Какой буквой обозначается амплитуда колебания

Параметры

  • Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, A{\displaystyle A\,\!} (м)
  • Период — время полного колебания, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), T{\displaystyle T\,\!} (с)
  • Частота — число колебаний в единицу времени, f{\displaystyle f\,\!} (Гц, с−1).

Период колебаний T{\displaystyle T\,\!} и частота f{\displaystyle f\,\!} — обратные величины:


T=1f{\displaystyle T={\frac {1}{f}}\qquad } и f=1T{\displaystyle \qquad f={\frac {1}{T}}}

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота ω{\displaystyle \omega \,\!}(рад/с, Гц, с−1), показывающая число колебаний за 2π{\displaystyle 2\pi } единиц времени:


ω=2πT{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\qquad } и T=2πω{\displaystyle \qquad T={\frac {2\pi }{\omega }}}

  • Смещение — отклонение тела от положения равновесия, X{\displaystyle X\,\!} (м)
  • Фаза колебаний — определяет смещение в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы.

Классификация

Выделение разных видов колебаний зависит от подчёркиваемых свойств систем с колебательными процессами (осцилляторов).

По периодичности

  • Периодические
  • Квазипериодические
  • Апериодические
  • Антипериодические

Так, периодические колебания определены следующим образом:

Периодическими функциями называются такие функции f(t){\displaystyle f(t)}, для которых можно указать некоторую величину τ{\displaystyle \tau }, так что
f(t+τ)=f(t){\displaystyle f(t+\tau )=f(t)}

при любом значении аргумента t{\displaystyle t}.
Андронов и соавт.

По физической природе

  • Механические (звук, вибрация)
  • Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые)
  • Квантовый осциллятор
  • Смешанного типа — комбинации вышеперечисленных

По характеру взаимодействия с окружающей средой

  • Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.
  • Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.
  • Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.
  • Параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

Амплитуда — результирующая волна

Амплитуда результирующей волны в точке наблюдения Г0 определяется расстоянием от фокуса А спирали Корню до начала отсчета 0 ( рис. V.

Амплитуда результирующей волны в любой точке линии есть результат суперпозиции в этой точке всех пространственных волн, фазы которых различны.

Амплитуда результирующей волны напряжения в конце линии будет равна нулю. В то же время падающая и отраженная волны тока будут иметь равные амплитуды, что приведет к увеличению тока в конце короткозамкнутой линии.

Выяснение связи между амплитудой результирующей волны и координатами атомов требует решения двух самостоятельных задач. Одной из них является нахождение формулы, выражающей амплитуду результирующей волны Ем через амплитуды и начальные фазы налагающихся волн, а другой — нахождение зависимости между начальными фазами волн, рассеиваемых атомами, и координатами этих атомов.

Явление увеличения или уменьшения амплитуды результирующей волны при сложении двух или нескольких волн с одинаковыми периодами колебаний называется интерференцией волн.

Сложение двух синусоидальных воль.

Из рис, 33 видно, лто амплитуда результирующей волны зависит от того, какие пути прошли волны до момента их встречи и сложения.

При наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов амплитуд накладывающихся волн. Энергия результирующих колебаний каждой точки среды равна сумме энергий ее колебаний, обусловленных всеми некогерентными волнами в отдельности.

В точках, лежащих между этими гиперболами, амплитуда результирующей волны будет иметь — промежуточные значения. Тогда максимальная амплитуда результирующей волны будет равна удвоенной амплитуде каждой из волн, а минимальная амплитуда будет равна нулю.

Таким образом, при наложении некогерентных волн среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме квадратов амплитуд исходных волн.

Таким образом, при наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов амплитуд исходных волн.

Таким образом, при наложении некогерентных синусоидальных ноли среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме квадратов амплитуд исходных волн.

Таким образом, при наложении некогерентных синусоидальных волн среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме квадратов амплитуд исходных волн.

Тогда при сложении амплитуд первичной и всех вторичных волн будет резко возрастать амплитуда результирующей волны. Если выполнено условие (40.5), то волны, которые при каждом отражении выходят из генератора через зеркало 3 ( см. рис. 40.3), когерентны между собой. Это обеспечивает наибольшую результирующую амплитуду и интенсивность света, полученного в лазере. Как известно, при интерференции многих когерентных волн интерференционные максимумы интенсивности получаются очень узкими, резкими. Если условие (40.5) нарушено, то амплитуды волн не будут усиливаться.

Тогда при сложении амплитуд первичной и всех вторичных волн будет резко возрастать амплитуда результирующей волны. Если выполнено условие (15.19), то волны, которые при каждом отражении выходят из генератора через зеркало 3 ( см. рис. 15.15), когерентны между собой.

Литература

Книги

  1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
  2. § 16. Резонансные явления при действии негармонической периодической силы. // Элементарный учебник физики / Под ред. Г.С. Ландсберга. — 13-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 3. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. — С. 41—44.
  3. Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. — М.: Физматлит, 1995. — 336 с. — 1000 экз. — ISBN 5-02-015129-7.

Статьи

  1. Van der Pol. Oscillations sinusoïdales et de relaxation (фр.) // Onde Électrique : журнал. — 1930. — No 9. — P. 245–256 & 293–312.

Амплитуда — сферическая волна

Амплитуды сферических волн в R3, описывающих процессы захвата частиц, определены в терминах компонент Г — мат — РИЦЕ. Отметим, что, когда потенциалы Va ( x) убывают быстрее любой степени Ы — г, асимптотические слагаемые младшего порядка для этих функций можно задать, с помощью рекуррентных соотношений. Уравнение Шредингера будет выполняться при этом с точностью до произвольной степени Ы — г. Такие рекуррентные соотношения будут приведены в § 1 следующей главы.

Амплитуда сферической волны пропорциональна произведению амплитуды поля распространяющегося в среде излучения на флуктуирующую часть показателя преломления п ( г а фаза определяется общим числом длин волн, укладывающихся на пути от источника до рассеивателя и далее до приемника.

Амплитуды трехмерных сферических волн QB, описывающих асимптотику этих волновых функций, являются гладкими ограниченными функциями.

Спадание амплитуды сферической волны происходит по закону 1 / г, т.е. значительно медленнее, и в волновой зоне [ г К / ( 2п) ] можно не учитывать Еотат.

Выражение это показывает, что амплитуда сферической волны уменьшается пропорционально расстоянию от источника, а следовательно, интенсивность волны, пропорциональная квадрату амплитуды, уменьшается как квадрат расстояния от источника, ибо энергия, переносимая волной, распределяется по все возрастающей площади.

Профили скорости и / с в волне сжатия, излучаемой сферой, расширяющейся с постоянной скоростью w, для различных значений w.

Приведем еще асимптотическое выражение для амплитуды сферической волны на разрывной стадии, когда первоначально синусоидальное поле превращается в пилообразное.

В отличие от случая плоской волны амплитуда сферической волны с увеличением г уменьшается.

Следовательно, в отличие от плоских волн амплитуда сферической волны должна уменьшаться при увеличении расстояния от источника волны.

Отсюда, в частности, следует, что амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию от источника волн.

Еслп точка А достаточно далека от экрана, амплитуду сферической волны в плоскости отверстия можно считать постоянной, но необходимо учесть непостоянство фазы.

АО — амплитуда прямо прошедшей волны; А — амплитуда сферических волн; у — коэффициент пропорциональности, зависящий от метода регистрации.

Эта функция свертывается с амплитудой, возникающей из-за наличия точечного источника, а именно с амплитудой сферической волны, выходящей из начала координат. Таким образом, уравнение (1.19) или (2.11) попросту показывает, что наблюдаемая амплитуда является суммой амплитуд сферических волн от всех точек рассеивателя, а амплитуда рассеяния от каждой точки пропорциональна произведению амплитуды падающей волны и значения потенциальной функции V ( r) в этой точке.

Данное выражение для U ] означает, что полевое возмущение U ] может быть найдено путем суммирования множества сферических волн, генерируемых в различных точках г внутри рассеивающего объема V. Амплитуда сферической волны, генерируемой в точке г, пропорциональна произведению амплитуды падающего невозмущенного излучения на возмущение показателя преломления в этой точке.

Поскольку амплитуды сферических волн, излучаемых источниками 5 и S2, обратно пропорциональны расстоянию, а интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды, интерференционные максимумы имеют различную яркость.

Краткая характеристика основных типов колебательных систем

Линейные колебания

Основная статья: Гармонические колебания

Важным типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, происходящие по закону синуса или косинуса.
Как установил в 1822 году Фурье, любое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний путём разложения соответствующей функции в ряд Фурье. Среди слагаемых этой суммы существует гармоническое колебание с наименьшей частотой, которая называется основной частотой, а само это колебание — первой гармоникой или основным тоном, частоты же всех остальных слагаемых, гармонических колебаний, кратны основной частоте, и эти колебания называются высшими гармониками или обертонами — первым, вторым и т. д.

Нелинейные релаксационные колебания

Основная статья: Релаксационные колебания

Указывается, что формулировка, представленная Ван дер Полем: «медленная эволюция, сопровождаемая внезапным прыжком» (в оригинале: «slow evolution followed by a sudden jump»), — недостаточна, чтобы избежать неоднозначной интерпретации, причём на это обстоятельство указывали ещё современники ван дер Поля.

Тем не менее, похожим образом релаксационные колебания определяются и в более поздних работах. Например, Е. Ф. Мищенко и соавт. определяют релаксационные колебания как такие «периодические движения» по замкнутой , при которых «сравнительно медленные, плавные изменения фазового состояния чередуются с весьма быстрыми, скачкообразными». При этом далее указывается, что «сингулярно возмущённую систему, допускающую такое периодическое решение, называют релаксационной».

Рассматривались отдельно в классической коллективной монографии А. А. Андронова и соав. под названием «разрывные колебания», более принятому в советской математической школе.

Позже сложилась в теорию сингулярных возмущений (см. напр.).

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

  • при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
  • силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими. Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​\( h \)​, определяется по формуле:

где ​\( l \)​ – длина нити, ​\( \alpha \)​ – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно! Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий

Ссылка на основную публикацию