Упражнение 11

Атом водорода в теории Бора

Атом водорода по Бору

В своей теории Бор допускал, что ядро атома неподвижно, а электрон вращается вокруг него по круговой орбите. Но современной науке известно, что разрешённая орбита, по которой электрон движется, – вовсе не фиксированная линия окружности. На самом деле это некоторая область пространства, тонкий концентрический слой в форме шара, центром которого является ядро атома и в которой появление электрона наиболее вероятно.  Эта область называется электронной оболочкой атома, или орбиталью.

Атом может иметь несколько электронных оболочек. Каждая из них характеризуется главным квантовым числом n. Оно принимает целые значения 1, 2, 3, … ,7, …, обозначает номер энергетического уровня и определяет энергию электронов, находящихся на данной орбитали. Чем больше значение n, тем дальше электрон находится от ядра и тем большей энергией он обладает. В физике электронные оболочки чаще обозначают буквами K, L, M, N, O, P, Q. Ближе всех к ядру находится К-оболочка. Для неё n = 1. Электрон, находящийся на ней, имеет наименьшее значение энергии. Например, для оболочки L n = 2  и т. д.

Но, как и Бор, упростим задачу и допустим, что электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите. Если электрон находится на первой орбите (n=1), то такое состояние атома называют основным. Это устойчивое состояние. И энергия его в этом случае имеет минимальное значение.

А что необходимо электрону, чтобы перейти на более удалённую орбиту? Для этого ему нужно преодолеть притяжение положительно заряженного ядра. А это возможно, когда он получит извне дополнительную энергию. И тогда он окажется на орбите с номером n ˃ 1 (n =2, 3, 4, …). В этом случае энергия атома увеличивается. И он переходит в состояние, которое называют возбуждённым.

Ещё Макс Планк понял, что атомы поглощают или излучают энергию строго определёнными порциями, которые он назвал квантами. И величина этой энергии пропорциональна частоте световых колебаний.

Ε = ħ· ѵ,

где ѵ— частота излучения кванта,

ħ — постоянная Планка.

А при переходе электрона с дальней орбиты на более близкую к ядру, происходит излучение кванта энергии.

Так как атом водорода имеет всего один электрон, то чаще всего он находится в основном устойчивом состоянии (n=1), в котором может пребывать довольно долго, ничего не излучая при этом. Но так продолжается до тех пор, пока он не получит дополнительный квант энергии. А получив её, электрон перескакивает на другую разрешённую орбиту бóльшего радиуса, и атом переходит в возбуждённое состояние. Однако долго оставаться в таком состоянии он не может. Возвращаясь в основное состояние, атом излучает фотон (квант света). Энергия этого кванта равна разности энергий возбуждённого и основного состояний.

Модель Дж. Дальтона

В начале 19 в. (спустя 150 лет после работ Роберта Бойля) английский ученый Джон Дальтон предложил способ определения массы атомов химических элементов. Рассмотрим суть этого метода.

Дальтон предложил модель, в соответствии с которой в молекулу сложного вещества входит только по одному атому различных химических элементов. Например, он считал, что молекула воды состоит из 1 атома водорода и 1 атома кислорода. В состав простых веществ по Дальтону тоже входит только один атом химического элемента. Т.е. молекула кислорода должна состоять из одного атома кислорода.

И тогда, зная массовые доли элементов в веществе, легко определить во сколько раз масса атома одного элемента отличается от массы атома другого элемента. Таким образом, Дальтон считал, что массовая доля элемента в веществе определяется массой его атома.

Известно, что массовая доля магния в оксиде магния равна 60%, а массовая доля кислорода – 40%. Идя по пути рассуждений Дальтона, можно сказать, что масса атома магния больше массы атома кислорода в 1,5 раза (60/40=1,5):

Ученый заметил, что масса атома водорода самая маленькая, т.к. нет сложного вещества, в котором бы массовая доля водорода была бы больше массовой доли другого элемента. Поэтому он предложил массы атомов элементов сравнивать с массой атома водорода. И таким путем вычислил первые значения относительных (относительно атома водорода) атомных масс химических элементов.

Атомная масса водорода была принята за единицу. А значение относительной массы серы получилось равным 17. Но все полученные значения были либо приблизительными, либо неверными, т.к. техника эксперимента того времени была далека от совершенства и установка Дальтона о составе вещества была неверной.

Визуализация орбиталей атома водорода

Плотность вероятности для электрона при различных квантовых числах (l)

Изображение справа показывает первые несколько орбиталей атома водорода (собственные функции гамильтониана). Они представляют собой поперечные сечения плотности вероятности, величина которой отражена цветом (чёрный цвет соответствует минимальной плотности вероятности а белый — максимальной). Квантовое число углового момента l обозначено в каждой колонке, используя обычные спектроскопические обозначения (s означает l = 0; p: l = 1; d: l = 2). Главное квантовое число n (= 1, 2, 3…) отмечено справа от каждого ряда. Для всех картин магнитное квантовое число m равно 0, и сечение взято в плоскости — XZ, Z — вертикальная ось. Плотность вероятности в трёхмерном пространстве получается при вращении картинки вокруг оси Z.

Основное состояние, то есть состояние самой низкой энергии, в котором обычно находится электрон, является первым, состоянием 1s (n = 1, l = 0). Изображение с большим количеством орбиталей доступно до более высоких чисел n и l. Отметим наличие чёрных линий, которые появляются на каждой картинке, за исключением первой. Они — узловые линии (которые являются фактически узловыми поверхностями в трёх измерениях). Их общее количество всегда равно n − 1, которое является суммой числа радиальных узлов (равного nl − 1) и числа угловых узлов (равного l).

Нахождение энергии электрона из модели Бора

Вычислим уровни энергии атома водорода без учёта тонкой структуры, используя простую модель атома Бора. Для этой цели можно сделать грубое допущение электрона, двигающегося по круговой орбите на фиксированном расстоянии. Приравнивая кулоновскую силу притяжения e24πεrn2{\displaystyle {\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{n}^{2}}}} центростремительной силе mev2r,{\displaystyle {\frac {m_{e}v^{2}}{r}},} получим:

e24πεrn=mevn2.{\displaystyle {\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{n}}}=m_{e}v_{n}^{2}.}

Здесь me −{\displaystyle m_{e}~-} масса электрона, vn −{\displaystyle v_{n}~-} его скорость на орбите радиуса rn,{\displaystyle r_{n},} ε −{\displaystyle \varepsilon _{0}~-} диэлектрическая проницаемость вакуума (электрическая постоянная).

Отсюда кинетическая энергия электрона

mevn22=e28πεr,{\displaystyle {\frac {m_{e}v_{n}^{2}}{2}}={\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r}},}

где r −{\displaystyle r~-} расстояние от электрона до ядра.

Потенциальная его энергия

Epot=−e24πεr.{\displaystyle E_{pot}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}.}

Полная энергия, соответственно, равна

E=−e28πεr.{\displaystyle E=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r}}.}

Для нахождения радиуса rn стационарной орбиты с номером n рассмотрим систему уравнений, в которой второе уравнение есть математическое выражение первого постулата Бора mevnrn=nh2π{\displaystyle m_{e}v_{n}r_{n}={\frac {nh}{2\pi }}:}

mevn2rn=e24πεrn2,{\displaystyle {\frac {m_{e}v_{n}^{2}}{r_{n}}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{n}^{2}}},}

mevnrn=nh2π{\displaystyle m_{e}v_{n}r_{n}={\frac {nh}{2\pi }}}

Отсюда получаем выражение для радиуса стационарной орбиты с номером n:

rn=εn2h2πmee2{\displaystyle r_{n}={\frac {\varepsilon _{0}n^{2}h^{2}}{\pi m_{e}e^{2}}}}

Радиус первой орбиты оказывается равным r1=a ≈ 5,291769241×10−11{\displaystyle r_{1}=a_{0}~\approx ~5,291769241\times 10^{-11}} метра. Эта константа называется боровским радиусом.

Подставляя это значение в выражение для энергии, получим, что

En=−1n2mee48h2ε2{\displaystyle E_{n}=-{\frac {1}{n^{2}}}{\frac {m_{e}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}}

Отсюда мы можем найти волновое число (по определению это обратная длина волны или число длин волн, укладывающихся на 1 см) фотона, излучаемого атомом водорода за один переход из возбужденного состояния с главным квантовым числом n1{\displaystyle n_{1}} в состояние с неким фиксированным главным квантовым числом n2.{\displaystyle n_{2}.}

υ=RH(1n22−1n12),{\displaystyle \upsilon =R_{H}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right),}

где R=me44πcℏ3{\displaystyle R=me^{4}/4\pi c\hbar ^{3}} постоянная Ридберга в системе СГС (она равна 109 737,31568539 см−1).

Полный спектр атома водорода

Спектральные серии атома водорода

Нужно сказать, что в спектре излучения любого газа наблюдаются отдельные спектральные линии или группы близко расположенных линий. И эти линии располагаются не хаотично, а в определённом порядке.

Математическое описание расположения спектральных линий атома водорода сделал швейцарский учёный Иоганн Якоб Бальмер в 1855 г.

Иоганн Якоб Бальмер

Бальмер был математиком и считал, что различными комбинациями целых чисел можно объяснить связь многих физических явлений. Говорят, что к появлению формулы, позволяющей вычислить длину волны каждой из четырёх видимых линий спектра водорода, причастен друг Бальмера швейцарский физик Эдуард Хагенбах-Бишофф, предложивший ему на спор описáть красную, зелёную, синюю и фиолетовую линии спектра водорода. И Бальмер эмпирически вывел такую формулу:

где λ  — длина волны;

n = 3, 4, 5, 6 (главное квантовое число исходного энергетического уровня);

b = 3645,6 Å (ангстрем).

Физический смысл формулы Бальмера в то время не мог объяснить никто. И лишь в 1913 г. Нильс Бор понял, что целые числа в формуле – это разрешённые орбиты, а спектральные линии – это результат переходов электронов с одной орбиты на другую.

Но оказалось, что в спектре излучения атома водорода спектральные серии существуют не только в видимой части. Позже они были обнаружены в ультрафиолетовой и в инфракрасных зонах.

Длину волны, излучаемой атомом водорода в различных диапазонах, позволяет вычислить формула, которую вывел в 1889 г. шведский физик Йоханнес Ридберг:

,

где R ≈ 109737,3157 см−1 (постоянная Ридберга для атома водорода);

λ  — длина волны;

n – целые число;

n’ – номер спектральной серии, причём n’ n.

Йоханнес Ридберг

В спектре излучения серия Бальмера наблюдается при переходе электронов с возбуждённых энергетических уровней при n˃ 2 (n = 3, 4, 5,…) на второй энергетический уровень (n’ = 2). В спектре поглощения она образуется при переходе электронов со второго уровня на выше расположенные энергетические уровни.

Формула Ридберга в этом случае приобретает вид:

Серия, обнаруженная в ультрафиолетовой части спектра, называется серией Лаймана. Её открыл в 1906 г. американский физик Теодор Лайман. В спектре излучения эта серия образуется при переходе электронов с возбуждённых энергетических уровней на первый, а в спектре поглощения – при переходе с первого уровня на высший.

Формула Ридберга для серии Лаймана:

n’ = 1;

n= 2, 3, 4…

А в инфракрасном диапазоне были обнаружены 4 серии: серия Пашена, серия Брэкета, серия Пфунда и серия Хэмпфри.

Серия Пашена была открыта в 1908 г. австрийским физиком Фридрихом Пашеном.

Формула Ридберга для серии Пашена:

где n’ = 3;

n = 4, 5, 6, …

Следующую серию открыл американский физик Фредерик Самнер Брэкетт в 1922 г.  Ей соответствует формула Ридберга при n′ = 4 и n =  5, 6, 7…

Серию Пфунда обнаружил американский физик Август Герман Пфунд в 1924 г. Для этой серии n′ = 5 и n =  6, 7, 8, …

Для серии Хэмфри, открытой в 1953 г. американским физиком Кёртисом Хэмпфри, n′ = 6 и n =  7, 8, 9, …:

Подставляя в формулу Ридберга соответствующие значения n’ и n, получим формулы для всех серий спектра атома водорода.

Теория Бора объясняет линейчатость спектра атома водорода и спектров водородоподобных атомов, к которым относятся тяжёлые изотопы дейтерий и тритий, а также любой ион, у которого остался только один электрон, например, ионизированный атом гелия. Но, к сожалению, её нельзя применить к более сложным атомам.

  • Вперёд >

Математическое описание атома водорода

Энергетический спектр

Энергетические уровни атома водорода, включая подуровни тонкой структуры, записываются в виде

Enj=En2(1+α2n2(nj+12−34)){\displaystyle E_{nj}={\frac {E_{0}}{n^{2}}}\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right)}
где

α{\displaystyle \alpha } — постоянная тонкой структуры,
j{\displaystyle j} — собственное значение оператора полного момента импульса.

Энергию E{\displaystyle E_{0}} можно найти в простой модели Бора, с массой электрона me{\displaystyle m_{e}} и зарядом электрона e:

E=−mee48h2ε2{\displaystyle E_{0}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}} (в системе СИ),

где h — постоянная Планка, ε −{\displaystyle \varepsilon _{0}~-} электрическая постоянная. Величина E (энергия связи атома водорода в основном состоянии) равна 13,62323824 эВ = 2,182700518⋅10−18 Дж. Эти значения несколько отличаются от действительного значения E, поскольку в расчёте не учтена конечная масса ядра и эффекты квантовой электродинамики.

Волновые функции

В сферических координатах волновые функции имеют вид:

ψnlm(r,θ,φ)=(n−l−1)!2n⋅(n+l)!⋅(2na)32⋅exp⁡(−rna)⋅(2rna)lLn−l−12l+1(2rna)⋅Yl,m(θ,φ),{\displaystyle \psi _{nlm}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(n-l-1)!}{2n{\cdot }(n+l)!}}}{\cdot }{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{\frac {3}{2}}{\cdot }\exp {\left({-{\frac {r}{na_{0}}}}\right)}{\cdot }{\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)}^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}{\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)}\cdot Y_{l,m}(\theta ,\varphi ),}

где:

a{\displaystyle a_{0}} — Боровский радиус.
Ln−l−12l+1(2rna){\displaystyle L_{n-l-1}^{2l+1}{\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)}} — обобщённые полиномы Лагерра степени (n−l−1){\displaystyle {(n-l-1)}} от функции 2rna{\displaystyle {\frac {2r}{na_{0}}}}
Yl,m(θ,φ){\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )} — нормированные на единицу сферические функции.

Угловой момент

Собственные значения для оператора углового момента:

L2|n,l,m⟩=ℏ2l(l+1)|n,l,m⟩,{\displaystyle L^{2}|n,l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|n,l,m\rangle ,}
Lz|n,l,m⟩=ℏm|n,l,m⟩.{\displaystyle L_{z}|n,l,m\rangle =\hbar m|n,l,m\rangle .}

Атомная единица массы

Абсолютная масса 1/12 атома углерода является эталонной единицей, значение которой вычислено с высокой точностью и составляет 1,66 *10-24г или 1,66 *10-27кг. Эта эталонная масса называется атомной единицей массы (а.е.м.).

Значения относительных атомных масс химических элементов запоминать не надо, они приведены в любом учебнике или справочнике по химии, а также в периодической таблице Д.И. Менделеева.

Знак химического элемента

Аr

H

1

C

12

N

14

O

16

Mg

24

Na

23

Al

27

P

31

S

32

Cu

64

При расчетах значения относительных атомных масс принято округлять до целых.

Исключение составляет относительная атомная масса хлора – для хлора используют значение 35,5.

Список рекомендованной литературы

1. Сборник задач и упражнений по химии: 8-й класс: к учебнику П.А. Оржековского и др. «Химия, 8 класс» / П.А. Оржековский, Н.А. Титов, Ф.Ф. Гегеле. – М.: АСТ: Астрель, 2006.

2. Ушакова О.В. Рабочая тетрадь по химии: 8-й кл.: к учебнику П.А. Оржековского и др. «Химия. 8 класс» / О.В. Ушакова, П.И. Беспалов, П.А. Оржековский; под. ред. проф. П.А. Оржековского — М.: АСТ: Астрель: Профиздат, 2006. (с.24-25)

3. Химия: 8-й класс: учеб. для общеобр. учреждений / П.А. Оржековский, Л.М. Мещерякова, Л.С. Понтак. М.: АСТ: Астрель, 2005.(§10)

4. Химия: неорг. химия: учеб. для 8 кл. общеобр. учреждений / Г.Е. Рудзитис, ФюГю Фельдман. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2009. (§§8,9)

5. Энциклопедия для детей. Том 17. Химия / Глав. ред.В.А. Володин, вед. науч. ред. И. Леенсон. – М.: Аванта+, 2003.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Единая коллекция цифровых
образовательных ресурсов (Источник).

2. Электронная
версия журнала «Химия и жизнь» (Источник).

3. Тесты по химии
(онлайн) (Источник).

Домашнее задание

с.24-25 №№ 1-7 из Рабочей тетради по химии: 8-й кл.: к учебнику П.А. Оржековского и др. «Химия. 8 класс» / О.В. Ушакова, П.И. Беспалов, П.А. Оржековский; под. ред. проф. П.А. Оржековского — М.: АСТ: Астрель: Профиздат, 2006.

Ссылка на основную публикацию