность излученной волны тем больше, чем больше ускорение, с которым движется заряд

Источниками электромагнитных волн служат антенны различных конструкций, в которых возбуждаются высокочастотные колебания.

Электромагнитная волна называется монохроматической, если векторы ​\( \vec{E} \)​ и \( \vec{B} \)​ совершают гармонические колебания с одинаковой частотой (частотой волны).

Длина электромагнитной волны: ​\( \lambda=cT=\frac{c}{\nu}, \)​

где ​\( c \)​ – скорость электромагнитной волны, ​\( T \)​ – период, ​\( \nu \)​ – частота электромагнитной волны.

Свойства электромагнитных волн

  • В вакууме электромагнитная волна распространяется с конечной скоростью, равной скорости света 3·108 м/с.
  • Электромагнитная волна поперечная. Колебания векторов напряженности переменного электрического поля и магнитной индукции переменного магнитного поля взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору скорости волны.
  • Электромагнитная волна переносит энергию в направлении распространения волны.

Важно! Электромагнитная волна в отличие от механической волны может распространяться в вакууме. Плотность потока или интенсивность – это электромагнитная энергия, переносимая через поверхность единичной площади за единицу времени

Плотность потока или интенсивность – это электромагнитная энергия, переносимая через поверхность единичной площади за единицу времени.

Обозначение – ​\( I \)​, единица измерения в СИ – ватт на квадратный метр (Вт/м2).

Важно! Плотность потока излучения электромагнитной волны от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника и пропорциональна четвертой степени частоты. Электромагнитная волна обладает общими для любых волн свойствами, это:

Электромагнитная волна обладает общими для любых волн свойствами, это:

  • отражение,
  • преломление,
  • интерференция,
  • дифракция,
  • поляризация.

Электромагнитная волна производит давление на вещество. Это означает, что у электромагнитной волны есть импульс.

Вынужденные колебания

Итак, мы выяснили: в реальности колебания маятников механических систем затухающие, то есть их амплитуда постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Что же нам сделать, чтоб колебания не были такими, чтоб амплитуда постоянно поддерживала свое значение? Для этого нам необходимо разомкнуть систему и подкачивать энергию извне. Таким образом, мы добьемся незатухающих колебаний. Как же разомкнуть систему?

Вспомним простой пример из жизни: катание на качелях. Для того чтобы качели колебались без остановки, человек периодически толкает их, а если перевести это на язык физики, то человек действует на качели с силой, величина которой зависит от времени периодическим образом. Если построить график зависимости модуля силы от времени, то получим следующий результат: сила зависит от времени периодически (см. рис. 9).

Рис. 9. Зависимость силы от времени

Мы прекрасно понимаем, что если мы будем воздействовать на качели постоянно, то они не будут колебаться.

Колебания системы, совершающие ею под действием внешней периодической силы, называются вынужденными. Силу, являющейся мерой этого внешнего воздействия, называют вынуждающей. При этом, как вы понимаете, мы уже не можем считать систему замкнутой, то есть в системе уже не совершаются свободные колебания – в системе совершаются вынужденные колебания. Примерами систем, в которых совершаются вынужденные колебания, могут быть также в полнее привычные вам часы – это могут быть настенные маятниковые часы, а могут быть и обычные пружинные механические часы. В каждом таком случае колебания совершаются за счет подвода энергии извне.

Вынужденные колебания

Самым простым видом колебаний являются свободные незатухающие колебания. О них подробнее мы говорили на предыдущих занятиях. Давайте поговорим о некоторых характерных особенностях затухающих колебаний и вынужденных колебаний. Начнем с затухающих колебаний. Как вы уже знаете, любая реальная колебательная система – затухающая, ведь нам всегда приходится преодолевать силу трения или силу сопротивления. Если мы говорим об электромагнитных колебаниях, то там тоже есть факторы, вызывающие их затухания, – это сопротивление проводников.

Итак, как же выглядят затухающие колебания? Если вывести маятник из положения равновесия, то со временем его колебания затухают, здесь два основных фактора: сопротивление воздуха, а также трение в подвесе. Здесь речь идет об амплитуде колебаний, то есть максимальном отклонении от положения равновесия. Со временем амплитуда становится все меньше, меньше и меньше – именно этот факт отображен на рисунке (см. рис. 10).

Рис. 10. Уменьшение амплитуды колебаний

Обратите внимание: колебания все равно остаются периодическими, но амплитуда непрерывно уменьшается – колебания затухают. Хорошо это или плохо – смотря для чего

Если речь идет о часах, то плохо, поскольку хотелось бы, чтоб затухание было как можно меньше, а колебания – больше, чтобы нам не доводилось подводить дополнительную энергию. Но есть и обратная сторона: если распахнуть двери и бросить их, то нам будет хотеться, чтобы они колебались как можно меньше. Для этого на двери ставят демпферы – гасители колебаний.

Теперь переходим к вынужденным колебаниям. Представим себе, что мы раскачиваем брата или сестру на качелях: если мы толкнем качели один раз, то они рано или поздно остановятся. Поэтому мы продолжаем раскачивать качели, и тем самым колебания из свободных становятся вынужденными, потому что появляется некая внешняя сила. Какой же характеристикой должна обладать эта внешняя сила? Эта сила обязательно должна меняться во времени, должна быть периодической. И тут нужно поговорить о двух частотах: собственная частота колебаний  – та частота, с которой бы колебалась система, если бы она была выведена из равновесия и больше её никто не сообщал её энергию (то есть никто бы больше не раскачивал её), и частота внешней силы  – это та частота, с которой будут раскачивать качели. Запомните, чтобы колебания были вынужденными, внешняя сила должна периодически меняться.

Во время затухающих колебаний энергия системы непрерывно уменьшается, а во время вынужденных колебаний энергия подводится к системе извне

Свободные электромагнитные колебания. Колебательный контур

Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединенными конденсатором и катушкой.

Сопротивление катушки ​\( R \)​ равно нулю.

Если зарядить конденсатор до напряжения ​\( U_m \)​, то в начальный момент времени ​\( t_1=0 \)​, напряжение на конденсаторе будет равно ​\( U_m \)​. Заряд конденсатора в этот момент времени будет равен ​\( q_m=CU_m \)​. Сила тока равна нулю.

Полная энергия системы будет равна энергии электрического поля:

Конденсатор начинает разряжаться, по катушке начинает течь ток. Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается постепенно.

Ток достигает своего максимального значения ​\( I_m \)​ в момент времени ​\( t_2=T/4 \)​. Заряд конденсатора в этот момент равен нулю, напряжение на конденсаторе равно нулю.

Полная энергия системы в этот момент времени равна энергии магнитного поля:

В следующий момент времени ток течет в том же направлении, постепенно (вследствие явления самоиндукции) уменьшаясь до нуля. Конденсатор перезаряжается. Заряды обкладок имеют заряды, по знаку противоположные первоначальным.

В момент времени ​\( t_3=T/2 \)​ заряд конденсатора равен ​\( q_m \)​, напряжение равно ​\( U_m \)​, сила тока равна нулю.

Полная энергия системы равна энергии электрического поля конденсатора.

Затем конденсатор снова разряжается, но ток через катушку течет в обратном направлении.

В момент времени ​\( t_4=3T/4 \)​ сила тока в катушке достигает максимального значения, напряжение на конденсаторе и его заряд равны нулю. С этого момента ток в катушке начинает убывать, но не сразу (явление самоиндукции). Энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля. Конденсатор начинает заряжаться, и через некоторое время его заряд равен первоначальному, а сила тока станет равной нулю.

Через время, равное периоду ​\( T \)​, система возвращается в начальное состояние. Совершилось одно полное колебание, дальше процесс повторяется.

Важно!Колебания, происходящие в колебательном контуре, – свободные. Они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счет энергии, запасенной в контуре

В контуре происходят превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. В любой произвольный момент времени полная энергия в контуре равна:

где ​\( i, u, q \)​ – мгновенные значения силы тока, напряжения, заряда в любой момент времени.

Эти колебания являются затухающими. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается из-за электрического сопротивления проводников.

Негармонические колебания. Гармонические и негармонические колебания в природе и технике

Реальные колебания не происходят в точности по гармоническому закону. Ни один колебательный процесс в природе и технике не продолжается бесконечно долго, а имеет начало и конец во времени. А колебательный процесс, ограниченный во времени, не является гармоническим. Шарик, подвешенный на нити, и груз, подвешенный на пружине, совершают колебания, которые лишь близки к гармоническим. Сопротивление воздуха, необратимые потери энергии на нагревание нити и пружины при их деформации приводят к тому, что амплитуда колебаний уменьшается, и колебания становятся негармоническими.

В природе встречаются колебательные процессы, протекающие весьма длительное время. Примером колебаний такого рода могут служить пери-одические изменения напряжения между различными участками человеческого тела, возникающие в результате работы сердца. График зависимости от времени «вырабатываемого» сердечной мышцей напряжения называется электрокардиограммой. Электрокардиограмма человека очень мало похожа на синусоиду, т.е. колебания биотоков являются негармоническими (рис. 13.8).

Рис. 13.8

Другой пример негармонических колебаний, происходящих в природе, — колебания уровня воды в открытых морях и океанах

Колебания уровня воды во многих морских портах настолько значительны, что точное предсказание отливов и приливов оказывается важной практической задачей: глубина осадки современных морских судов велика, и многие морские порты могут принимать их лишь в часы прилива.. В каждом порту производят регулярные наблюдения приливов и на основе многолетних наблюдений определяют периодичность изменения уровня воды

Зависимость высоты прилива от времени оказывается очень сложной и выразить ее какой-то одной формулой довольно трудно.

В каждом порту производят регулярные наблюдения приливов и на основе многолетних наблюдений определяют периодичность изменения уровня воды. Зависимость высоты прилива от времени оказывается очень сложной и выразить ее какой-то одной формулой довольно трудно.

При сложении гармонических колебаний разных частот суммарное колебание носит более сложный характер. Можно поставить обратную задачу: возможно ли сложное колебание представить как сумму гармонических колебательных движений?

Теоретические расчеты показывают, что любое периодическое колебание может быть математически представлено как сумма гармонических колебаний кратных частот \(\omega , 2\omega , 3\omega , \ldots , n\omega ,\) причем амплитуды гармоник этого ряда (ряда Фурье) с увеличением номера n уменьшаются. Так,
на рисунке 13.9, д изображено сложное колебание, состоящее из четырех гармонических (рис. 13.9):

Рис. 13.9

а) \(~x_1 = 10 \sin \omega t;\)
б) \(~x_2 = 1.5 \sin 3\omega t;\)
в) \(~x_3 = 0,6 \sin 5\omega t;\)
г) \(~x_4 = 0,3 \sin 7\omega t.\)

Спектр этого сложного колебания представлен на рисунке 13.10.

Рис. 13.10

Гармонические колебания

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 13.2) гармо-ническое колебательное движение.

Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:

\(x = A \cos \Bigr( \frac{2 \pi}{T}t + \varphi_0 \Bigl)\) или \(x = A \sin \Bigr( \frac{2 \pi}{T}t + \varphi’_0 \Bigl)\)

где х — смешение — величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А — амплитуда колебаний — максимальное смещение тела из положения равновесия; Т — период колебаний — время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; \(\varphi_0\) — начальная фаза; \(\varphi = \frac{2 \pi}{T}t + \varphi’_0\) — фаза колебании в момент времени t. Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.

Если в начальный момент времени t= 0 колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то \(\varphi_0 = 0\), а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

\(x = A \cos \frac{2 \pi}{T}t.\)

Если колеблющаяся точка при t = 0 находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

\(x = A \sin \frac{2 \pi}{T}t.\)

Величину V, обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:

\(\nu = \frac{1}{T} \)(в СИ единицей частоты является герц, 1Гц = 1с-1).

Если за время t тело совершает N полных колебаний, то

\(T = \frac{t}{N} ; \nu = \frac{N}{t}.\)

Величину \(\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}\) , показывающую, сколько колебаний совершает тело за 2 \(\pi\) с, называют циклической (круговой) частотой.

Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

На рисунке 13.3, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая \(\varphi_0=0\), т.е. \(~x=A\cos \omega t.\)

Рис. 13.3

Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:

\(\upsilon_x = x’ A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr( \omega t + \frac{\pi}{2} \Bigl) ,\)

где \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\)— амплитуда проекции скорости на ось х.

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по 
гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на \(\frac{\pi}{2}\) (рис. 13.3, б).

Для выяснения зависимости ускорения ax(t) найдем производную по времени от проекции скорости:

\(~ a_x = \upsilon_x’ = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

где \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) — амплитуда проекции ускорения на ось х.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 13,3, в).

Аналогично можно построить графики зависимостей \(~x(t), \upsilon_x (t)\) и \(~a_x(t),\) если \(~x = A \sin \omega t\) при \(\varphi_0=0.\)

Учитывая, что \(A \cos \omega t = x\), формулу для ускорения можно записать

\(~a_x = — \omega^2 x,\)

т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, т.е. ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Так, проекция ускорения — это вторая производная от смещения аx=х’ ‘ , то полученное соотношение можно записать в виде:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) или \(~x» + \omega^2 x = 0.\)

Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний — уравнением гармонического осциллятора.

2.2. Декремент затухания и логарифмический декремент затухания.

Уже указывалось, что быстрота убывания амплитуды затухающих колебаний характеризуется коэффициентом затухания b , который зависит от параметров системы. На практике затухание колебаний удобнее характеризовать декрементом затухания d , представляющим собой отношение двух последовательных амплитуд, разделенных периодом колебаний Т(см. рис.2) :

Натуральный логарифм этого отношения, называемый логарифмическим декрементом затухания l, весьма просто связан с коэффициентом затухания и периодом:

или l = bT . (12)

Удобство использования логарифмического декремента затухания l для характеристики затухающих колебаний заключается в простоте его экспериментального определения. Если затухающие колебания зарегистрированы в виде соответствующего графика (см.рис.2), то необходимо в любых единицах измерить две амплитуды колебаний, разделенные интервалом времени, равным периоду, и найти натуральный логарифм их отношения. Определив таким образом величину l и зная период Т , легко найти и коэффициент затухания b .

Итоги

Мы рассмотрели разные виды колебаний: гармонические, затухающие и вынужденные, а также резонанс. Построили график зависимости  и убедились, что он периодический. Можно сказать, что мы заложили фундамент в дальнейшем изучении волнового движения. На этом наш урок окончен. Спасибо, до свидания!

Список рекомендованной литературы

  1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
  2. Перышкин А.В. Гутник Е.М. Физика:  Учебник 9 класс. — Издательство: М.: 2014. – 320 с.

Домашнее задание

  1. Дайте определение гармоническим и вынужденным колебаниям.
  2. Что такое резонанс?
  3. Какой вид имеет формула для определения угловой частоты через коэффициент жесткости пружины?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Eduspb.com (Источник).
  2. Интернет-портал Eduspb.com (Источник).
  3. Интернет-портал Bourabai.kz (Источник).
Ссылка на основную публикацию