Формула дарси

Введение

Формула Вейсбаха в гидравлике — эмпирическая формула, определяющая потери напора или потери давления при развитом турбулентном течении несжимаемой жидкости на гидравлических сопротивлениях (предложена Юлиусом Вейсбахом (англ.) в 1855 году):

где

  • Δh — потери напора на гидравлическом сопротивлении;
  • ξ — коэффициент потерь (коэффициент Дарси);
  • V — средняя скорость течения жидкости;
  • g — ускорение свободного падения;
  • величина называется скоростным (или динамическим) напором.

Формула Вейсбаха, определяющая потери давления на гидравлических сопротивлениях, имеет вид:

где

ΔP — потери давления на гидравлическом сопротивлении;
ρ — плотность жидкости.

Курс лекций по основным разделам дисциплины

Размерность параметров уравнения Дарси в разных системах единиц

страница 9/42
Дата 18.10.2018
Размер 0.76 Mb.
Название файла Физика пласта. Курс лекций по основным разделам дисциплины.doc
Тип Курс лекций

  …           9         …  

  • Навигация по данной странице:
Размерность параметров уравнения Дарси в разных системах единиц

Таблица 1.2

Параметры уравнения Размерность
СИ СГС НПГ
Объемный дебит, Q м3 / с см3 / с см3 / с
Площадь поперечного сечения фильтра, F м2 см2 см2
Длина фильтра, L м см см
Перепад давления, ∆P Па дн / см2 атм
Вязкость жидкости, µ мПа · с дн · с / см2 спз (сантипуаз)

В системе СИ коэффициент проницаемости измеряется в м2; в системе СГС [kпр] в см2; в системе НПГ (нефтепромысловой геологии) [kпр] в Д (дарси).

1 дарси = 1,02×10-8 см2 = 1,02 · 10-12 м2 = 1,02 мкм2 ≈ 1 мкм2.
Проницаемостью в 1 м2 называется проницаемость пористой среды при фильтрации через образец площадью 1 м2 и длиной 1 м при перепаде давления 1 Па расход жидкости вязкостью 1 Па×с составляет 1 м3/сек.

Пористая среда имеет проницаемость 1 дарси, если при однофазной фильтрации жидкости вязкостью 1 спз (сантипуаз) при ламинарном режиме фильтрации через сечение образца площадью 1 см2 и перепаде давления 1 атм., расход жидкости на 1 см длины породы составляет 1 см3/сек.

Физический смысл размерности проницаемости – это величина площади сечения каналов пористой среды, через которые идет фильтрация.

Приведённые выше уравнения (1.5-1.7) справедливы при условии движения несжимаемой жидкости по линейному закону Дарси.

В случае фильтрации газа это условие не выполняется. При перепаде давления объём газа изменяется, и его объем оценивается по закону Бойля-Мариотта:

При Т = const, P·V = const (1.8)

Средняя скорость фильтрации газа (Vср) при линейной фильтрации оценивается:

Vcр· Pср = Vо ·Pо = V1· P1 = V2 · P2, (1.9)

Pср = (P1 + P2) / 2, (1.10)
Vcр = Vо·Pо / Pср = 2·Vо·Pо / (P1 + P2). (1.11)
Тогда, средний объёмный расход газа будет равен отношению объема газа (Vср) за время (t):
. (1.12)

Уравнение для оценки коэффициента проницаемости при линейной фильтрации газа запишется с учетом выражений (1.7) и (1.12):

. (1.13)

1.3.2. РАДИАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕФТИ И ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Процесс притока пластовых флюидов из пласта в скважину описывается моделью радиальной фильтрации. В этом случае образец породы представляется в виде цилиндрического кольца с проводящими каналами в осевом направлении (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Схема радиального притока жидкости в скважину
Площадь боковой поверхности цилиндра обозначим через (F) и она оценивается как: F=2prh. Таким образом, уравнение Дарси для радиальной фильтрации нефти (пластовой воды) будет иметь следующий вид:
. (1.14)

Отсюда, дебит при радиальной фильтрации жидкости:

. (1.15)

Таким образом, оценить коэффициент проницаемости при радиальной фильтрации жидкости можно по уравнению (1.16):

. (1.16)

А для оценки коэффициента проницаемости при радиальной фильтрации газа выражение запишется соответственно с учетом уравнений (1.13) и (1.15).

1.3.3. ОЦЕНКА ПРОНИЦАЕМОСТИ ПЛАСТА, СОСТОЯЩЕГО ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ПРОПЛАСТКОВ РАЗЛИЧНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

Пласт состоит, как правило, из отдельных пропластков, поэтому общая проницаемость пласта (kпр) оценивается с учетом проницаемости пропластков и направления фильтрации.

Рис. 1.8. Линейная фильтрация в пласте, состоящем из нескольких изолированных пропластков различной мощности и проницаемости.
При линейной фильтрации жидкости в пласте, состоящем из нескольких изолированных пропластков различной мощности и проницаемости (рис. 1.8), средняя проницаемость пласта рассчитывается следующим образом:
, (1.17)

где hi – мощность i-го пропластка; ki – проницаемость i-го пропластка.

При линейной фильтрации жидкости через пласт, имеющий несколько последовательно расположенных зон различной проницаемости (рис. 1.9),
Рис. 1.9. Линейная фильтрация через пласт, имеющий несколько последовательно расположенных зон различной проницаемости.
коэффициент проницаемости пласта рассчитывается следующим образом:
, (1.18)

где Li – длина i-го пропластка; ki – проницаемость i-го пропластка.

При радиальной фильтрации жидкости через пласт, имеющий несколько концентрически расположенных зон различной проницаемости (рис. 1.10),
Рис. 1.10. Радиальная фильтрация через пласт, имеющий несколько концентрически расположенных зон различной проницаемости.

средняя проницаемость пласта оценивается следующим образом:

(1.19)

где rk – радиус контура; rс – радиус скважины;

ri – радиус i-го пропластка; ki – проницаемость i-го пропластка.

Поделитесь с Вашими друзьями:

  …           9         …  

Литература

  1. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: Учебник для машиностроительных вузов/ Т. М. Башта, С. С. Руднев, Б. Б. Некрасов и др. — 2-е изд., перераб. — М.: Машиностроение, 1982.
  2. Гейер В. Г., Дулин В. С., Заря А. Н. Гидравлика и гидропривод: Учеб для вузов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Недра, 1991.
  3. Горшков-Кантакузен В. А. К вопросу вычисления коэффициента Дарси методом регрессионного анализа // Материалы XXI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А. Г. Горшкова, 16 — 20 февраля 2015, Вятичи. Том 1 / МАИ. — М.: ООО «ТРП», 2015. С. 59-60

4.4 Тройник вытяжной нестандартизованной формы

Потери
давления в нестандартизованных вытяжных тройниках определяются по формуле (4.9)

,                                                                                                                                                                                                                                                                                                         (4.9)

где wc – скорость движения жидкости после
тройника, м/с.

Коэффициент
сопротивления нестандартизованных вытяжных тройников нормальной формы с углом  (рис.3) вычисляется по формуле
(4.10)

(4.10)

{см. , стр.335, формула (7-1)},

На рисунке 2 стрелками изображены направления движения жидкости;

 Qс, Qб, Qп – соответственно расходы жидкости после тройника, в боковом
ответвлении, до прохождения тройника, Fc, Fб, Fп – соответственно площади сечений после тройника, в боковом
ответвлении, до прохождения тройника (Fп =Fс).

Величина А
определяется по таблице 2:

Таблица 2

Fб/Fc

£0.35

>0.35

Qб/Qc

£1.0

£0.4

>0.4

Рисунок 3

Значение коэффициента А

1.0

0.55

Примечания

  1. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. — М.-Ижевск: ИКИ, 2004. — С. 76. — 640 с. — ISBN 5-93972-293-8.
  2. Шейдеггер А. Э. Физика течения жидкостей через пористые среды / Пер. с англ. и примеч. В. Н. Николаевского. Под ред. И. М. Муравьева. — М.-Ижевск: ИКИ. НИЦ «РХД», 2008. — С. 64. — 254 с. — ISBN 978-5-93972-711-2.
  3. Пыхачев Г.Б. Подземная гидравлика. — М.: Гостоптехиздат, 1961. — С. 23. — 388 с.
  4. Ржевский В. В., Новик Г. Я. Основы физики горных пород. — М.: Книжный дом «Либроком», 2010. — С. 84. — 360 с. — ISBN 978-5-397-01396-3.
  5. Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. — М.-Ижевск: НИЦ «РХД», 2006. — С. 16. — 436 с. — ISBN 5-93972-591-0.
  6. Щелкачев В. Н., Лапук Б. Б. Подземная гидравлика. — М.-Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. — С. 108. — 736 с. — ISBN 5-93972-081-1.
  7.  (недоступная ссылка). Дата обращения 24 июля 2014.
Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Область применимости закона Дарси

Закон Дарси примени́м для фильтрации жидкостей, подчиняющихся закону вязкого трения Ньютона (закону Навье — Стокса). Для фильтрации неньютоновских жидкостей (например, некоторых нефтей) связь между градиентом давления и скоростью фильтрации может быть нелинейной или вообще неалгебраической (например, дифференциальной).

Для ньютоновских жидкостей область применения закона Дарси ограничивается малыми скоростями фильтрации (числа Рейнольдса, рассчитанные по характерному размеру пор, меньше или порядка единицы). При бо́льших скоростях зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации нелинейна (хорошее совпадение с экспериментальными данными даёт квадратичная зависимость — закон фильтрации Форхгеймера).

Дифференциальное уравнение движения.

        Дифференциальное
уравнение движения флюида в пористой среде  является обобщением закона
фильтрации Дарси:

                                                
.                                            
     (8)

 —- пространственная производная давления
( в направлении оси Х).

          Вектор
пространственной производной в направлении максимальной скорости изменения
функции  — это градиент:

.

Т.о.  в векторной форме закон
фильтрации Дарси записывается в виде:

                                            .                            (9)

          В подземной
гидромеханике используется специальная функция:

                                                            
.                                      (10)

Функция
     называется   потенциалом скорости
фильтрации
.

          Если
кроме давления действуют другие силы (например, сила тяжести), то потенциал
скорости фильтрации):

                                          
                                         (10а)

          Таким образом закон фильтрации Дарси можно
записать в обобщенной форме:

                                                 
.                          (11)

          Из
уравнения неразрывности (4) и закона фильтрации (11) можно получить уравнение
движения флюида в пористой среде:

                                          
;                        (12)

или

                                                
.                              (13)

          В
подробной (координатной) записи уравнение (13) имеет вид:

             .      (14)

          Для
решения дифференциального уравнения движения (13) необходимо иметь начальные и
граничные условия.

          Начальные
условия заключаются в задании искомой функции во всей области в некоторый
начальный момент времени (например, значения давления в пласте до начала
разработки).

          Граничные
условия задаются на границах пласта: на внешней границе и на внутренней границе
(на забое скважины).

          Закон
Дарси (11) и соответствующее ему дифференциальное уравнение движения (13)
пригодны для изотропной пористой среды, т.е. среды, проницаемость которой во
всех направлениях одинакова.

          На практике часто встречаются пористые среды,
проницаемость которых различна в разных направлениях (например, осадочные
пласты с отчетливой слоистой структурой). Пористые среды, в которых коэффициент
проницаемости зависит от направления потока, называются анизотропными.

          Для
анизотропных пористых сред закон фильтрации (и соответственно, уравнение
движения) имеют более сложный вид, чем выражения (9) или (14), т.к. векторы
скорости фильтрации и градиента давления не совпадают по направлению.

          Для
анизотропных пористых сред закон Дарси и уравнение движения записываются в
тензорной форме:

                                                                                              (15)

 — тензор проницаемости пористой среды:

              ;

                                         .                    (16)

          Анизотропия
естественных осадочных пород – коллекторов обусловлена их отчетливой слоистой
структурой. Фильтрационные свойства таких пород одинаковы в направлениях,
лежащих в плоскости слоя, но изменяются в перпендикулярном направлении.

          В данном случае
систему координат выбирают таким образом, чтобы плоскость XY лежала в плоскости
слоя, а ось Z была перпендикулярна слою. Выбранные таким образом
оси координат называются главными осями пласта. Закон Дарси  в этом случае
можно записать в виде:

                  .             (17)

Режим потока

, какая формула фактора трения может быть применимой, зависит от типа потока, который существует:

  • Ламинарное течение
  • Переход между ламинарным и турбулентным течением
  • Полностью турбулентное течение в гладких трубопроводах
  • Полностью турбулентное течение в грубых трубопроводах
  • Свободный поверхностный поток.

Ламинарное течение

Фактор трения Дарси для ламинарного течения в круглой трубе (число Рейнольдса меньше чем 2 320) дан следующей формулой:

где:

фактор трения Дарси

число Рейнольдса.

Поток перехода

Переход (ни не полностью пластинчатый, ни полностью бурный) поток происходит в диапазоне чисел Рейнольдса между 2 300 и 4000. Ценность фактора трения Дарси может подвергнуться большой неуверенности в этом режиме потока.

Турбулентное течение в гладких трубопроводах

Корреляция Blasius — самое простое уравнение для вычисления трения Дарси

фактор. Поскольку у корреляции Blasius нет термина для грубости трубы, это

действительно только, чтобы сглаживать трубы. Однако корреляция Blasius

используемый в грубых трубах из-за его простоты. Корреляция Blasius — действительный

до Рейнольдса номер 100000.

Турбулентное течение в грубых трубопроводах

Фактор трения Дарси для полностью турбулентного течения (число Рейнольдса, больше, чем 4 000) в грубых трубопроводах, дан уравнением Коулбрука.

Свободный поверхностный поток

Последняя формула в разделе уравнения Коулбрука этой статьи для свободного поверхностного потока. Приближения в другом месте в этой статье не применимы для этого типа потока.

В теоретической гидродинамике

В фундаментальной механике сплошных сред при изучении течений жидкостей и газов в пористой среде широко применяется дифференциальная форма закона Дарси (здесь приведён для движения в поле тяжести):

u→=−Kη∇(ρgz+P),{\displaystyle {\vec {u}}=-{\frac {K}{\eta }}\nabla \left(\rho gz+P\right),}

где P{\displaystyle P} — внешнее давление, ρ{\displaystyle \rho } — плотность флюида, η{\displaystyle \eta } — его динамическая вязкость, g{\displaystyle g} — ускорение свободного падения, z{\displaystyle z} — вертикальная координата, K{\displaystyle K} — коэффициент проницаемости.

Уравнение баланса сил

Закон Дарси можно представить в виде уравнения баланса сил:

−∇P−ηKu→+ρf→=,{\displaystyle -\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,}

где f→{\displaystyle {\vec {f}}} — поле внешних сил, η{\displaystyle \eta } — динамическая вязкость жидкости или газа, K=ηkρg{\displaystyle K=\eta k/\rho g} — коэффициент проницаемости. Коэффициент проницаемости характеризует способность пористой среды к пропусканию флюида.

Полная система уравнений фильтрации несжимаемой жидкости также включает условие несжимаемости:

−∇P−ηKu→+ρf→=,{\displaystyle -\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,}
div⁡u→={\displaystyle \operatorname {div} {\vec {u}}=0.}

Необходимым граничным условием для данной модели на твёрдых поверхностях является только условие непроницаемости.

Потенциальная форма закона

При постоянном коэффициенте проницаемости поле скорости фильтрации имеет скалярный потенциал, что позволяет переписать систему уравнений фильтрации в форме уравнения Лапласа:

u→=−k∇h,⇒∃Φ=kh,{\displaystyle {\vec {u}}=-k\nabla h,\quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi =kh,}

где h{\displaystyle h} — напор.

Уравнение Лапласа с граничным условием вытекает из условия несжимаемости:

ΔΦ=,{\displaystyle \Delta \Phi =0,}
∂Φ∂n|S=(n→⋅∇Φ)|S=,{\displaystyle \left.{\frac {\partial \Phi }{\partial n}}\right|_{S}=\left.\left({\vec {n}}\cdot \nabla \Phi \right)\right|_{S}=0,}

где n→{\displaystyle {\vec {n}}} — вектор нормали к поверхности. Граничным условием на твёрдых поверхностях является условие равенства нулю нормальной компоненты градиента Φ{\displaystyle \Phi }.

В принципе, во всех приведённых выше уравнениях поле массовых сил и градиента давления могут быть объединены, что сведётся к простой перенормировке давления.

Историческая справка и варианты определений

Исторически применялось несколько незначительно различающихся определений дарси, для каждого из которых в пористой среде с проницаемостью в один дарси для поддержания течения жидкости с динамической вязкостью 1 сПз со скоростью фильтрации 1 см/с необходимо поддерживать перепад давления жидкости приблизительно в одну атмосферу на 1 см вдоль направления течения.

По всей видимости, впервые такое определение единицы проницаемости было предложено в 1930 году Наттингом (P. G. Nutting), который и ввёл самое понятие проницаемости. В определении Наттинга величина атмосферы принималась равной 105 Па, так что единица проницаемости равнялась точно 1 мкм².

В 1933 году Американским нефтяным институтом было принято определение единицы проницаемости, в котором величина атмосферы принималась равной нормальному атмосферному давлению (физическая атмосфера, 101325 Па), так что единица проницаемости равнялась приблизительно 0,986 мкм². Тогда же для новой единицы было принято название «дарси» в честь французского гидравлика Анри Дарси.

В отечественной литературе при определении дарси в качестве величины атмосферы было принято использовать техническую атмосферу (1 кгс/см² = 98 066,5 Па), так что для величины дарси получалось значение приблизительно 1,02 мкм², причём эпизодические случаи использования западного определения дарси специально отмечались.

Расхождение между различными определениями не превышает приблизительно 3 % и в практических приложениях как правило несущественно.

Ссылка на основную публикацию