Период колебания математического маятника t (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле t = 2√l,где l — длина нити (в метрах). пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды

Практическое применение математического маятника

Вот мы добрались и до самого интересного, зачем нужен математический маятник и какое его применение на практике в жизни. В первую очередь ускорение математического маятника используется для геологоразведки, с его помощью ищут полезные ископаемые. Как это происходит? Дело в том, что ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, так как плотность коры в разных местах нашей планеты далеко не одинакова и там где залегают породы с большей плотностью, ускорение будет немножко больше. А значит, просто подсчитав количество колебаний маятника можно отыскать в недрах Земли руду или каменный уголь, так как они имеют большую плотность, нежели другие рыхлые горные породы.

Также математическим маятником пользовались многие выдающиеся ученые прошлого, начиная с античности, в частности Архимед, Аристотель, Платон, Плутарх. Так Архимед и вовсе использовал математический маятник во всех своих вычислениях, а некоторые люди даже верили, что маятник может влиять на судьбы людей и пытались делать с его помощью предсказания будущего.

Период колебаний физического маятника

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.
Для этого умножим левую Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): l\frac{d^2\theta}{dt^2} = l\frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)
и правую часть этого уравнения на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): d\theta
. Тогда:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): l\frac{d\theta}{dt}d\left(\frac{d\theta}{dt}\right) = -g\sin\theta\, d\theta
.

Интегрируя это уравнение, получаем.

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): l\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = 2g\cos\theta+C
,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): C
произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \theta = \pm \alpha\,\,\,, \frac{d\theta}{dt} = 0
. Получаем: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): C = -2g\cos\alpha
. Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{d\theta}{dt} = 2\sqrt{\frac{g}{l}}\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}
.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sqrt{\frac{g}{l}}t = \int\limits_0^\frac{\theta}{2}{\frac{d\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}}
.

Удобно сделать замену переменной, полагая Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sin\frac{\theta}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}\sin\varphi
. Тогда искомое уравнение принимает вид:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): t = \sqrt\frac{l}{g}\int\limits_0^\varphi{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = \sqrt\frac{l}{g} F\left(\varphi\setminus \alpha/2\right)
.

Здесь Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): F\left(\varphi\setminus \alpha\right)
 — . Для периода колебаний получаем формулу:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): T = 4\sqrt\frac{l}{g}\,\int\limits_0^{\pi/2}{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = 4\sqrt\frac{l}{g}\,K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right)
.

Здесь Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right)
 — . Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): T = 2\pi \sqrt\frac{l}{g} \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots + \left^2 \sin^{2n}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots \right\}
.

Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \alpha
мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): T = 2\pi\sqrt\frac{l}{g} = 2\pi\sqrt\frac{I}{mgh}
.

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах до 1 радиана (≈60°)

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): T \approx 2\pi\sqrt\frac{l}{g} \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right) = \frac{\pi}{4}\sqrt\frac{l}{g} \left( 9 — \cos{\alpha}\right)
.

Свойства маятника

У маятника есть ряд интересных свойств, подтвержденных физическими законами. Так период колебаний всякого маятника зависит от таких факторов, как его размер, форма тела, расстояние между центром тяжести и точкой подвеса. Поэтому определение периода маятника является не простой задачей. А вот период математического маятника можно рассчитать точно по формуле, которая будет приведена ниже.

В ходе наблюдений за маятниками были выведены следующие закономерности:

  • Если к маятнику подвешивать разные грузы с разным весом, но при этом сохранять одинаковую длину маятника, то период его колебания будет одинаковым вне зависимости от массы груза.
  • Если при запуске колебаний отклонить маятник на не очень большие, но все же разные углы, то он станет колебаться в одинаковым период, но по разным амплитудам. Следовательно, период колебания у подобного маятника не зависит от амплитуды колебания, такое явление было названо изохронизмом, что с древнегреческого можно перевести как «хронос» – время, «изо» – равный, то есть «равновременный».

Колебания математического маятника

Формула периода колебания математического маятника впервые была открыта голландским ученым Гюйгенсом в далеком XVII веке. Будучи современником Исаака Ньютона, Гюйгенс был очень увлечен такими вот маятниками, увлечен настолько, что даже изобрел специальные часы с маятниковым механизмам, и часы эти были одними из самых точных для того времени.

Маятниковые часы Гюйгенса.

Появление подобного изобретения сослужило большую пользу физике, особенно в сфере физических экспериментов, где точное измерение времени является весьма важным фактором.

Но вернемся к маятнику, итак, в основе работы маятника лежат его колебания, которые можно выразить формулой, точнее следующим дифференциальным уравнением:

x + w2 sin x = 0

Где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); w – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (w = √ g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Помимо, собственно колебаний маятник может пребывать и в положении равновесия, при этом сила тяжести, действующая на него, будет уравновешиваться силой натяжения нити. Обычный плоский маятник, пребывающий на нерастяжимой нити, является системой с двумя степенями свободы. Но если, к примеру, нитку заменить на стержень, тогда наш маятник станет системой лишь с одной степенью свободы, так как его движения будут двухмерными, а не трехмерными.

Но если же наш маятник все-таки пребывает на нити и при этом совершает интенсивные колебания вверх-вниз, тогда механическая система приобретает устойчивое положение, именуемое «верх тормашками», еще ее называют маятником Капицы.

физический маятник .

Физический маятник

Нажми для просмотра

Маятник,
масса
которого
не
сосредоточ
ена в одной
точке,
принято
называть
физическим
маятником.
 
 
 
Тэги:
 
Физический маятник.

Нажми для просмотра

Гервидс
Валериан
Иванович —
доцент
кафедры
общей
физики
МИФИ,
кандидат
физико-мат
матически
наук.
 
 
 
Тэги:
 
Урок 92 (осн). Колебательное движение. Маятники

Нажми для просмотра

Урок
физики в
Ришельевск
ом лицее.
 
 
 
Тэги:
 
Классические уравнения | физический маятник | вывод при помощи уравнения Эйлера — Лагранжа

Нажми для просмотра

JOIN VSP GROUP
PARTNER PROGRAM:
 
 
 
Тэги:
 
Математический и физический маятник Учебный фильм по физике

Нажми для просмотра

Учебная
телестудия
НТУУ
«КПИ».
Учебное
видео по
физике. В
фильме
идет речь о
математиче
ском
маятнике,
об…
 
 
 
Тэги:
 
Механика — Основное соотношение гироскопии. Физический маятник

Нажми для просмотра

Гироскоп
(продолжен
е).
Нутация.
Колебания
(начало).
Физический
маятник.
Фазовая
плоскость.
Логарифмич
ес…
 
 
 
Тэги:
 
Уолтер Левин — Эксперимент с маятником

Нажми для просмотра

Сайт
студии: Мы
в
социальных
сетях: — —
 …
 
 
 
Тэги:
 
Математический и физический маятник

Нажми для просмотра

Заворажива
ющее видео
интересног
о
математиче
ского
наблюдения
— всего 15
маятников,
самый
длинный
маят…
 
 
 
Тэги:
 
Потрясающее зрелище.flv

Нажми для просмотра

Предлагаем
Вашему
вниманию
подборку
лабораторн
ых опытов
по
физике: …
 
 
 
Тэги:
 
Физические опыты. Физический маятник. Приведенная длина (видео)

Нажми для просмотра

Сайт ВКГТУ:
ВКГТУ в
Facebook:
ВКГТУ в
ВКонтакте:
 
 
 
Тэги:
 
Маятник Ньютона. А Вы знали что так тоже можно?

Нажми для просмотра

Сплошное
или
изготовлен
ное из
сетки
металличес
кое
ведёрко
использует
ся в
лабораторн
ых опытах
по
электрос…
 
 
 
Тэги:
 
Лабораторная работа №2 — «Физический маятник»

Нажми для просмотра

Инертность
вращающего
ся тела
зависит не
только от
его массы,
но и от
того,
насколько
близко или
далеко от…
 
 
 
Тэги:
 
Клетка Фарадея и измерение заряда

Нажми для просмотра

Гервидс
Валериан
Иванович —
доцент
кафедры
общей
физики
МИФИ,
кандидат
физико-мат
матически
наук.
 
 
 
Тэги:
 
Момент инерции

Нажми для просмотра

Поверхност
ь воды в
любом
сосуде
является
горизонтал
ьной. То же
самое мы
наблюдаем
и в случае
сообщающих
ся…
 
 
 
Тэги:
 
Поступательное и вращательное движения.

Нажми для просмотра

На улице
идёт дождь,
и на мокром
асфальте
на месте
недавно
стоявшего
здесь
автомобиля
видна
радужная
плёнка…
 
 
 
Тэги:
 
Сообщающиеся сосуды

Нажми для просмотра

Если к
системе
приложить
внешнюю
периодичес
кую силу,
частота
которой
близка к
одной из
собственны
х частот…
 
 
 
Тэги:
 
Интерференция в тонких плёнках

Нажми для просмотра

ФИЗИКА 9
класс ВСЕ
ТЕМЫ —
ОГЭ …
 
 
 
Тэги:
 
Резонанс

Нажми для просмотра

Для
исследован
ия
поведения
атомов в
кристаллах
использует
ся модель,
состоящая
из
большого
количества
 
 
 
Тэги:
 
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Нажми для просмотра

Мы изучаем,
как период
колебаний
маятника
зависит от
уместных
здесь
параметров
. От массы
груза он не
зависи…
 
 
 
Тэги:
 
Пузырьковый кристалл

Нажми для просмотра

С помощью
мысленного
эксперимен
та с
шарами,
скатывающи
мися с
горок,
Галилео
Галилей
установил,
что
приобре…
 
 
 
Тэги:
 
Колебания маятника

Нажми для просмотра

Виртуальна
я
лабораторн
ая работа
по физике
(Колебания
и волны)
Группа в
«Контакте»
Сайт.
 
 
 
Тэги:
 
Работа и энергия: горки Галилея

Нажми для просмотра

Урок
физики в
Ришельевск
ом лицее.
 
 
 
Тэги:
 
крутой физический эксперемент «МАЯТНИК»

Нажми для просмотра

Наш
видеоурок
посвящен
повторению
темы
«Математич
еский и
пружинный
маятники».
Мы
вспомним,
какой мая…
 
 
 
Тэги:
 
Лабораторная работа по определению ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника

Нажми для просмотра

Предлагаем
Вашему
вниманию
подборку
лабораторн
ых опытов
по
физике: …
 
 
 
Тэги:
 
Физический маятник (стержень)» rel=»spf-prefetch

Нажми для просмотра

Описание отсутсвует
 
 
 
Тэги:
 
Урок 328. Зависимость периода свободных колебаний от параметров колебательной системы» rel=»spf-prefetch

Нажми для просмотра

Описание отсутсвует
 
 
 
Тэги:
 
НИЯУ МИФИ Физический маятник» rel=»spf-prefetch

Нажми для просмотра

Описание отсутсвует
 
 
 
Тэги:
 
Видеоурок по физике «Математический и пружинный маятники»» rel=»spf-prefetch

Нажми для просмотра

Описание отсутсвует
 
 
 
Тэги:
 
Физический маятник Приведенная длина» rel=»spf-prefetch

Нажми для просмотра

Описание отсутсвует
 
 
 
Тэги:
 
Видеоопыты по физике. Собственные колебания физического маятника (видео)» rel=»spf-prefetch

Период колебаний физического маятника

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.
Для этого умножим левую ld2θdt2=lddt(dθdt){\displaystyle l{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=l{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)} и правую часть этого уравнения на dθ{\displaystyle d\theta }. Тогда:

ldθdtd(dθdt)=−gsin⁡θdθ{\displaystyle l{\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta }.

Интегрируя это уравнение, получаем.

l(dθdt)2=2gcos⁡θ+C{\displaystyle l\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C},

где C{\displaystyle C} произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты θ=±α,dθdt={\displaystyle \theta =\pm \alpha \,\,\,,{\frac {d\theta }{dt}}=0}. Получаем: C=−2gcos⁡α{\displaystyle C=-2g\cos \alpha }. Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

dθdt=2glsin2⁡α2−sin2⁡θ2{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{l}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

glt=∫θ2d(θ2)sin2⁡α2−sin2⁡θ2{\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{l}}}t=\int \limits _{0}^{\frac {\theta }{2}}{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}}.

Удобно сделать замену переменной, полагая sin⁡θ2=sin⁡α2sin⁡φ{\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi }. Тогда искомое уравнение принимает вид:

t=lg∫φdφ1−sin2⁡α2sin2⁡φ=lgF(φ∖α2){\displaystyle t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {l}{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right)}.

Здесь F(φ∖α){\displaystyle F\left(\varphi \setminus \alpha \right)} — . Для периода колебаний получаем формулу:

T=4lg∫π2dφ1−sin2⁡α2sin2⁡φ=4lgK(sin⁡α2){\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)}.

Здесь K(sin⁡α2){\displaystyle K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)} — . Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

T=2πlg{1+(12)2sin2⁡(α2)+(1⋅32⋅4)2sin4⁡(α2)+⋯+(2n−1)!!(2n)!!2sin2n⁡(α2)+…}{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}}.

Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний α{\displaystyle \alpha } мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

T=2πlg=2πImgh{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgh}}}}.

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах до 1 радиана (≈60°)

T≈2πlg(1+14sin2⁡(α2))=π4lg(9−cos⁡α){\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)={\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(9-\cos {\alpha }\right)}.
Ссылка на основную публикацию