Пружинный маятник

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 13.12, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами. К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия. Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили \((\upsilon_0=0).\) Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение xm пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна. Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.

Рис. 13.12

По закону Гука \(~F_x=-kx.\) По второму закону Ньютона \(~F_x = ma_x.\) Следовательно, \(~ma_x = -kx.\) Отсюда

\(a_x = -\frac{k}{m}x\) или \(a_x + -\frac{k}{m}x = 0 \) — динамическое уравнение движения пружинного маятника.

Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой \(\omega = \sqrt \frac{k}{m}\) Так как \(T = \frac{2 \pi}{\omega},\) то

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }\)— период колебаний пружинного маятника.

По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 13.12. б). Действительно, в положении равновесия благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину x, определяемую соотношением \(~mg=kx_0.\) При смещении маятника из положения равновесия O на х проекция силы упругости \(~F’_{ynpx} = -k(x_0 + x)\) и по второму закону Ньютона \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Подставляя сюда значение \(~kx_0=mg,\) получим уравнение движения маятника \(a_x + \frac{k}{m}x = 0,\) совпадающее с уравнением движения горизонтального маятника.

Сила упругости в пружинном маятнике

Следует учитывать тот момент, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в соответствии с тем, как воздействует закон сохранения энергии. Согласно принятым нормам возникающая упругость пропорциональна смещению тела. В этом случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=-kx. В данном случае применяется коэффициент жесткости пружины.

Выделяют довольно большое количество особенностей воздействия силы упругости в пружинном маятнике. Среди особенностей отметим:

  1. Максимальная сила упругости возникает на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в подобном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Не следует забывать о том, что может проводится растягивание и сжатие пружины, оба варианта несколько отличается. При сжатии минимальная длина изделия ограничивается. Как правило, она имеет длину, равную диаметру витка умноженное на количество. Слишком большое усилие может стать причиной смещения витков, а также деформации проволоки. При растяжении есть момент удлинения, после которого происходит деформация. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первоначальное состояние.
  2. При сближении тела к месту равновесия происходит существенное уменьшение длины пружины. За счет этого наблюдается постоянное снижение показателя ускорения. Все это происходит за счет воздействия усилия упругости, которая связано с типом применяемого материала при изготовлении пружины и ее особенностями. Длина уменьшается за счет того, что расстояние между витками снижается. Особенностью можно назвать равномерное распределение витков, лишь только в случае дефектов есть вероятность нарушения подобного правила.
  3. На момент достижения точки равновесия сила упругости снижается до нуля. Однако, скорость не снижается, так как тело движется по инерции. Точка равновесия характеризуется тем, что длина изделия в ней сохраняется на протяжении длительного периода при условии отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия определяется в случае построения схемы.
  4. После достижения точки равновесия возникающая упругость начинает снижать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом возникает усилие, которое направлено в обратную сторону.
  5. Дойдя крайней точки тело начинает двигаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины подобное действие будет повторятся неоднократно. Протяженность этого цикла зависит от самых различных моментов. Примером можно назвать массу тела, а также максимальное приложенное усилие для возникновения деформации. В некоторых случаях колебательные движения практически незаметны, но они все же возникают.

Приведенная выше информация указывает на то, что колебательные движения совершаются за счет воздействия упругости. Деформация происходит за счет приложенного усилия, которое может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от конкретного случая.

Виды пружинного маятника

Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:

  1. Довольно большое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае на груз не оказывается сила трения и другое воздействие. При вертикальном расположении груза существенно увеличивается степень воздействия силы тяжести. Распространен этот вариант исполнения при проведении самых различных расчетов. За счет силы тяжести есть вероятность того, что тело в исходной точке будет совершать большое количество инерционных движений. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце хода.
  2. Также применяется горизонтальный пружинный маятник. В этом случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также возникает трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает несколько иначе. Горизонтальное расположение тела получило широкое распространение в различных задачах.

Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:

  1. Классическая витая пружина сжатия сегодня получила весьма широкое распространение. В этом случае между витками есть пространство, которое называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, но зачастую она для этого не устанавливается. Отличительной особенностью можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределения усилия.
  2. Может устанавливаться вариант исполнения для растяжения. Он рассчитан на установку в случае, когда приложенное усилие становится причиной увеличения длины. Для крепления проводится размещение крючков.

Распространены оба варианта исполнения

При этом важно уделить внимание тому, чтобы сила прикладывалась параллельно оси. В противном случае есть вероятность смещения витков, что становится причиной возникновения серьезных проблем, к примеру, деформации

Ссылка на основную публикацию