Гаусса теорема

Теорема Остроградского—Гаусса и ее применение для расчета электростатических полей

Рис. 2

Пусть поле создается точечным электрическим зарядом q. Проведем замкнутую сферическую поверхность площадью S (рис. 2), окружающую этот заряд, центр которой совпадает с точкой нахождения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через эту поверхность. За положительное направление нормали выберем направление внешней нормали \(~\vec n\). В этом случае во всех точках сферической поверхности E = const и cos α = 1.

Модуль напряженности поля на расстоянии R от заряда \(~E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon R^2}\). Площадь поверхности сферы \(~S = 4 \pi R^2\).

Следовательно, поток вектора напряженности через сферическую поверхность

\(~N_S = \frac{q 4 \pi R^2}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon R^2} = \frac{q}{\varepsilon_0 \varepsilon} .\)

Полученный результат будет справедлив и для поверхности произвольной формы, а также при любом расположении заряда внутри этой поверхности. Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью (рис. 2, а — поверхность изображена штрихами), то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 2, б), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в поверхность, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линии, входящей в поверхность. Если же внутри поверхности площадью S1 (см. рис. 2) заряды отсутствуют, то поток напряженности через эту поверхность равен нулю (NS = 0).

Рис. 3

Если рассматриваемая поверхность охватывает не один, а несколько электрических зарядов, то под q следует понимать алгебраическую сумму этих зарядов (рис. 3) и

\(~N_S = \frac{q_1 + q_2 + q_3}{\varepsilon_0 \varepsilon} .\)

Эта формула выражает теорему Остроградского—Гаусса: поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на произведение электрической постоянной и диэлектрической проницаемости среды.

Применим эту теорему для расчета электростатических полей некоторых проводников.

Равномерно заряженная бесконечная плоскость

Пусть σповерхностная плотность заряда на плоскости (рис. 4).

Рис. 4

В качестве поверхности площадью S выберем цилиндрическую поверхность, образующая которой перпендикулярна плоскости. Основания этого цилиндра расположены перпендикулярно линиям напряженности по обе стороны от плоскости. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (α = 90°, cos α = 0), то поток через боковую поверхность цилиндра отсутствует, и полный поток через поверхность цилиндра равен сумме потоков через два основания: N = 2ES. Внутри цилиндра заключен заряд q = σS, поэтому, согласно теореме Остроградского-Гаусса, \(~2ES = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0 \varepsilon}\), где ε = 1 (для вакуума), откуда следует, что напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

\(~E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0 \varepsilon} .\)

Бесконечная равномерно заряженная нить

Пусть τ — линейная плотность заряда нити. Выделим участок нити длиной Δl и окружим его цилиндрической поверхностью, расположенной так, что ось цилиндра совпадает с нитью (рис. 5).

Рис. 5

Линии напряженности электростатического поля, создаваемого нитью в сечении, перпендикулярном самой нити, направлены перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, поэтому поток напряженности сквозь боковую поверхность \(~N = E \cdot 2 \pi R \Delta l\), где R — радиус цилиндра. Через оба основания цилиндра поток напряженности равен нулю (α = 90°, cos α = 0). Тогда полный поток напряженности через выделенный цилиндр

\(~N = E \cdot 2 \pi R \Delta l .\)

Заряд, находящийся внутри этого цилиндра, q = τ · Δl.

Согласно теореме Остроградского—Гаусса, можно записать \(~E \cdot 2 \pi R \Delta l = \frac{\tau \Delta l}{\varepsilon_0 \varepsilon}\) . Следовательно, модуль напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечно длинной нитью на расстоянии R от нее,

\(~E = \frac{\tau}{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon R} .\)

3.11. Закон полного тока

Рассмотрим магнитное поле,
созданное бесконечным прямым проводником с током I.

Как было установлено ранее,
силовые линии такого тока – окружности с центром на проводнике, а индукция
магнитного поля .

Вычислим для этого поля циркуляцию
вектора магнитной индукции , т. е. интеграл от
скалярного произведения вектора магнитной индукции на элемент контура dl,
взятый по некоторому замкнутому контуру.

Для этого прежде всего необходимо
выбрать контур.

В данном случае удобнее всего в
качестве контура выбрать окружность, совпадающую с силовой линией
магнитного поля.

Для такого контура Bdl
= Bdl, так как в любой точке В параллелен dl
и косинус угла между этими векторами равен единице. Поэтому

.

Таким образом, циркуляция вектора В
оказалась равна произведению магнитной постоянной на ток, охваченный контуром
интегрирования:

.

Можно показать, что полученный
результат не связан с формой контура интегрирования и имеет общий характер.

Если магнитное поле создано
несколькими токами, то индукция магнитного поля в любой точке может быть
найдена на основе принципа суперпозиции, где Вi– индукция магнитного поля, созданного i-м проводником с током.

Циркуляция каждого из
векторов Вi будет равна произведению силы i-го
тока на магнитную постоянную .

В свою очередь циркуляция вектора В
по замкнутому контуру будет равна

,

т. е. циркуляция вектора магнитной
индукции по контуру, охватывающему несколько токов, равна произведению
mо на алгебраическую сумму токов,
охваченных этим контуром.

Полученное
выражение для циркуляции вектора магнитной индукции имеет общий характер и
называется законом полного тока*.

Знак тока в алгебраической сумме
определяется простым правилом: ток, охватываемый контуром, положителен, если
его направление совпадает с направлением положитель-ной нормали к контуру (см.
рисунок).

Направление положительной нормали
определяется правилом правого винта: если правый винт вращать по выбранному
направлению обхода контура, то направление поступательного движения винта
покажет направление положительной нормали n.

Закон полного тока удобно использовать
для расчёта магнитных полей, созданных токами, которым свойственна симметрия
(см. следующий раздел).

3.11.1.  Магнитное поле
бесконечного соленоида

Соленоидом называется проводник,
намотанный на цилиндрическую поверхность.

Если витки соленоида намотаны вплотную
друг к другу, то соленоид удобно представлять в виде совокупности витков одинакового
радиуса, расположенных параллельно друг другу вдоль оси соленоида. Центры
витков расположены на оси, плоскости витков перпендикулярны оси. Токи во всех
витках одинаковы.

Как показано в разд. 3.4, вектор
магнитной индукции на оси витка параллелен ей. Следовательно, и суммарное поле
всех витков на оси соленоида параллельно этой оси.

Отношение к закону Кулона

Выведение закона Гаусса из закона Кулона

Строго говоря, закон Гаусса не может быть получен из закона Кулона только, так как закон Кулона дает электрическое поле из — за отдельный точечный заряд только. Однако, закон Гаусса может быть доказано из закона Кулона , если предполагается, кроме того, что электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции . Принцип суперпозиции говорит о том , что результирующее поле является векторной суммой полей , генерируемых каждой частицы (или интеграл, если заряды распределены гладко в пространстве).

Набросок доказательства
Закон Кулона утверждает , что электрическое поле из — за стационарным точечный заряд является:

Е(р)знак равноQ4πεерр2{\ Displaystyle \ mathbf {Е} (\ mathbf {г}) = {\ гидроразрыва {д} {4 \ р \ varepsilon _ {0}}} {\ гидроразрыва {\ mathbf {е} _ {г}} {г ^ {2}}}}

где

е г радиального единичный вектор ,
г есть радиус, | г | ,
ε является электрическим постоянным ,
д есть заряд частицы, которая , как предполагается, будет расположен на происхождения .

Используя выражение из закона Кулона, мы получаем полное поле в г , используя интеграл просуммировать поля при г из — за бесконечно малый заряд друг на друг точку s в пространстве, чтобы дать

Е(р)знак равно14πε∫ρ(s)(р-s)|р-s|3d3s{\ Displaystyle \ mathbf {Е} (\ mathbf {г}) = {\ гидроразрыва {1} {4 \ р \ varepsilon _ {0}}} \ Int {\ гидроразрыва {\ Rho (\ mathbf {s}) ( \ mathbf {г} — \ mathbf {s})} {| \ mathbf {г} — \ mathbf {s} | ^ {3}}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {s}}

где ρ плотность заряда. Если взять дивергенцию от обеих сторон этого уравнения относительно г , и использовать известную теорему

∇⋅(р|р|3)знак равно4πδ(р){\ Displaystyle \ набла \ CDOT \ влево ({\ гидроразрыва {\ mathbf {г}} {| \ mathbf {г} | ^ {3}}} \ справа) = 4 \ р \ дельта (\ mathbf {г}) }

где δ ( г ) является дельта — функция Дирака , результат

∇⋅Е(р)знак равно1ε∫ρ(s)δ(р-s)d3s{\ Displaystyle \ набла \ CDOT \ mathbf {Е} (\ mathbf {г}) = {\ гидроразрыва {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ Int \ Rho (\ mathbf {s}) \, \ дельта (\ mathbf {г} — \ mathbf {s}) \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {s}}

Используя « » дельта — функции Дирака, мы приходим

∇⋅Е(р)знак равноρ(р)ε,{\ Displaystyle \ набла \ CDOT \ mathbf {Е} (\ mathbf {г}) = {\ гидроразрыва {\ Rho (\ mathbf {г})} {\ varepsilon _ {0}}}}

что дифференциальная форма закона Гаусса, как хотелось бы.

Отметим, что поскольку закон Кулона применяется только к стационарным зарядами, нет никаких оснований ожидать, закон Гаусса подержать движущихся зарядов на основе только этого вывода. На самом деле, закон Гаусса проявляется для движущихся зарядов, и в этом отношении закон Гаусса является более общим, чем закон Кулона.

Выведение закона Кулона от закона Гаусса

Строго говоря, закон Кулона не может быть получен только из закона Гаусса, так как закон Гаусса не дает никакой информации относительно ротора в Е (см Гельмгольца разложения и закон Фарадея ). Однако, закон Кулона может быть доказано из закона Гаусса , если предполагается, кроме того, что электрическое поле от точечного заряда является сферически симметричным (это предположение, как и сам закон Кулона, это совсем верно , если заряд находится в неподвижном состоянии , и приблизительно верно если заряд находится в движении).

Набросок доказательства
Принимая S в интегральной форме закона Гаусса быть сферической поверхностью с радиусом г , с центром в точке заряда Q , мы имеем

∮S⁡Е⋅dAзнак равноQε{\ Displaystyle \ oint _ {S} \ mathbf {E} \ CDOT д \ mathbf {A} = {\ гидроразрыва {Q} {\ varepsilon _ {0}}}}

По предположению сферической симметрии, подынтегральный является константой, которая может быть выведена из интеграла. Результат

4πр2р^⋅Е(р)знак равноQε{\ Displaystyle 4 \ пи г ^ {2} {\ шлем {\ mathbf {г}}} \ CDOT \ mathbf {Е} (\ mathbf {г}) = {\ гидроразрыва {Q} {\ varepsilon _ {0} }}}

где R представляет собой единичный вектор , указывающий в радиальном направлении в сторону от заряда. Опять же по сферической симметрии, Е точки в радиальном направлении, и таким образом мы получаем

Е(р)знак равноQ4πεр^р2{\ Displaystyle \ mathbf {Е} (\ mathbf {г}) = {\ гидроразрыва {Q} {4 \ р \ varepsilon _ {0}}} {\ гидроразрыва {\ шлем {\ mathbf {г}}} {г ^ {2}}}}

который является по существу эквивалентно закону Кулона. Таким образом, закон обратных квадратов зависимость электрического поля в законе Кулона следует из закона Гаусса.

Термины

  • Электрическое поле – участок вокруг заряженной частички или между двумя зарядами.
  • Электрический заряд – квантовое число, характеризующее электромагнитные контакты некоторых субатомных частичек. У электрона заряд -1, у протона +1, а у кварков – дробный.
  • Электрическое смещение поля – векторное поле, отображающееся в уравнениях Максвелла.

Закон Гаусса объединяет распределение электрического заряда и полученное электрическое поле. В 1835 году его вывел Карл Фридрих Гаусс, но не публиковал до 1867 года. Входит в четверку уравнений Максвелла, представляющих базу классической электродинамики. Среди них также есть теорема Гаусса для магнетизма, индукция Фарадея и закон Ампера, откорректированный Максвеллом.

Потрет Карла Фридриха Гаусса (1777-1855)

Закон Гаусса можно использовать, чтобы вывести закон Кулона, и наоборот. Не стоит забывать, что второй используют только для стационарных зарядов, а электрическая теорема Гаусса – для подвижных. Он утверждает, что чистый нормальный электрический поток в замкнутой поверхности выступает пропорциональным суммарному электрическому заряду, попавшему в замкнутую поверхность.

В математике используют векторное вычисление в интегральной и дифференциальной формах. Обе эквивалентные, потому что объединяются теоремой расходимости. Каждую из форм можно вывести двумя способами: в терминах соотношения электрического поля (Е) и полного электрического заряда или с позиции смещения электрического поля (D) и свободного электрического заряда.

Закон Гаусса по математическим особенностям сходится с другими физическими законами, вроде закона Гаусса для магнетизма или гравитации. Кроме того, закон «обратного квадрата» можно сформулировать, как и закон Гаусса.

Обзор
  • Электрическая зарядка в атоме
  • Свойства электрических зарядов
  • Разделение заряда
  • Поляризация
  • Статическое электричество, заряд и сохранение заряда
  • Проводники и изоляторы
  • Опыт Милликена
Экранирование и зарядка посредством индукции
  • Электростатическое экранирование
  • Индуцированный заряд
Закон Кулона
  • Суперпозиция сил
  • Сферическое распределение заряда
  • Решение проблем с векторами и законом Кулона
Повторное электрическое поле
  • Электрическое поле от точечного заряда
  • Суперпозиция полей
  • Электрические полевые линии
  • Параллельно-пластинчатый конденсатор
  • Электрические поля и проводники
  • Проводники и поля в статическом равновесии
Электрический поток и закон Гаусса
  • Электрический поток
  • Закон Гаусса
Применение электростатики
  • Биология: структура и репликация ДНК
  • Фотокопировальные машины и принтеры
  • Генераторы Ван Де Граафа

§2. Дивергенция векторного поля.

Понятие потока вектора через замкнутую поверхность приводит к понятию о дивергенции или расходимости поля. Это понятие даёт некоторую количественную характеристику поля в каждой его точке.

Пусть М – изучаемая точка поля. Окружим её поверхностью Σ произвольной формы, например, сферой достаточно малого радиуса. Область, ограниченная поверхностью Σ, пусть будет (V), а её объём V. Рассмотрим отношение

(4.3)

Определение 4.1. Если отношение (4.3) имеет конечный предел, когда область (V) стягивается к точке М, то этот предел называется дивергенцией векторного поля (дивергенцией вектора а) в точке М и обозначают символом div a (M).Так что

(4.4)

Формула (4.4) даёт инвариантное определение дивергенции. Это определение означает, что дивергенция поля а в точке М есть объёмная плотность потока вектора ав этой точке.

Точки М векторного поля а(М), в которых div a>0, называются источниками, а точки, в которых div a называются стоками векторного поля.

Дивергенция векторного поля есть скалярная функция точек поля.

Если координаты вектора

a(M) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k

имеют непрерывные частные производные в окрестности точки М(x, y, z), то, пользуясь инвариантным определением дивергенции, из теоремы Гаусса – Остроградского получаем, что

(4.5)

Все величины в формуле (4.5) рассматриваются в одной и той же точке М(x, y, z).

Используя формулу (4.5) для дивергенции, можно теорему Гаусса – Остроградского (см. §1) записать в векторной форме

(4.6)

Пример 4.4. Пользуясь инвариантным определением, вычислить дивергенцию вектора a = xi в точке О(0, 0, 0),выбрав в качестве поверхностей σ окружающих точку О, сферы σε радиуса ε с центром в этой точке.

Решение. По определению дивергенции в данной точке имеем

где vε – объём шара, ограниченного сферой σε, или

Но так как объём шара равен то

Вычислим поток данного вектора через сферу σε . Орт нормали n° к сфере σε направлен по радиусу сферы, поэтому можно положить:

где r° — орт радиуса-вектора r = xi + yj + zk, или

Искомый поток будет равен

Переходя к координатам на сфере σε

получим

Следовательно

Пример 4.5. Вычислить div r.

Решение. Имеем = xi + yj + zk, так что P = x, Q = y, R = zи, значит, по формуле (4.5)

Пример 4.6.Вычислить div(u,a), где u(M) – скалярная функция, а(М) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k – векторная функция.

Решение. Используя формулу (4.5), находим

Итак,

(4.7)

Пример 4.7. Найти дивергенцию вектора

где — расстояние от начала координат до переменной точки M(x, y, z).

Решение. Используя формулу (4.7), получим

.

Далее,

поэтому

Нормальный (гауссов) закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения СВ. Главная особенность, выделяющая закон Гаусса, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма не жестких ограничениях) приближенно подчиняется нормальному закону. И это свойство выполняется тем точнее, чем большее количество СВ суммируется.

По нормальному закону распределены ошибки измерений, белый шум в электронике и т.п.

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности определена на всей числовой оси и имеет вид

.     (11.1)

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (см. рис. 11.1.). Гауссова кривая имеет симметричный холмообразный вид с максимумом в точке , причем сам максимум равен . Выясним смысл параметров и , входящих в (11.1).

Рис.11.1. Нормальное распределение

Для этого вычислим сначала математическое ожидание:

 (11.2)

Произведем замену переменных, определив , тогда , а . Подставив в (11.2) получим:

   (11.3)

В выражении (11.3) первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно начала координат пределах; второй интеграл это интеграл Пуассона Эйлера, который равен . Тогда окончательно получим:

   (11.4)

Итак, параметр в плотности вероятности нормального распределения равен математическому ожиданию СВ .

Вычислим теперь дисперсию СВ

Произведя ту же замену переменных, что и при вычислении математического ожидания, получим:

(11.5)

Поясним немного полученный результат. Действительно, первое слагаемое в выражении (11.5) равно нулю, т.к. стремится к нулю при быстрее, чем возрастает любая степень . А второе слагаемое это интеграл Пуассона Эйлера.

Следовательно, параметр в формуле (11.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение СВ .

Выведем общую формулу для центрального момента любого порядка СВ,распределенной по нормальному закону. По определению:

Здесь, как и в предыдущих интегралах применили подстановку, а полученный интеграл будем брать по частям:

 (11.6)

Здесь, при взятии интеграла по частям первое слагаемое равно нулю, т.к. стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень . Теперь запишем центральный момент порядка:

  (11.7)

Сравнивая правые части выражений (11.6) и (11.7) получим:

    (11.8)

Рекуррентное соотношение (11.8) справедливо для центральных моментов любого порядка. Вспомним, что , а . Тогда все центральные моменты нечетных порядков для нормального распределения равны нулю.

Нормальное распределение симметрично

   (11.9)

Коэффициент эксцесса нормального распределения, согласно (11.8) равен

  (11.10)

Нормальный закон распределения СВ с параметрами , обозначается и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая стандартной или нормированной.

Уравнение для линейных материалов

В однородной , изотропной , недиспергирующих , линейных материалов, существует простая связь между Е и  D :

Dзнак равноεЕ{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {Е}}

где ε есть диэлектрическая проницаемость материала. Для случая вакуума (он же свободного пространства ), ε = ε . В этих условиях закон Гаусса изменяет к

ΦЕзнак равноQерееε{\ Displaystyle \ Phi _ {Е} = {\ гидроразрыва {q _ {\ mathrm {свободный}}} {\ varepsilon}}}

для интегральной формы, и

∇⋅Езнак равноρерееε{\ Displaystyle \ набла \ CDOT \ mathbf {Е} = {\ гидроразрыва {\ Rho _ {\ mathrm {свободный}}} {\ varepsilon}}}

для дифференциальной формы.

Ссылка на основную публикацию