Первый закон кирхгофа

Формула Пуассона — Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

utt=a2△u+f{\displaystyle u_{tt}=a^{2}\triangle u+f}
(функция f(x,t){\displaystyle f(x,t)} соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(x,)=φ(x),ut(x,)=ψ(x){\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)}

задаётся формулой:

u(x¯,t)=u(x1,x2,t)=12πa∫t∬ra(t−τ)f(y1,y2,τ)dy1dy2dτa2(t−τ)2−(y1−x1)2−(y2−x2)2+∂∂t12πa∬ratφ(y1,y2)dy1dy2a2t2−(y1−x1)2−(y2−x2)2+12πa∬ratψ(y1,y2)dy1dy2a2t2−(y1−x1)2−(y2−x2)2{\displaystyle u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{0}^{t}\iint \limits _{r
.

Полная формулировка задачи и ответа

Рассмотрим уравнение

∂2u∂t2−a2△u=f{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}\triangle u=f}, где функции u=u(x,t){\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)} и f=f(x,t){\displaystyle f=f(\mathbf {x} ,t)} определены на (x,t)∈Rn×R+{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+}}, а △{\displaystyle \triangle } — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью a{\displaystyle a} в моменты времени t>{\displaystyle t>0}.

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени t={\displaystyle t=0}:

u|t==φ(x¯),∂u∂t|t==φ1(x¯){\displaystyle u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x}}),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x}})}

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

u(x,t)=∂∂t14πa2t∬Sφ(y)d2Sn+14πa2t∬Sφ1(y)d2Sn+14πa2∭|x−y|⩽atf(y,t−|x−y|a)|x−y|d3y{\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left+{\frac {1}{4\pi a^{2}t}}\iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2}}}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y} }

где поверхностные интегралы берутся по сфере S|x−y|=at{\displaystyle S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at}.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Последовательное соединение элементов

n

Рис.7.

В соответствии с выбранным направлением обхода по второму закону Кирхгофа получим уравнение:

.

характерной особенностью последовательного соединения является равенство токов в каждом из элементов, входящих в соединение.

При

, то есть

Таким образом, при последовательном соединении нескольких резисторов эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений, входящих в соединение.

При последовательном соединении катушек индуктивности (рисунок 8) можно записать:

.

Если

следовательно

Это означает, что эквивалентная индуктивность равна сумме индуктивностей, входящих в последовательное соединение.

В случае последовательного соединения конденсаторов (рисунок 9) по второму закону Кирхгофа можно записать:

.

Рис.9.

Заменяя

Обратная ёмкость всех конденсаторов, соединенных последовательно, равна сумме обратных ёмкостей конденсаторов, входящих в соединение:

При этом эквивалентная ёмкость соединения будет меньше наименьшей ёмкости конденсатора, входящего в последовательное соединение.

Второй закон Кирхгофа

Если первый описывает распределение токов в ветвях, то второй закон Кирхгофа звучит так: «Сумма падений напряжений в контуре равна сумме всех ЭДС». Простыми словами формулировка звучит так: «ЭДС, приложенное к участку цепи, распределится по элементам данной цепи пропорционально сопротивлениям, т.е. по закону Ома».

Тогда как для переменного тока это звучит так: «Сумма амплитуд комплексных ЭДС равняется сумме комплексных падений напряжений на элементах».

Z – это полное сопротивление или комплексное сопротивление, в него входит и резистивная часть и реактивная (индуктивность и ёмкость), которая зависит от частоты переменного тока (в постоянном токе есть только активное сопротивление). Ниже представлены формулы комплексного сопротивления конденсатора и индуктивности:

Вот картинка, иллюстрирующая вышесказанное:

Тогда:

Закон Кирхгофа (страница 3)

1. Для цепи схемы рис. 1.26, пользуясь законами Кирхгофа, найти токи и проверить баланс мощностей, если сопротивления элементов в цепи:. Записать уравнения Кирхгофа в матричной форме.Решение:
Всего на схеме цепи пять ветвей , число узлов , источников тока нет , число неизвестных токов равно . Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, согласно (0.1.10) равно трем . Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.Выберем и обозначим стрелками положительные направления токов и направление обхода трех независимых контуров: I, II, III. Составим систему уравнений Кирхгофа:

для узловаb

для контуровIIIIII

Уравнения (1.1) — (1.5) после подстановки в них числовых значений имеют следующий вид:
Решая эту систему уравнений, получим .Отрицательный знак для тока означает, что истинное направление тока в противоположно принятому. Оно обозначено и показано на схеме штриховой стрелкой.При проверке баланса мощностей надо иметь в виду, что в тех ветвях цепи, где направление тока совпадает с направлением ЭДС, соответствующая ЭДС является источником энергии, а в тех участках, где направления ЭДС и тока противоположны, ЭДС — потребитель энергии. Все сопротивления, как внешние, так и источников энергии независимо от направления протекающего через них тока будут потребителями энергии.Баланс мощностей для рассматриваемой схемы
или получено тождество 630 = 630.Матричная форма записи уравнений Кирхгофа (1.1а) — (1.5а) имеет вид:
где — матрица-столбец токов ветвей; — матрица коэффициентов при токах; — матрица-столбец активных элементов,

2. Для цепи (рис. 1.34) определить токи. Дано: . Проверить баланс мощностей.

Решение:
Выберем положительные направления токов, как это указано на рис. 1.34, и составим уравнения по законам Кирхгофа. Цепь содержит три ветви , два узла А и В , один источник тока . Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, , а по второму закону Кирхгофа : . Уравнение для узла А
Независимый контур выбираем так, чтобы он не содержал источника тока (на рисунке показан штриховой линией). Для него составляем уравнение второго закона Кирхгофа:

Подставляя в уравнения (1.1) и (1.2) цифровые значения и решив их, получим .Для расчета баланса мощностей необходимо знать напряжение на источнике тока, которое находим по ветвям, внешним по отношению к зажимам источника тока. Напряжение на нем . Составляем баланс мощностей: . Подставляя числовые значения, находим: . Получим тождество: 55 = 55.

Смотри полное содержание по представленным решенным задачам.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения ∂2u∂t2=a2△u+f(x¯,t){\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle u+f({\bar {x}},t)} с начальными условиями u(x¯,)=φ(x¯), ut(x¯,)=φ1(x¯){\displaystyle u({\bar {x}},0)=\varphi _{0}({\bar {x}}),\ u_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}})} и искать решение в виде суммы трех функций: u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t){\displaystyle u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)}, которые удовлетворяют следующим условиям:

∂2A∂t2=a2△A+f(x¯,t),A(x¯,)=, At(x¯,)=;{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle A+f({\bar {x}},t),\qquad A({\bar {x}},0)=0,\ A_{t}({\bar {x}},0)=0;}
∂2B∂t2=a2△B,B(x¯,)=φ(x¯), Bt(x¯,)=;{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle B,\qquad B({\bar {x}},0)=\varphi _{0}({\bar {x}}),\ B_{t}({\bar {x}},0)=0;}
∂2C∂t2=a2△C,C(x¯,)=, Ct(x¯,)=φ1(x¯).{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle C,\qquad C({\bar {x}},0)=0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).}

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путём замены переменных. Например, пусть φ1(x,y,z)=11+(x+3y−2z)2{\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2}}}}. Тогда после замены ξ=x+3y−2z{\displaystyle \xi =x+3y-2z} уравнение для задачи «С» примет вид:

∂2C∂t2=14a2∂2C∂ξ2,C(ξ,)=, Ct(ξ,)=11+ξ2.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{2}}},\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2}}}.}

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

C(ξ,t)=1214a∫ξ−14atξ+14atdη1+η2=1214a(arctg⁡(ξ+14at)−arctg⁡(ξ−14at)).{\displaystyle C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}at}^{\xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\left(\operatorname {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}at)-\operatorname {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}at)\right).}

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области t>{\displaystyle t>0}.

Законы Кирхгофа они же Правила Кирхгофа для тока и напряжения. Kirchhoff current (или «first») rule (или «law») & Kirchhohh loop (или «mesh», или «second») rule (или «law»).

  • узлы — точки соединения трёх и более проводников
  • контуры — ЗАМКНУТЫЕ пути из проводников. При этом каждый проводник может входить в несколько контуров.
  • ветви — последовательное соединение элементов между двумя ближайшими узлами
Закон токов Кирхгофа
(Правило токов Кирхгофа, ЗТК, ПТК, Первый закон Кирхгофа, Первое правило Кирхгофа ).
Закон напряжений Кирхгофа
(Правило напряжений Кирхгофа, ЗНК, ПТК, Второй закон Кирхгофа, Второе правило Кирхгофа).
Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере временной зависимости токов и напряжений.

Алгебраическая сумма токов в любой точке любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком)

 ΣIi = I1+I2+ …+In = 0  

Иными словами, сколько тока втекает в точку цепи ( на практике используют узел — см. выше), столько из нее и вытекает (из узла и вытекает).

Сколько дает уравнений: Если цепь содержит p узлов, то она описывается p-1 независимыми уравнениями токов относительно узлов.

Удобно считать входящие токи положительными, а выходящие отрицательными.

Алгебраическая сумма падений напряжений по любому ЗАМКНУТОМУ контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Если в контуре нет ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю. (Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, перепад напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным). если в замкнутом контуре k штук ЭДС и n проводников , то:

 E1+E2+ …+Ek = U1+U2+ …+Un = I1R1+I2R2+ …+InRn  

Иными словами, при обходе цепи по контуру, потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению.

Сколько дает уравнений: Если цепь содержит n ветвей, из которых k содержат источники тока (ЭДС) и p узлов , то она описывается n-k-(p-1) независимыми уравнениями напряжений относительно узлов. ( т.е. на практике в расчетах опираются на узлы, а не на что попало)

  • положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме (как наверху справа — но там неправильно выделены ветви и узлы!!!! — специально такой пример приводим);
  • положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону (с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке)
  • Если Вы не угадали с рисунком — получите в ответе отрицательные величнины токов и напряжений и всего-то.

Пример: попробуем записать все возможные уравнения следуя Правилам Кирхгофа для данного рисунка ( он-же — наверху справа, не удивляйтесь) :

Заметим, что он содержит p=3 узла не 6!, k=0 ЭДС, и n=4 ветви (в замкнутых контурах). Ожидаем, потому:

  • p-1 = 2 уравнения тока
  • n-k-(p-1) = 2 уравнения напряжения
  • итого ожидаем 4 независимых уравнения

Вот они:

  1. I1-I2-I6=0
  2. I2-I4-I3=0
  3. U2+U4-U6=0
  4. U2+(U3+U5)-U6=0

Все остальные умные равенства такие как I3=I5, U4=U3+U5 и т.д., которые можно получить из анализа картинки, строго говоря, не опираются на Правила Кирхгофа, а опираются на здравый смысл и законы Ома. Расчеты по правилам Кирхгофа ведут именно по узлам («относительно узлов»), выделив их предварительно на схеме. Конечно:

  • не забываем Основные электротехнические формулы. Мощность. Сопротивление. Ток. Напряжение. Закон Ома.
  • помним, что все соображения Правил Кирхгофа относятся как к действительным, так и комплексным ЭДС и падениям напряжения.

Законы Кирхгофа являются производной от глобальных «законов сохранения»

Поэтому: вот еще одно важное соображение для инженеров:

  • в случаях переноса массы (жидкости, газа) по трубам массовый расход (а для несжимаемых жидкостей в отсутствии химических реакций и объемный расход) является полным аналогом тока и подчиняется Первому Правилу (сколько втекает, столько вытекает).
  • аналогом потенциала в таких системах является давление, аналогом ЭДС в таких системах является пререпд давления создаваемый насосами. Аналогом падения напряжения является падение давления. Эти величины подчиняются Второму правилу Кирхгофа ( при обходе трубы по контуру, давление изменяясь возвращается к исходному значению).
  • Единственным важным отличием от классической электротехники, где сопротивления, в целом, стабильны относительно широких диапазонов тока является тот факт, что гидравлическое сопротивление сильно зависит от характера потока, определяемого такой величиной, как Число Рейнольдса(Re), зависящее от свойств среды и всяких прочих хароактеристик процесса.

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени t={\displaystyle t=0} на некотором компакте M есть локальное возмущение (φ≠{\displaystyle \varphi _{0}\neq 0} и/или φ1≠{\displaystyle \varphi _{1}\neq 0}). Если мы находимся в некоторой точке x¯∈R3{\displaystyle {\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}}, то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время t1=1ainfy¯∈M|y¯−x¯|{\displaystyle t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _{{\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x}}_{0}\right|}.

Вне отрезка времени t1;t2{\displaystyle \left}, где t2=1asupy¯∈M|y¯−x¯|{\displaystyle t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _{{\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x}}_{0}\right|}, функция u(xt) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, уже не будет компактным в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).

Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений

Если цепь содержит p{\displaystyle p} узлов, то она описывается p−1{\displaystyle p-1} уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.

Если цепь содержит m{\displaystyle m} ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве mi{\displaystyle m_{i}}, то она описывается m−mi−(p−1){\displaystyle m-m_{i}-(p-1)} уравнениями напряжений.

  • Правила Кирхгофа, записанные для p−1{\displaystyle p-1} узлов или m−(p−1){\displaystyle m-(p-1)} контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.
  • Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:
    • положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;
    • положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).
  • Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.
  • При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону (достаточное, но не необходимое условие).
  • В сложных непланарных графах электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в теории графов.

Глоссарий по физике

center>
А  
Б  
В  
Г  
Д  
Е  
Ж  
З  
И  
К  
Л  
М  
Н  
О  
П  
Р  
С  
Т  
У  
Ф  
Х  
Ц  
Ч  
Ш  
Э  
Ю  
Я  

Кирхгофа формула

Кирхгофа формула — ф-ла, выражающая регулярное решение и (х, t)неоднородного волнового
уравнения в трёхмерном пространстве

через нач. данные задачи
Коши и (х, 0)=(х),
ut (х, 0) = =(ас)и объёмный запаздывающий потенциал (х,
t) с плотностью f(y, t):

где
— соответственно дважды и трижды непрерывно дифференцируемые функции, S — сфера
радиуса
с центром в точке х, x=(x1,x2,x3),
y = (y1, у2, у3),
— дважды дифференцируемая
функция. При f(x,t)=0 функция и(x,t)определяется значениями

, взятыми на сфере 5, где п — внеш. нормаль к 5. Это свойство решений
волнового ур-ния (1) наз. Гюйгенса — Френеля принципом.

Из К. ф. можно получить
Пуассона формулу и Д-Аламбера формулу, дающие решение задачи Коши
в двумерном и одномерном пространстве. К. ф. (2) обобщена на случай произвольных
целых размерностей пространства.

К. ф. называют также интеграл
Кирхгофа:

выражающий решение волнового
ур-ния (1) через запаздывающий объёмный потенциал и через значения функции u(y,t)и её производных на границе
области
в момент времени
, где
— огранич. область трёхмерного пространства, п — внеш. нормаль к ;
-расстояние
между точками х и y (см. Кирхгофа метод ).К. ф. получена
впервые Г. Р. Кирхгофом в 1882.

Литература по формуле Кирхгофа

  1. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988;
  2. Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1982.

С. В. Молодцов


к библиотеке  
к оглавлению  
FAQ по эфирной физике  
ТОЭЭ  
ТЭЦ  
ТПОИ  
ТИ  

Знаете ли Вы, что «тёмная материя» — такая же фикция, как черная кошка в темной комнате. Это не физическая реальность, но фокус, подмена.Реально идет речь о том, что релятивистские формулы не соответствуют астрономическим наблюдениям, давая на порядок и более меньшую массу и меньшую энергию. Отсюда сделан фокуснический вывод, что есть «темная материя» и «темная энергия», но не вывод, что релятивистские формулы не соответствуют реалиям. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАРыцари теории эфира
  24.03.2020 — 12:02: ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ — Theorizing and Mathematical Design -> — Карим_Хайдаров.24.03.2020 — 08:28: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education -> — Карим_Хайдаров.23.03.2020 — 19:56: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА — War, Politics and Science -> — Карим_Хайдаров.23.03.2020 — 18:55: ЭКОЛОГИЯ — Ecology -> — Карим_Хайдаров.23.03.2020 — 18:53: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА — War, Politics and Science -> — Карим_Хайдаров.23.03.2020 — 18:52: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education -> — Карим_Хайдаров.23.03.2020 — 13:21: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА — War, Politics and Science -> — Карим_Хайдаров.23.03.2020 — 09:46: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education -> — Карим_Хайдаров.23.03.2020 — 04:58: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА — War, Politics and Science -> — Карим_Хайдаров.22.03.2020 — 18:12: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ — Economy and Finances -> — Карим_Хайдаров.22.03.2020 — 11:50: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education -> — Карим_Хайдаров.20.03.2020 — 08:34: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ — Economy and Finances -> — Карим_Хайдаров.
Ссылка на основную публикацию