Закон излучения рэлея джинса

Степени свободы

Разница между системой материальных частиц и сплошной средой выступает очень четко, если посмотреть, каким числом координат задается состояние системы.

Положение каждой точки в пространстве задается тремя числами — тремя координатами. Говорят, что материальная точка имеет три степени свободы. Если в систему входит N материальных точек, то говорят, что она имеет 3N степеней свободы.

Такое же рассуждение можно провести и для скоростей. Скорость одной точки описывается тремя числами — тремя компонентами вектора скорости. Скорости N точек требуют для своего описания 3N чисел.

Сколько чисел надо задать, чтобы описать состояние поверхности моря? Строго говоря, для каждой точки поверхности надо задать три числа — вектор скорости воды в данной точке; следовательно, чисел будет бесконечно много. Поверхность моря представляется нам как система с бесконечно большим числом степеней свободы. Даже тот факт, что вода состоит из молекул, а потому число степеней свободы можно определить, сосчитав молекулы, не облегчает задачу: молекул настолько много, что практически число степеней свободы остается бесконечно большим. В действительности же нас не интересует движение каждой молекулы. Когда по морю бегут волны, например от идущего корабля, то мы можем описать картину распределения волн, используя сравнительно немного чисел. Мы можем задавать величину амплитуды и фазы каждой волны; волн хотя и много, но все же меньше, чем молекул. Кроме того, картина, в основном, повторяется со временем: волны более или менее одинаковые.

В каждой волне движется много молекул, движение носит коллективный характер, и мы сможем говорить о коллективных степенях свободы на поверхности моря, в отличие от индивидуальных степеней свободы, скажем, отдельной молекулы воды.

Такое же коллективное описание можно использовать, рассказывая о свойствах света. В частности, мы так и делаем, когда пытаемся описать распределение энергии по спектру.

Свет — волновой процесс, и его описание проще всего выглядит с позиций волновой теории. Конечно, подобное описание света совсем непохоже на описание системы точек. Здесь нет даже намека на какие-то степени свободы — волны и частицы совсем непохожи друг на друга. Но это все-таки не совсем так. У волн и частиц есть общие свойства. Это, прежде всего, те, которые проявляются, когда мы начинаем изучать тепловые явления и думать, как распределяется между волнами и частицами тепловая энергия.

Примечания

  1. Strutt JW (Rayleigh) (1900). «[http://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=xs4EAAAAYAAJ&oi=fnd&pg=PA1&dq=Rayleigh&ots=LRLCJJGHmp&sig=gkgnBRkfZSyrZ3sXZdnW-BiHMPc#v=onepage&q=&f=false Remarks upon the law of complete radiation]». Phil. Mag. 49: 539-540.
  2. Jeans JH (1905). «[http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/76/513/545.full.pdf On the laws of radiation]» (pdf). Proc. R. Soc. Lond. A 76: 545-552. DOI:[//dx.doi.org/10.1098%2Frspa.1905.0060 10.1098/rspa.1905.0060].
  3. Говард Д. (1966). «[http://ufn.ru/ufn66/ufn66_1/Russian/r661e.pdf Джон Уильям Стрэтт (Лорд Рэлей)]» (pdf). УФН 88 (1): 149-160.

история

Игнорирование поверхностное натяжение и вязкость, уравнение было впервые получено WH Безант в своей 1859 книги с постановки задачи , указанного в качестве бесконечной массы однородной несжимаемой жидкости воздействует не сил находится в состоянии покоя, а сферическая часть жидкости внезапно уничтожается ; требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке массы, и времени , в котором полость будет заполнена, давление на бесконечном расстоянии будучи должен оставаться постоянным (на самом деле, Безант приписывает эту проблему в Кембридже Сенат-House проблемы 1847). Игнорирование изменения давления внутри пузырька, Безант предсказал время , необходимое для заполнения полости , чтобы быть

Tзнак равноa(6ρп∞)12∫1Z4dZ1-Z6знак равноa(πρ6п∞)12Γ(56)Γ(43)≈0,91468a(ρп∞)12{\ Displaystyle {\ начинаются {выровнены} т & = а \ влево ({\ гидроразрыва {6 \ ро} {р _ {\ infty}}} \ справа) ^ {1/2} \ Int _ {0} ^ {1} {\ гидроразрыва {г ^ {4} \, дг} {\ SQRT {1-г ^ {6}}}} \\ & = а \ слева ({\ гидроразрыва {\ р \ Rho} {6p _ {\ infty} }} \ справа) ^ {1/2} {\ гидроразрыва {\ Gamma (5/6)} {\ Gamma (4/3)}} \\ & \ около 0.91468a \ влево ({\ гидроразрыва {\} Rho {р _ {\ infty}}} \ справа) ^ {1/2} \ {конец выровнен}}}

где интегрирование проводилось Рэлей в 1917 году, который вывел уравнение из энергетического баланса. Рэлея также поняла , что предположение о постоянном давлении внутри полости стало бы неправильно , как радиус уменьшается , и он показывает , что с помощью закона Бойля , если радиус полости уменьшается на коэффициент , то давление вблизи границы полости становится больше окружающее давление. Уравнение впервые было применено для путешествия кавитационных пузырьков, Милтон С. Плессета в 1949 годе , включая эффекты поверхностного натяжения.
413{\ Displaystyle 4 ^ {1/3}}

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение по λ{\displaystyle \lambda } и приравнять нулю (поиск экстремума)

dup(λ,T)dλ=4π2ℏc2{2πℏckTλexp(2πℏckTλ)−5exp(2πℏckTλ)−1}λ6exp(2πℏckTλ)−12={\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u_{p}(\lambda ,T)}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}\left\{{\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-5\left\right\}}{\lambda ^{6}\left^{2}}}=0.}

Значение λm{\displaystyle \lambda _{m}}, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим 2πℏckTλm=x{\displaystyle {\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=x}, и получится уравнение:

xex−5(ex−1)={\displaystyle xe^{x}-5(e^{x}-1)=0.}

Решение такого уравнения даёт x=4,96511{\displaystyle x=4,96511}. Следовательно,

2πℏckTλm=4,965,{\displaystyle {\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=4,965,}

отсюда немедленно получается:

Tλm=2πℏc4.965k=b.{\displaystyle T\lambda _{m}={\frac {2\pi \hbar c}{4.965k}}=b.}

Численная подстановка констант даёт значение для b=,0028999{\displaystyle b=0,0028999} К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу: λmaxT≈3000{\displaystyle \lambda _{\max }T\approx 3000} мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

Частицы или волны?

С самого начала механика встречалась с задачами, которые можно было разбить на два совершенно разных класса. Движение материальных точек и твердых тел описывалось уравнениями Ньютона. Из этих уравнений можно было определять траектории движения тел, например планет солнечной системы, и описывать, как происходит движение вдоль траекторий. Но были и другие объекты. Движение воды в каналах, распространение звука в воздухе, изгиб железной балки — все эти задачи относились к механике сплошных сред, и ими занимались гидродинамика, аэродинамика, теория упругости и другие разделы механики.

Сплошная среда и система материальных точек представлялись совершенно разными физическими объектами. Если даже, решая задачу о течении воды, и выделяли мысленно небольшой объем жидкости, то этот объем никак не связывали с молекулами жидкости (о молекулах вообще узнали через много лет после того, как были написаны уравнения гидродинамики).

Волны в воде или в воздухе (например, те, которые называют звуком) и планета, движущаяся вокруг Солнца, имели, казалось, мало общего. Все было ясно, вот только в оптике оставался нерешенным вопрос: что такое свет? Поток мельчайших частиц, как это думал Ньютон — сторонник корпускулярной теории, или это волны в какой-то среде — мировом эфире, как думал Гюйгенс — создатель волной оптики? Популярность каждой из теорий в разное время была различной, но никто не мог найти решающего аргумента в пользу одной из них: свет в одних явлениях вел себя как поток корпускул, в других — как волны. Сейчас мы хорошо знаем, что в этом нет противоречия — поверить в это стало возможным лишь благодаря квантовой теории. В прошлом же веке противоречие казалось неразрешимым . Свет должен быть либо волной, либо частицей. Это утверждение выглядело логически безупречным.

Второе рождение кванта

Открытие Планка состояло в том, что он постулировал дискретный (квантовый) характер излучения и поглощения. Однако сам Планк не высказал никаких соображений о том, как же ведет себя испущенное излучение. Лишь Эйнштейн (в упомянутой выше работе) доказал, что из гипотезы Планка и теории относительности следует реальное существование кванта, т.е. что свет не только поглощается или излучается квантами, но что он сам состоит из квантов.

Излучая квант, тело теряет свою энергию, которая передается свету. Значит, свет, согласно теории относительности, уносит и массу тела.

Массу кванта можно получить, скомбинировав две формулы\ и \(~E = mc^2\). Из них

\(~m = \frac{h \nu}{c^2}.\)

Лучше говорить, как это принято, что квант имеет импульс \(~p = mc\), т.е.

\(~p = \frac{h \nu}{c} = \frac{h}{\lambda}.\)

Импульс, конечно, вектор: он направлен туда, куда летит квант. Энергия кванта связана с его импульсом соотношением \(~E = cp\). Таким соотношением описываются частицы, у которых равна нулю масса покоя. Если масса покоя m ≠ 0, то энергия и импульс частицы связаны в теории относительности формулой \(~E = c \sqrt{p^2 + m^2_0 c^2}\).

Благодаря Эйнштейну квант стал в один ряд с частицами; только он не имеет массы покоя, а потому обречен всегда летать со скоростью света.

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля, любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн; каждая — с определённой угловой частотой ω{\displaystyle \omega }. Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения, согласно следующей формуле:

En=ℏω(n+12).{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (n+1/2).}

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

Wn=1Z⋅exp(−EnkT).{\displaystyle W_{n}={1 \over Z}\cdot \mathrm {exp} \left(-{E_{n} \over kT}\right).}

Статистическая сумма Z{\displaystyle Z} равна:

Z=∑exp(−ℏωkT⋅(n+12))=exp(−ℏω2kT)⋅∑exp(−ℏωkT)n=exp(−ℏω2kT)1−exp(−ℏωkT).{\displaystyle Z=\sum \mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over {kT}}\cdot (n+1/2)\right)=\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {2kT}}\right)\cdot \sum \mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)^{n}={\frac {\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {2kT}}\right)}{1-\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)}}.}

Свободная энергия Ψ{\displaystyle \Psi } равна:

Ψ=−kT⋅ln⁡Z=ℏω2+kT⋅ln⁡(1−exp(−ℏωkT)).{\displaystyle \Psi =-kT\cdot \ln Z={\frac {\hbar \omega }{2}}+kT\cdot \ln \left(1-\mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over kT}\right)\right).}

Для средней (математическое ожидание) энергии ε¯{\displaystyle {\overline {\varepsilon }}} воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца:

ε¯=∑(WnEn)=Ψ−(kT⋅∂(Ψ)∂(kT))=(kT)2⋅∂(ln⁡Z)∂(kT)=(kT)2⋅(ℏω2(kT)2+exp(−ℏωkT)⋅ℏω(kT)21−exp(−ℏωkT)){\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\sum (W_{n}E_{n})=\Psi -\left(kT\cdot {\frac {\partial (\Psi )}{\partial (kT)}}\right)=(kT)^{2}\cdot {\frac {\partial (\ln Z)}{\partial (kT)}}=(kT)^{2}\cdot \left({\frac {\hbar \omega }{2(kT)^{2}}}+{\frac {\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)\cdot {\hbar \omega \over (kT)^{2}}}{1-\mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over kT}\right)}}\right)};

таким образом — средняя энергия ε¯{\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}, приходящаяся на полевой осциллятор, равна:

ε¯=ℏω2+ℏωexp(ℏωkT)−1{\displaystyle {\overline {\varepsilon }}={\frac {\hbar \omega }{2}}+{\frac {\hbar \omega }{\mathrm {exp} \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1}}}, (1)

где ℏ{\displaystyle \hbar } — постоянная Планка, k{\displaystyle k} — постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве, в интервале (ω;ω+dω){\displaystyle (\omega ;\omega +d\omega )}, равно:

dnω=ω2dωπ2c3{\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}}. (2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем:

u(ω,T)=ε¯dnωdω=ℏω32π2c3+ℏω3π2c3(exp(ℏωkT)−1),{\displaystyle u(\omega ,T)={\overline {\varepsilon }}{\frac {\mathrm {d} n_{\omega }}{\mathrm {d} \omega }}={\frac {\hbar {\omega }^{3}}{2\pi ^{2}c^{3}}}+{\frac {\hbar {\omega }^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\left(\mathrm {exp} \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\right)}},}

где первое слагаемое связано с энергией нулевых колебаний, а второе — это и есть формула Планка.

Формулу Планка также можно записать и через длину волны:

up(λ,T)=4π2ℏc2λ5(exp(2πλℏckT)−1){\displaystyle u_{p}(\lambda ,T)={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}}{\lambda ^{5}\left(\mathrm {exp} \left({{2\pi \over \lambda }{\hbar c \over kT}}\right)-1\right)}}}. (5)

Вывод, исходя из распределения Бозе — Эйнштейна

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Для этой статистики, среднее число частиц с данной энергией ε{\displaystyle \varepsilon } равно:

n¯(ε)=1exp(εΘ)−1.{\displaystyle {\overline {n}}(\varepsilon )={\frac {1}{\mathrm {exp} ({\varepsilon /\Theta })-1}}.}

По определению:

u(ε)dε=εn(ε)dN(ε),{\displaystyle u(\varepsilon )\mathrm {d} \varepsilon =\varepsilon n(\varepsilon )\mathrm {d} N(\varepsilon ),}

где dN=ε2dεπ2c3ℏ3{\displaystyle \mathrm {d} N={\frac {\varepsilon ^{2}\mathrm {d} \varepsilon }{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}} — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией, в бесконечно малой окрестности ε=ℏω{\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega }.

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу, получим формулу Планка.

Вывод формулы

Файл:Blackbody-lg.png Зависимость испускательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): kT
. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{2 \pi^2 v^3} \qquad\qquad (1)
.

В нашем случае скорость Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): v
следует положить равной Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): c
, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) вдобавок следует помножить на два:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3} \qquad\qquad (2)
.

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \overline {\varepsilon}=kT
. Помножив (2) на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \overline {\varepsilon}
, получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathrm{d} \omega
:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): u(\omega,T) \mathrm{d} \omega = \overline {\varepsilon} \mathrm{d}n_{\omega}= kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} \mathrm{d} \omega
,

тогда:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} \qquad\qquad (3)
.

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): f(\omega,T)
с равновесной плотностью энергии теплового излучения Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): f(\omega,T)= \frac{c}{4} u(\omega,T)
, для Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): f(\omega,T)
находим:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2} \qquad\qquad (4)
.

Выражения (3) и (4) называют формулой Рэлея — Джинса.

Ссылка на основную публикацию