Распространение волн в упругой среде. уравнение плоской волны. фазовая скорость волны. групповая скорость

Замедление — фазовая скорость

Замедление фазовой скорости объясняют также удлинением пути волны при следовании ее по профилю канавки.

В общем случае замедление фазовой скорости необязательно связано с получением сверхнаправлевных диаграмм. Поэтому все введенные оценки не относятся к любой антенне с замедленной фазовой скоростью, а лишь к антенвам, в которых распределение амплитудьи и фазы токов задано специальным образом для получения эффекта сверхнаправленности. В частности, все сказанное не относится к антеннам бегущей волны с замедленной фазовой скоростью, для которых ширина диаграммы направленности даже больше, чем у синфазной автенны такой же длины.

Вследствие того, что коэффициент замедления фазовой скорости волньи с увеличением длины волны в — некоторых пределах увеличивается, соотношения ( 10 — 23) и ( 10 — 24) с изменением длины волны мало нарушаются и антенва в широком диапазоне волн сохраняет свои направленные свойства. Этот диапазон волн простирается примерно от 0 7А0 до 1 2Яо, где А0 — длина волны, для которой подобраны оптимальные размеры антенны.

Диэлектрический волновод круглого ( а и прямоугольного ( б сечений.

Помимо уже рассмотренных простейших устройств для замедления фазовой скорости электромагнитных волн, в современной технике СВЧ находит применение ряд других замедляющих систем, весьма отличающихся друг от друга конструктивными принципами и особенностями применения. Детальное рассмотрение их выходит далеко за рамки настоящего учебного пособия.

Диэлектрический волновод круглого ( а и прямоугольного ( б сечений.

Ломимо уже рассмотренных простейших устройств для замедления фазовой скорости электромагнитных волн, в современной технике ОВЧ находит ( Применение ряд других замедляющих систем, весьма отличающихся Друг от друга конструктивными принципами и особенностями применения. Детальное рассмотрение их выходит далеко за рамки настоящего учебного пособия.

Антенны поверхностных волн.

Создание поверхностной волны возможно при условии замедления фазовой скорости волны возбудителя по сравнению со скоростью в воздухе. Это замедление возможно получить, например, в случае применения в направителе плоской металлической пластины или стержня с тонким диэлектрическим покрытием ( рис. 7 — 62, а), например из полиэтилена.

Антенны поверхностных волн.| Диэлектрические антенны.

Создание поверхностной волны возможно при условии замедления фазовой скорости волны возбудителя по сравнению со скоростью в воздухе. Это замедление возможно получить, например, в случае применения в направителе плоской металлической пластины или стержня с, тонким диэлектрическим покрытием ( рис. 8 — 36, а), например из полиэтилена.

Указанные факторы затрудняют точные измерения распределения амплитуды поля по поперечному сечению, степени замедления фазовой скорости волн и потерь в линиях поверхностной волны.

Здесь kc u n — р2, ka — Р2; рХДс — коэффициент замедления фазовой скорости в волноводе; Я, — длина волны в свободном пространстве с параметрами EJ, ( 12; Хс — длина волны в волноподе; у — — ф; Р — постоянная распространения.

Диэлектрические антенны.| Спиральная антенна.

Поперечное сечение стержня подбирается так, чтобы переносимая волной энергия в основном концентрировалась вблизи поверхности стержня, а в направлении, перпендикулярном стержню, интенсивность излучения быстро убывала. Это возможно осуществить за счет замедления фазовой скорости в диэлектрике. Таким образом, диэлектрические антенны могут быть по принципу действия отнесены к антеннам поверхностных волн.

6.7. Расплывание волнового пакета

Поскольку волновой пакет состоит

из волн с различающимися фазовыми скоростями, то эти волны с течением времени

должны расходиться, а волновой пакет — расплываться. Время расплывания пакета

можно оценить, удержав в разложении (3.2) слагаемое со второй производной d2w /dk2:

Теперь показатель экспоненты в формуле (3.1) равен

где

Квадратичная

добавка даёт дополнительный набег фазы. Сказанное иллюстрирует рис. 6.7.1.Будем

полагать, что произошло заметное расплывание, если за промежуток времени t приращение

фазы d×t

стало порядка p.

Отсюда следует оценка масштаба времени расплывания:

Здесь мы воспользовались соотношением (4.1), которое связывает

протяжённость волнового пакета с разбросом волновых чисел. Квадратичное

слагаемое равно нулю при линейной зависимости частоты от волнового вектора. В

этом случае эффект расплывания волнового пакета не имеет места, как, например у

фотона в вакууме.

Рассмотрим теперь нерелятивистску частицу

с массой M. Вторую производную частоты по волновому

вектору оценим следующим образом:

Следовательно, время расплывания волнового пакета по порядку

величины составляет

В классическом пределе (h

→ 0) эффект расплывания отсутствует.

Примеры

Пусть макроскопическое тело имеет массу M = 1г и размер Dx ~ 1 м (дробинка). Тогда из (7.1) получаем

t

~ 1018 лет. Это значительно превышает возраст Вселенной. Таким

образом, объекты макромира не успевают расплыться за время своего существования.

Перейдём к объектам микромира.

Формула (7.1) упрощается в случае электрона.

Если M=me, то

te~ (D x)2

при условии, что расстояние измеряется в сантиметрах, а время

— в секундах. Проверим, может ли электрон удержаться внутри области, размер

которой равен его классическому радиусу

re.

В этом случае

te ~ re2 ~ t ~ 10–26 с.

Электрон практически мгновенно «уплывет» в другое место. Классический

радиус электрона численно близок к размерам ядра. Следовательно, мы показали

также, что электрона в ядре быть не может.

Атомный электрон локализован внутри области Dx ~ a ~ 10–8см, откуда время

расплывания10–16с

оказывается сравнимым с периодом обращения электрона

на орбите вокруг ядра.

Мы рассмотрели два примера

поведения микрочастицы на микроскопических расстояниях. Теперь обсудим движение

электрона в масштабах домашнего телевизора и околоземной орбиты.

Электрон в кинескопе телевизора, пройдя разность потенциалов ~20кэВ, разгоняется до скорости ~1010см/с. Пусть чёткость

изображения удовлетворительна при его локализации на экране с точностью до Dx~0.1 мм. Если размер пакета

принять равным этой величине, то время расплывания получается равным 10–4 с. За это время электрон пролетит

10 км — расстояние, значительно превышающее размер телевизора. Итак, в

трубке кинескопа не происходит расплывания электрона как волнового пакета.

Космофизичекий эксперимент. В советско–французском

эксперименте под кодовым названием «Аракс» с острова Кергелен

в Южном полушарии вблизи северного магнитного полюса запускалась в атмосферу

ракета с электронной пушкой, которая инжектировала в атмосферу пучок электронов

с энергией примерно 10 кэВ. Электроны летели вдоль силовых линий

магнитного поля Земли и были зарегистрированы в районе Архангельска. Длина пути

была около 109 см. При скорости 1010 см/с такое

расстояние электрон проходит примерно за десятую долю секунды. Отсюда следует

величина расплывания пакета порядка нескольких миллиметров — в 109

раз меньше длины пути электрона. Таким образом, в случае микроскопической

частицы, двигающейся в макроскопических масштабах, расплывания волнового пакета

не происходит.

Итак, расплывание волнового

пакета может оказаться существенным только при движении микроскопической

частицы в микроскопических масштабах, то есть там, где законы классической

механики уже неприменимы.

Фазовая скорость — распространение — волна

Определив длину поверхностных волн для нескольких значений частоты колебаний источника, по формуле ( 2) подсчитать фазовую скорость распространения волн.

Длина волны К и частота v связаны соотношением K vt itl / v, где ифа, — — фазовая скорость распространения волны. Нужно использовать и соотношение (37.6), связывающее корпускулярную характеристику электрона — его энергию W — с частотой v электронной волны.

Блок-схема измерителя полных сопротивлений и проводимостей с показом результата на круговой диаграмме.

В технике волно-водных измерений применяется разновидность щелевой измерительной линии, у которой зонд и измеряемый объект неподвижны, а изменяется фазовая скорость распространения волн в отрезке линии, соединяющем их.

Расположение волновых векторов при полном отражении.

Когда угол падения становится больше угла полного отражения ( ф1Фк), скорость распространения падающей и преломленной волн вдоль границы раздела становится меньше фазовой скорости распространения волны во второй среде.

Путем простых рассуждений можно легко убедиться в том, что максимум приема со стороны поглощающего сопротивления можно получить только в том случае, если фазовая скорость распространения волны по линии не будет сильно отличаться от скорости распространения волны в свободном пространстве — от скорости света.

Для любой волны помимо ее длины Я, рассматривается частота v, связанная с длиной волны соотношением Kv a3 / v, где уфаз — фазовая скорость распространения волны. Очевидно, что фазовая и групповая скорости волны для частицы, свободно движущейся со скоростью v, должны быть как-то связаны с и. Для вычисления фазовой и групповой скоростей электронной волны недостаточно формулы Kh. Нужно использовать, кроме того, соотношение (12.5), связывающее корпускулярную характеристику электрона — его полную энергию W — с частотой v электронной волны.

Влияние вибраторов, входное сопротивление которых носит емкостный характер и которые расположены относительно длины волны близко друг к другу, сказывается в том, что уменьшается фазовая скорость распространения волн тока вдоль линии.

Волновая антенна.

Подобно антенне бегущей волны коротких волн ток в приемнике оказывается максимальным в том случае, когда волна приходит в направлении оси провода со стороны поглощающего сопротивления. Если бы фазовая скорость распространения волны тока вдоль провода была равна скорости приходящей электромагнитной волны, то этот ток был бы тем больше, чем больше длина провода. Однако так как обратным проводом для тока является земля, проводимость и диэлектрическая проницаемость которой отличны от таковых для воздуха, то фазовая скорость распространения волны тока вдоль провода меньше скорости распространения приходящей электромагнитной волны. Поэтому максимум тока в приемнике имеет место при некотором определенном отношении If К.

При проникновении в металл волна не только затухает, но и запаздывает по фазе. Установлено, что фазовая скорость распространения волн в металлических средах значительно меньше скорости распространения этих волн в свободном пространстве.

Соотношение (1.8) называется дисперсионным ( или частотным) уравнением. Если для всех частот со фазовая скорость распространения волны с одинакова, то волна называется недиспергирующей.

Определить первичные и вторичные параметры воздушной линии, диаметр проводов которой равен 3 мм и расстояние между осями проводов составляет 20 см. Состояние погоды: сыро, температура 20 С. Чему равны длина волны в линии и фазовая скорость распространения волн.

Распределение тока по стенкам прямо — ленную форму.

Изменение — фазовая скорость — волна

Изменение фазовой скорости волны три взаимодействии ее с электронным потоком можно объяснить, рассматривая обмен реактивной мощностью между электронами и волной.

Отсюда видно, что наличие пузырьков приводит к изменению фазовой скорости волны, а также к ее затуханию. Наиболее интересны случаи малых потерь, когда мнимая часть в (6.5) мала.

Схема обратной связи между электромагнитной волной и электронным потоком.

Для выполнения условия (20.19) в широком диапазоне частот необходимо, чтобы изменение фазовой скорости волны в замедляющей системе компенсировалось одновременным изменением фазовой постоянной электронного потока.

Найденное значение AM позволяет воспользоваться формулами (2.48) и (2.49) для определения изменения фазовой скорости волны и напряженности поля по длине группирователя.

Если же сгустки расположены не на вершине волны ВЧ-генератора, то поля складываются векторно и суммарное поле изменит свою фазу, что эквивалентно изменению фазовой скорости волны в структуре.

Амплитудная характеристика ЛБВ.| Устройство генератора на ЛОВ.

Спиральные, замедляющие системы, используемые в ЛБВ, характеризуются, как правило, очень слабой дисперсией, так что нарушение условия синхронизма за счет изменения фазовой скорости волны при изменении частоты практически слабо влияет на полосу рабочих частот. На нее оказывают влияние условия согласования замедляющей системы со входом и выходом лампы. Согласующие устройства обладают собственным частотным диапазоном, ширина которого относительно невелика. Это обстоятельство не только ограничивает общую полосу рабочих частот, но и приводит зачастую к немонотонности частотной характеристики в пределах рабочего диапазона. Все же реальные усилители на ЛБВ обладают весьма широкой полосой рабочих частот: до 60 % от ш и более.

Зависимость функции Ра ( Фо, ( р, х от Фо для различных значений.

На рис. 4.24 представлены функции Fa ( Io, p, x) B зависимости от относительного угла пролета Фо в предположении, что последний изменяется вследствие изменения фазовой скорости волны при постоянных значениях /, ш и VQ.

Уравнение для векторного потенциала охватывает все вопросы теории ускоряющих систем: позволяет решить задачу о полях и потоке мощности в волноводе медленных волн, о его возбуждении, определяет величину поля излучения, изменение фазовой скорости волны при наличии в волноводе тока пучка. Однако решить уравнение в общем виде с учетом всех явлений невозможно. Поэтому его исследование проводится при разных приближениях.

Импульсный характер работы ускорительной установки. tp — рабочая часть импульса, в течение которой происходит ускорение. тн — время нестационарного процесса в генераторе СВЧ и ускоряющей си.

Нестабильность температуры ускоряющей системы возникает от нагрева токами СВЧ металла и приводит к изменению размеров ускоряющего волновода. Это приводит к изменению фазовой скорости волны и соответственно конечной энергии электронов. В резонаторах изменение температуры изменяет резонансные частоты резонаторов, что ведет к отклонению энергии электронов от расчетного значения. Так как температура ускоряющих систем во время работы медленно и монотонно повышается, то устранение влияния температурных не-стабильностей не вызывает в принципе непреодолимых трудностей.

Хотя объяснение преломления с волновой точки зрения излагается в элементарных курсах физики, — мы воспроизведем его здесь для того, чтобы подчеркнуть некоторые характерные черты этого объяснения. Волновое объяснение сводит преломление при переходе из одной среды в другую к изменению фазовой скорости волны.

Полоса рабочих частот ( шмакс-шмин), как и для любого усилителя, оценивается для ЛБВ по допустимому ( обычно 3 дб) спаду коэффициента усиления при изменении частоты сигнала относительно средней, расчетной частоты. Спиральные замедляющие системы, используемые в ЛБВ, характеризуются, как правило, очень слабой дисперсией, так что нарушение условия синхронизма за счет изменения фазовой скорости волны при изменении частоты практически слабо влияет на процесс усиления.

6.6 Линейная и нелинейная дисперсионные зависимости

В случае линейной связи между

частотой и волновым числом фазовая скорость равна групповой. Например, электромагнитные

волны в вакууме, как известно, описываются линейным уравнением

w

= kc.

Их него следует

Vф = Vг

= с.

Но при распространении в той или иной среде связь между

частотой и волновым числом может оказаться нелинейной. Принято говорить, что

такая среда обладает дисперсией. При нелинейной функции w(k) групповая

и фазовая скорости различаются. Например, распространение электромагнитной

волны в плазме описывается дисперсионным уравнением

где w

— плазменная частота. Она определена формулой (1.2.1) в разделе 1.1.2 (Ленгмюровская частота) первой главы (Анализ размерностей). Дифференцируя

(6.1) по волновому числу k, получаем:

Из последнего равенства вытекает связь между фазовой и

групповой скоростями электромагнитной волны в плазме:

Vф

×Vг = с2.

Сами скорости в единицах скорости света равны

Таким образом, фазовая скорость получилась больше скорости

света, а групповая скорость — меньше c, в полном соответствии с её смыслом как скорости передачи

сигнала.

6.2 Групповая скорость

Понятие групповой скорости

связано с интерференцией колебаний, имеющих разные частоты и длины волн. Рассмотрим

две волны с одинаковыми амплитудами и различающимися, но близкими частотами и

длинами волн:

причём

Сложимэтиколебания

В аргументе первого косинуса правой части мы пренебрегли слагаемыми

Δω и Dk

по сравнению с 2w

и 2k. На рис.6.2.1 приведён график функции Y(x)

в некоторый момент времени. Результирующее

колебание представляет собой волну практически с прежними

значениями частоты и волнового числа, но с модулированной амплитудой. Мы можем

добиться того, чтобы для нас стала неподвижной картина модуляции амплитуды. Для

этого надо двигаться со скоростью

До сих пор мы рассматривали одномерный случай. На рис.6.2.2

представлена имитация сложения волн, распространяющихся в разных направлениях

на плоскости. Из равноотстоящих точек под разными углами проведено по пять

линий. Хорошо видно, как они образуют периодические

сгущения и разрежения по обоим направлениям.

Если сложить большое число волн, то получится более сложная

картина биений с большей степенью локализации колебаний, но элементы периодической

структуру будут многократно повторяться. Этот результат пока ещё отличается от

наших представлений о частице, находящейся в определённой области пространства.

Локализацию волнового пакета можно получить только при непрерывном распределении

частот и волновых чисел. Тогда частоту можно представить как непрерывную функцию

волнового вектора:

(2.2)w = w (k).

Зависимость (2.2) называется дисперсионным уравнением. Именно

для такой функции вводится понятие групповой скорости как предела (2.1):

Групповая скорость есть скорость передачи любого сигнала, а

также скорость переноса энергии, массы и аналогичных величин. Она никогда не

превосходит скорости света в вакууме.

Примечания

  1. cos(kx − ωt) или exp(i(kx − ωt)) или аналогичный многомерный вариант.
  2. В случае использования, например, косоугольных координат понятия координаты вектора и проекции на ось не совпадают.
  3. Конечно, в определенной фиксированной системе координат любая тройка (будем говорить для определенности о трехмерном случае) чисел определяет вектор; однако если мы имеем дело с настоящим вектором, то при смене системы координат, например, при повороте осей, мы должны получить согласованные по определенным правилам результаты для любой системы координат, а уже такое оказывается для рассматриваемой нами тройки чисел неверным.
  4. Это не противоречит теории относительности. См. следующий параграф.
  5. Как, например, и скорость зайчика на экране — см. статью Сверхсветовое движение.

Может ли фазовая скорость превосходить скорость света

Фазовая скорость может превосходить скорость света в вакууме, и нередко её превосходит. Это никак не противоречит известному принципу максимальности скорости света, необходимость которого возникает чтобы одновременно соблюдались принцип причинности (чтобы не возникало причинных парадоксов) и принцип относительности (лоренц-инвариантность).

Дело в том, что эти принципы накладывают ограничение только на скорость распространения таких физических объектов, посредством которых можно передать информацию. А фазовая скорость не относится к скоростям таковых объектов. Чисто монохроматическая (синусоидальная) волна бесконечна в пространстве и во времени, не может никак измениться, чтобы передать информацию (если мы промодулируем волну, она перестанет быть монохроматической, а скорость распространения модуляции — не совпадает с фазовой скоростью, обычно совпадая со скоростью групповой для почти монохроматических волн).

Фазовая скорость по направлению, не совпадающему с волновым вектором

Поскольку фазовая скорость, измеренная вдоль произвольного направления, не совпадающего с волновым вектором и направлением распространения волны, не является скоростью движения «физического объекта», то есть, объекта, состояние которого в последующие моменты времени причинно обусловлено состоянием в предыдущие, а по сути характеризует просто состояние осциллирующего поля в искусственно выбранных точках, часто (а именно если выбрать достаточно большой угол с волновым вектором), фазовая скорость по данному направлению любой, даже сколь угодно медленной (как показано в параграфе выше), волны может превышать скорость света, стремясь к бесконечности при стремлении угла к прямому.

В частности, фазовая скорость света (или вообще любой бегущей электромагнитной волны) в вакууме, измеренная по любому направлению, не совпадающему с её волновым вектором, всегда больше скорости света.

Но дело не ограничивается фазовой скоростью по произвольному направлению. Скорость света может быть превзойдена даже и фазовой скоростью, измеренной вдоль волнового вектора.

Фазовая скорость для квантовой частицы

Фазовая скорость квантовой волны, соответствующей любой массивной частицы (то есть частицы, имеющей массу больше нуля), всегда больше скорости света. Это легко видеть из формул Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \ v_\phi = \omega/k
, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): E = \hbar \omega
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): p = \hbar k
, из чего Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \ v_\phi = E / p
, в то время как E для массивных частиц всегда больше p за счет массы (энергии покоя).

Однако эта фазовая скорость в принципе не может наблюдаться (так как в квантовой физике фаза ненаблюдаема вообще). Доступна же наблюдению лишь групповая скорость, которая и является квантовым аналогом обычной скорости классической частицы.

Фазовая скорость для уравнения Клейна—Гордона

Но дифференциальные уравнения, описывающие квантовые частицы, могут быть реализованы в принципе и на других физических системах (например, на достаточно простых механических моделях). В этом случае фазовая скорость — вполне доступна наблюдению.

Тем не менее и здесь фазовая скорость может быть сделана сколь угодно большой (достаточно подобрать достаточно малое k), и в принципе — её нетрудно сделать большей, чем скорость света.

Этот на вид парадоксальный результат связан с тем, что «распространение» такой волны является иллюзией в том смысле, что между разными частями волны нет причинной связи (состояние волны, продвинувшейся вправо не определяется тем, какой она была слева).

Скорость — распространение — радиоволна

Скорость распространения радиоволн равна 3 10s м / с.

Скорость распространения радиоволн в свободном пространстве ( в вакууме) равна скорости света. Распространение радиоволн в других средах происходит с фазовой скоростью, отличающейся от с, и сопровождается поглощением электромагнитной энергии. Оба эффекта объясняются возбуждением колебаний электронов и ионов среды пор действием электрического поля волны. Если напряженность поля Е гармонической волны мала по сравнению с напряженностью поля, действующего на заряды в самой среде ( например, на электрон в атоме), то колебания происходят также по гармоническому закону с частотой со пришедшей волны. Колеблющиеся электроны излучают вторичные радиоволны той же частоты, но с другими амплитудами и фазами. В результате сложения вторичных волн с приходящей формируется результирующая волна с новой амплитудой и фазой. Сдвиг фаз между первичной и переизлученными волнами приводит к изменению фазовой скорости. Потери энергии при взаимодействии волны с атомами являются причиной поглощения радиоволн.

Преломленный и отраженный лучи у границы двух сред..

Скорость распространения радиоволн v c / j / Vji определяется относительной диэлектрической & и магнитной д / проницаемостью среды. Для реальных сред, с которыми связано распространение электромагнитных колебаний в радиолиниях ( воздух, почва, метеорологические образования), магнитная проницаемость х близка к единице.

Расположение векторов напряженности электрического и магнитного полей при распространении радиоволн в свободном пространстве.

Скорость распространения радиоволн в воздушном пространстве на удалении от земной поверхности, равном двум-трем значениям длины волны, близка к 300 000 км / сек.

Скорость распространения радиоволн в длинных лиииях не очень значительно отличается от 300 000 км / сек. Поэтому для задержки в 1 мксек требуется линия длиной в сотни метров, что неудобно. Обычно вместо длинных линий применяются искусственные линии ( см.), которые позволяют получать время задержки до нескольких микросекунд.

Скорость распространения радиоволн в длинных линиях не очень значительно отличается от 300 000 KMJCBK. Поэтому для задержки в 1 мксек требуется линия длиной в сотни метров, что неудобно. Обычно вместо длинных линий применяются искусственные линия ( см.), которые позволяют получать время задержки до нескольких микросекунд.

Изменение скорости распространения радиоволн в воздухе в зависимости от атмосферных условий незначительно и практически не имеет значения.

Изображения сигналов на экране осциллографа радиолокатора.| Сигнал ( импульс локатора, изображенный с пробелом, так.

Так как скорость распространения радиоволн известна, то можно градуировать прямую А В прямо в единицах длины и непосредственно читать на экране ос циллографа расстояние до отражающего предмета.

Как зависит скорость распространения радиоволн от свойств среды, в которой волны распространяются.

Сигнал ( импульс локатора.| Что видно на экране осциллографа радиолокатора.

Так как скорость распространения радиоволн известна — то можно градуировать прямую АВ прямо в километрах и непосредственно читать на экране осциллографа расстояние до отражающего предмета. В действительности радиолокатор посылает не однократный сигнал, показанный на рис. 65, а ряд таких сигналов, следующих друг за другом через равные промежутки времени много ( например, тысячу) раз в секунду. Развертка тоже делается периодической и синхронной с посылкой сигналов. Таким образом, изображения посылаемого и принимаемого ( отраженного) сигналов воспроизводятся на экране — осциллографа много раз в секунду и воспринимаются наблюдателем как непрерывная картина.

Изображения сигналов на экране осциллографа радиолокатора.| Сигнал ( импульс локатора, изображенный с пробелом, так.

Математика

В предыдущей статье мы видели, что частотная модуляция достигается путем добавления интеграла низкочастотного модулирующего сигнала к аргументу функции синуса или косинуса (где функция синуса или косинуса представляет собой сигнал несущей):

\

Однако вы вспомните, что мы перешли к частотной модуляции, сначала обсуждая фазовую модуляцию: добавление самого низкочастотного модулирующего сигнала, а не его интеграла, заставляет фазу меняться в соответствии с амплитудой модулирующего сигнала. Таким образом, фазовая модуляция на самом деле немного проще частотной.

\

Как и в случае частотной модуляции, мы можем использовать индекс модуляции, чтобы сделать изменения фазы более чувствительными к изменениям амплитуды низкочастотного модулирующего сигнала:

\

Сходство между фазовой и частотной модуляциями становится более явным, если мы рассмотрим низкочастотный модулирующий сигнал, состоящий из одной частоты. Предположим, что xнч(t) = sin(ωнчt). Интеграл синуса равен отрицательному косинусу (плюс константа, которую мы можем здесь игнорировать) – другими словами, интеграл представляет собой просто сдвинутую по времени версию исходного сигнала. Таким образом, если мы выполняем фазовую модуляцию и частотную модуляцию с помощью этого низкочастотного модулирующего сигнала, единственной разницей в модулированных сигналах будет выравнивание между амплитудой низкочастотного модулирующего сигнала и изменениями в сигнале несущей; сами изменения будут одинаковы. Это будет понятно в следующем разделе, где мы рассмотрим некоторые временны́е графики.

Важно иметь в виду, что мы имеем дело с мгновенной фазой, так же как частотная модуляция основана на концепции мгновенной частоты. Термин «фаза» довольно расплывчатый

Одно знакомое значение относится к начальному состоянию синусоиды; например «обычная» синусоида начинается со значения нуля и затем увеличивается в сторону своего максимального значения. Синусоида, которая начинается в другой точке своего периода, имеет сдвиг фазы. Мы можем также думать о фазе как о конкретной части полного периода сигнала, например, в фазе π/2 синусоида завершила одну четверть своего периода.

Эти интерпретации «фазы» нам не очень помогают, когда мы имеем дело с фазой, которая постоянно изменяется в зависимости от формы низкочастотного модулирующего сигнала. Скорее мы используем концепцию мгновенной фазы, т.е. фазы в заданный момент времени, которая соответствует значению, переданному (в заданный момент) тригонометрической функции. Мы можем думать об этих непрерывных изменениях в мгновенной фазе как о «толкании» значения несущей дальше или ближе к предыдущему состоянию формы волны.

Еще одна вещь, о которой нужно помнить: тригонометрические функции, включая синус и косинус, работают с углами. Изменение аргумента тригонометрической функции эквивалентно изменению угла, а это объясняет, почему и частотная, и фазовая модуляции описываются как угловая модуляция.

QPSK

BPSK передает один бит на символ, к чему мы и привыкли. Всё, что мы обсуждали в отношении цифровой модуляции, предполагало, что сигнал несущей изменяется в зависимости от того, находится ли цифровое напряжение на низком или высоком логическом уровне, и приемник воссоздает цифровые данные, интерпретируя каждый символ как 0 или 1.

Прежде чем обсуждать квадратурную фазовую манипуляцию (QPSK, quadrature phase shift keying), нам необходимо ввести следующую важную концепцию: нет причин, по которым один символ может передавать только один бит. Это правда, что мир цифровой электроники строится вокруг схем, в которых напряжение находится на одном или другом экстремальном уровне, так что напряжение всегда представляет собой один цифровой бит. Но радиосигнал не является цифровым; скорее, мы используем аналоговые сигналы для передачи цифровых данных, и вполне приемлемо разработать систему, в которой аналоговые сигналы кодируются и интерпретируются таким образом, чтобы один символ представлял два (или более) бита.

QPSK сигнал во временной области

Преимущество QPSK заключается в более высокой скорости передачи данных: если мы сохраняем одну и ту же длительность символа, то можем удвоить скорость передачи данных от передатчика к приемнику. Недостатком является сложность системы. (Вы можете подумать, что QPSK более восприимчив к битовым ошибкам, чем BPSK, поскольку разделение между возможными значениями в нем меньше. Это разумное предположение, но если вы рассмотрите их математику, то оказывается, что вероятности ошибок на самом деле очень похожи.)

Скачки фазы

Стандартная QPSK модуляция гарантирует, что переходы между символами будут происходить с высоким наклоном; поскольку скачки фазы могут составлять ±90°, мы не можем использовать подход, описанный для скачков фазы на 180°, создаваемых BPSK модуляцией.

Эту проблему можно смягчить, используя один из двух вариантов QPSK. Квадратурная фазовая манипуляция со сдвигом квадратур (OQPSK, Offset QPSK), которая включает в себя добавление задержки к одному из двух потоков цифровых данных, используемых в процессе модуляции, уменьшает максимальный скачок фазы до 90°. Другим вариантом является π/4-QPSK, которая уменьшает максимальный скачок фазы до 135°. Таким образом, OQPSK обладает преимуществом в уменьшении разрывов фазы, но π/4-QPSK выигрывает, поскольку она совместима с дифференциальном кодированием (обсуждается ниже).

Другим способом решения проблем с разрывами между символами является реализация дополнительной обработки сигналов, которая создает более плавные переходы между символами. Этот подход включен в схему модуляции, называемую частотной модуляцией минимального фазового сдвига (MSK, minimum shift keying), а также улучшение MSK, известное как Гауссовская MSK (GMSK, Gaussian MSK).

Дифференциальное кодирование

Еще одна сложность заключается в том, что демодуляция PSK сигналов сложнее, чем FSK сигналов. Частота является «абсолютной» в том смысле, что изменения частоты всегда можно интерпретировать, анализируя изменения сигнала во времени. Фаза, однако, относительна в том смысле, что она не имеет универсальной опорной точки – передатчик генерирует изменения фазы относительно одного момента времени, а приемник может интерпретировать изменения фазы относительно другого момента времени.

Практическое проявление этого заключается в следующем: если между фазами (или частотами) генераторов, используемых для модуляции и демодуляции, существуют различия, PSK становится ненадежной. И мы должны предположить, что будут разности фаз (если приемник не включает в себя схему восстановления несущей).

Дифференциальная QPSK (DQPSK, differential QPSK) – это вариант, который совместим с некогерентными приемниками (т.е. приемниками, которые не синхронизируют генератор демодуляции с генератором модуляции). Дифференциальная QPSK кодирует данные, создавая определенный сдвиг фазы относительно предыдущего символа таким образом, чтобы схема демодуляции анализировала фазу символа, используя опорную точку, которая является общей и для приемника, и для передатчика.

Пояснение принципа действия DQPSK модуляции

Ссылка на основную публикацию