Расчет реакции в узлах в scad office

Момент импульса материальной точки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора  на импульс :

где — момент инерции, — угловая скорость вращения тела.

Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

Производная по времени от момента импульса  механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил , действующих на систему:

Для материальной точки уравнение моментов записывается:

Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:

где  — проекции момента импульса на соответствующую ось;  — проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

  1.  найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
  2.  определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Сравнить угловые скорости, приобретенные материальной точкой под действием вращающих моментов, графики (a,b) которых приведены на рисунках.

рис. 2.

Решение

В соответствии с уравнением моментов для материальной точки имеем:

где 

так как мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем:

откуда 

Вспомним геометрический смысл интеграла.

Рассчитаем и сравним площади треугольников OAB и OCD.

Площади треугольников равны, соответственно 

Ответ Угловые скорости, приобретаемые материальной точкой в первом и втором случаях равны.

Вариационные основы МКЭ

При решении
многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется их полная
потенциальная энергия
U:

U = W – V.(1)

Здесь W – работа внешних сил, V – работа внутренних сил. Обычно все они представляются в виде функций,
зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели
сооружения.

Исследование этого выражения позволяет выявить важные
законы механики, называемые принципами. Например, в теоретической механике
известен принцип Лагранжа-Дирихле: для
того чтобы механическая система находилась в равновесии, ее полная
потенциальная энергия должна быть постоянной.
Из этого принципа следует,
что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии,
должно равняться нулю:

Вычисление приращения функции обычно заменяется
вычислением его приближенного значения − дифференциала. В этом случае
получается вариационное уравнение Лагранжа

где символ означает вариацию, вычисление
которого схоже с вычислением дифференциала функции. Это уравнение позволяет
свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной
потенциальной энергии.

С учетом (1) вариационное уравнение Лагранжа принимает
вид

Оно формулируется как принцип Лагранжа: вариация работы внутренних сил равна
вариации работы внешних сил.

Принцип Лагранжа используется для сведения континуальной
задачи расчета сооружений к дискретной задаче путем аппроксимации
(приближенного определения) непрерывных полей перемещений, деформаций,
напряжений внутри конечного элемента по его узловым перемещениям.

В строительной механике используются и другие
вариационные принципы, аналогичные принципу Лагранжа, такие как принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др. Однако мы воспользуемся только вариационным
принципом Лагранжа как основой варианта МКЭ в форме метода перемещений.

Алгебраическая сумма — момент — сила

Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия пары, есть величина постоянная, равная моменту пары.

Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки плоскости не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары.

Алгебраическая сумма моментов сил, составляю щих пару, относительно произвольной точки плоскости не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары.

Алгебраическая сумма моментов сил равна нулю.

Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия пары есть величина постоянная, равная моменту пары.

Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих, пару, относительно любой точки плоскости действия пары есть величина постоянная, равная моменту пары.

Алгебраическая сумма моментов сил заданной системы относительно точки приведения называется главным моментом системы сил.

Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любого центра, лежащего в плоскости ее действия, не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары.

Если алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, имеющее неподвижную ось, вращения, равна нулю, то это не означает, что тело обязательно покоится. Тело либо покоится, либо равномерно вращается вокруг этой оси.

Если алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, имеющее неподвижную ось вращения, равна нулю, то это не означает, что тело обязательно покоится. Тело либо покоится, либо равномерно вращается вокруг этой оси.

Если алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, имеющее неподвижную ось вращения, равна нулю, то это не означает, что тело обязательно покоится. Тело либо покоится, либо равномерно вращается вокруг этой оси.

Моменты инерции некоторых тел.

Если алгебраическая сумма моментов сил относительно неподвижной оси равна нулю, то момент импульса системы относительно той же оси неизменен.

Равенство нулю алгебраической суммы моментов сил не означает также, что при этом тело обязательно находится в покое. На протяжении нескольких миллиардов лет с постоянным периодом продолжается вращение Земли вокруг оси именно потому, что алгебраическая сумма моментов сил, действующих на Землю со стороны других тел, очень мала. По той же причине продолжает вращение с постоянной частотой раскрученное велосипедное колесо, и только внешние силы останавливают это вращение.

Балка на двух опорах, нагруженная силами FI и / V Построение диаграммы изгибающих моментов.| Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой. Диаграмма изгибающих моментов строится, как показано на 3. Изгибающий момент в произвольном сечении S балки. AfH — mm б — из диаграммы. Балка на двух опорах весом 500 даН со сосредоточенной нагрузкой Р 2500 и F 1500 даН и нагрузкой С — 2000 даН, равномерно распределенной на длине 2 м. Диаграмма общих изгибающих моментов получается в результате сложения соответствующих координат диаграмм от сосредоточенных и распределенной нагрузок, а также от силы веса балки. Изгибающий момент, например и сечении D, равен mm 6.

Матрица жесткости КЭ

Известные в механике
геометрические и физические соотношения для континуальных систем можно записать
в виде, аналогичномрассмотренным ранее
уравнениям дискретного подхода. Например,

Здесь и – вектора деформаций и напряжений, а
и – матрицы
равновесия и податливости континуальной системы. В отличие от дискретного подхода,
уравнения континуального подхода удовлетворяются во всех точках системы.

При рассмотрении конечного элемента как континуальной
системы принцип Лагранжа можно записать в виде

где левая и правая части представляют возможные работы
внутренних и внешних сил, а интегрирование ведется по объему КЭ V.

После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ
с использованием матрицы форм H. Тогда после ряда преобразований получается матричное уравнение,
связывающее вектор узловых перемещений u с вектором узловых усилий P КЭ:

Ku=P,

в которой симметричная
квадратная матрица

называется матрицей жесткости конечного
элемента
. Физический смысл элемента kij этой матрицы – это
реакция (реактивная сила), возникающая в i-омнаправлении отзаданного
единичного перемещения в j-ом
направлении.

К примеру, для рассмотренного ферменного КЭ, находящегося
в одноосном напряженном состоянии, геометрическое уравнение будет. Сравнив его с матричным
уравнением , видим, что матрица равновесия является дифференциальным оператором с
одним членом, т.е. . Из уравнения связи между деформацией и напряжением видно, что матрица податливости
будет .

Для определения матрицы жесткости КЭ вычислим:

Интегрирование по объему V сводится к интегрированию по длине l КЭ, т.к. (F− площадь сечения КЭ).Тогда

При рассмотрении прямоугольного
КЭ толщиной t и размерами 2a и 2b
с четырьмя узлами i, j, k, mи восемью узловыми перемещениями (рис. 4), матрица
жесткости будет иметь размеры 88.

Рис. 4

Для краткости записи матрицу жесткости этого КЭ можно
представить в блочной форме с 16 блоками одинаковой размерности 22:

Здесь – коэффициент Пуассона. Элементы каждого блока
матрицы K определяются по разным формулам. Например,

Ссылка на основную публикацию