Потенциальная энергия пружины

ГЛАВА 9. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ, ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ, ОБЩИЕ СВОЙСТВА УПРУГИХ СИСТЕМ

Ранее для анализа распределения напряжений и деформаций применялись дифференциальные методы, основанные на геометрических, статических и физических соотношениях, описывающих поведение частицы материала или элемента конструкции. В результате получались дифференциальные уравнения, характеризующие «условия жизни» малого элемента. Интегрирование указанных уравнений давало описание работы всей конструкции, т. е. учитывало совместную работу всех сопряженных элементов. Краевые условия при интегрировании дифференциальных уравнений отражали особенности поведения элементов, примыкающих к границам тела. Однако существуют и другие методы анализа, которые могут быть названы вариационными. Эти методы основаны на изучении общих количественных характеристик конструкции (функционалов), таких как энергия деформации, работа внешних сил при деформации конструкции и т. п. Условие того, что функционал для всей конструкции должен приобретать минимальное значение, накладывает определенные ограничения на поведение каждого элемента. Эти ограничения или условия оказываются как раз теми дифференциальными уравнениями, которые изучались ранее. Таким образом, дифференциальные и вариационные методы не противоречат, а взаимно дополняют друг друга. Общность анализа, возможность использования приближенных методов, удобных для численной реализации на ЭВМ, делают вариационные или энергетические методы весьма важными для прочностного анализа конструкции.

Вариационные методы связаны с понятием функционала. Функционалом называется скалярная величина (число), зависящая от поведения функции или нескольких функций в определенной области. Например, длина кривой, соединяющей две заданные точки пространства, является функционалом; он имеет минимальные значения для линейной функции (прямой).

Вариационные методы приложимы для различных моделей материала, на в дальнейшем ограничимся рассмотрением работы конструкций в упругой области.

Предварительное замечание.

При деформации упругое тело накапливает энергию деформации за счет работы внешних сил. Сжатая пружина может возвратить затраченную на ее сжатие работу, так как обладает потенциальной энергией деформации. Это явление используется в ряде технических устройств (заводные пружины часов, пружины воздушных тормозов железнодорожных вагонов и т. п.). Ближайшая задача состоит в получении общих формул для определения потенциальной энергии деформации, но начнем с рассмотрения простейшего случая — растяжения стержня.

Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии стержней.

Рассмотрим растяжение стержня усилием N (рис. 9.1, а). Усилие возрастает медленно от 0 до N и по закону упругости: пропорционально силе увеличивается удлинение стержня.

§ 98. Потенциальная энергия упругой деформации

Деформированное
упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в
недеформированное состояние, совершить работу над соприкасающимися с ним
телами. Следовательно, упруго деформированное тело обладает потенциальной
энергией. Она зависит от взаимного положения частей тела, например витков
пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от
начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может
совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е.
найдем потенциальную энергию растянутой пружины.

Пусть
растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь,
совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не
остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению. Если
первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось
, то
первоначальное значение силы упругости составляло , где — коэффициент пропорциональности,
который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно
убывает от значения  до нуля. Значит, среднее значение
силы равно .
Можно показать, что работа  равна этому среднему, умноженному
на перемещение точки приложения силы:

.

Таким
образом, потенциальная энергия растянутой пружины

                                                                                 (98.1)

Такое
же выражение получается для сжатой пружины.

В
формуле (98.1) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через
ее растяжение .
Заменив  на
, где  — упругая сила,
соответствующая растяжению (или сжатию) пружины , получим  выражение

,                                                                         (98.2)

которое
определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой . Из этой формулы
видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им
различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т.е. чем больше ее
упругость, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем
больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей, силе. Это можно уяснить
себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение
мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на
перемещение точки приложения силы, т. е. работа.

Эта
закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных
рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси,
сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость
самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато
возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от
повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки
ощущаются резче, чем при слабой накачке.

Использование энергии пружины на практике

Явление преобразования потенциальной энергии пружины в кинетическую используется при стрельбе из лука.

Натягивая тетиву, стреле сообщается потенциал для последующего движения. Чем жестче лук, а также ход при натягивании тетивы, тем выше будет запасенная энергия. Распрямляясь дуги этого оружия, придадут метательному снаряду значительную скорость.

В результате стрела полетит в цель. Ее поражающие свойства определятся величиной кинетической энергии (mv²/2).

Для гашения колебаний, возникающих при движении автомобиля, используют амортизаторы. Основным элементом, воспринимающим вертикальную нагрузку, являются пружины. Они сжимаются, а потом возвращают энергию кузову. В результате заметно снижается ударное воздействие. Дополнительно устанавливается гидроцилиндр, он снижает скорость обратного движения.

Рассмотренные явления используют при проектировании механизмов и устройств для автоматизации процессов в разных отраслях промышленности.

Видео: закон Гука и энергия упругой деформации.

Энергия кинетическая: формула и определение

Механическая система, которая связана со скоростью перемещения объекта, применяется крайне часто. Стоит учитывать, что она может делиться на поступательную и вращательную. В качестве единицы измерения используется джоуль.

Среди особенностей отметим нижеприведенные моменты:

  1. Рассматриваемый тип усилия также представлен разностью между исходным состоянием тела и его положением в полном спокойствии.
  2. Обуславливается возникновение определенного усилия, за счет которого обеспечивается перемещение тела и совершение работы.

Пружина за счет силы упругости приводит в движение различные объекты. При этом жесткость пружины растянутой может быть различной, все зависит от особенностей конкретного изделия.

Рассматриваемая формулу следует уделить внимание достаточно большому количеству различных моментов. Особенностями назовем следующее:

Упругость зависит от количества витков, толщины применяемой проволоки и типа применяемого материала при изготовлении

Кроме этого, уделяется внимание взаимному расположению витков.
Работа, которая может совершаться пружиной, зависит от взаимного положения частей тела. Начальное и конечное растяжение может существенно отличаться.
Рассматриваемое изделие в растянутом положении может совершать различную работу

Расчеты позволяют определить то, каково ее значение, а также величину потенциальной.

Расчеты могут проводится исключительно после создания схемы. Примером назовем следующее:

  1. Один конец витков закреплен за основание, второй предназначен для совершения работы.
  2. Не стоит забывать о том, что показатель изменяется, он не остается постоянным. Изменения пропорционально растяжению.
  3. Изначальное растяжение обозначается буквой l, для определения первоначального значение силу упругости применяется формула F=kl. В данной формуле используется коэффициент k, который обозначает жесткость.

Приведенная выше информация указывает на то, что провести расчет требуемого показателя проводится следующим образом: E=kl2/2. В этом случае величина во многом зависит от удлинения и коэффициента жесткости.

Момент силы и момент импульса относительно оси

Рассмотрение деформации пружины проводится также с учетом момента силы и импульса относительно оси. Эти два параметра позволяют рассчитать все требуемые показатели с более высокой точностью. Довольно распространенным вопросом можно назвать чему равен момент силы – векторная величина, которая определяется векторному произведению радиуса на вектор приложенной силы.

Среди особенностей подобного показателя можно отметить следующее:

  1. Масса вращения. Объект может характеризоваться различной массой.
  2. Распределение относительно оси. Ось может быть расположена на различном расстоянии от самого объекта.
  3. Скорость вращения. Это свойство считается наиболее важным, в зависимости от конструкции он может быть постоянным или изменяться.

Расчет каждого показателя проводится при применении соответствующей формулы. В некоторых случаях проводится измерение требуемых вводных данных, без которых провести вычисления не получится.

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии существует независимо от желания наблюдателя. Все физические законы имеют статистический характер: существуют только подтверждения их выполнения, нет ни одного адекватно выполненного опыта, при котором наблюдается нарушение этой закономерности. Природные явления только подтверждают сохранность работы и энергозатрат, затраченных на ее выполнение.

На основании изложенного сформулировано положение:

где Ек – кинетическая энергия, Дж.

Рассматривая перемещения тела, наблюдаются изменения потенциальной и кинетической энергий. При этом сумма значений остается постоянной.

Проще всего проследить за изменениями между разными видами энергетических показателей при рассмотрении движения маятника.

Из крайнего положения (шарик на нити отклонился в одну из сторон, Еп = max) тело движется под действием силы тяжести. При этом снижается запасенная энергия. Движение сопровождается увеличением скорости. Поэтому нарастают показатели динамического перемещения Ек.

В нижней точке не остается никаких запасенных эффектов от положения шарика. Он опустился да минимума. Теперь Ек =max.

Поучается, при совершении гармонических колебаний маятник поочередно накапливает то один, то другой вид энергии. Механические превращения из одного вида в другой налицо.

Средняя кинетическая энергия

В большинстве случаев проводится высчитывание среднего значения. Этот показатель не учитывает то, в каких положениях сила упругости высокая и низкая. Для расчета применяется формула: F=kl/2.

В данном случае достаточно знать лишь удлинение, которое измеряется при использовании обычного инструмента. Что касается коэффициента, то он может варьировать в достаточно большом диапазоне, зависит от следующих моментов:

  1. Диаметра витков. С увеличением этого показателя существенно повышается коэффициент жесткости, изделие часто используется для выполнения большой работы.
  2. Толщины применяемой проволоки. Рассматриваемое изделие представлено проволокой, которая накручивается вокруг установленной оси.
  3. Расстояния между отдельными витками. Как правило, они расположены относительно друг друга на определенном расстоянии, которое одинаковое. По этому признаку выделяют варианты исполнения, предназначенные для сжатия и растяжения.
  4. Типа применяемого материала при изготовлении. Некоторые сплавы характеризуются достаточно высокой жесткостью, могут переносить незначительную деформацию.

Коэффициент самостоятельно рассчитать не нужно, он берется с определенных таблиц. Среднее значение часто высчитывается в случае решения математических задач, при проектировании применяются другие формулы.

Ссылка на основную публикацию