Угловая скорость и ускорение. связь между угловыми и линейными характеристиками движения

Угол поворота и период обращения

Гораздо более часто, чем угол поворота, используется частота вращения, которая показывает, сколько оборотов делает объект за заданный период времени. Дело в том, что радиан, используемый для расчётов – это угол в окружности, когда длина дуги равна радиусу. Соответственно в целой окружности находится 2 π радианов. Число же π – иррациональное, и его нельзя свести ни к десятичной, ни к простой дроби. Поэтому в том случае, если происходит равномерное вращение, проще считать его в частоте. Она измеряется в об/мин – оборотах в минуту.

Если же дело касается не длительного промежутка времени, а лишь того, за который происходит один оборот, то здесь используется понятие периода обращения. Она показывает, как быстро совершается одно круговое движение. Единицей измерения здесь будет выступать секунда.

где:

  • ω – угловая скорость в рад/с;
  • T – период обращения;
  • f – частота вращения.

Получить любую из этих трёх величин из другой можно с помощью правила пропорций, не забыв при этом перевести размерности в один формат (в минуты либо секунды)

Связь угловой и линейной скоростей

На практике часто приходится проверять не только ту скорость, с какой изменяется угловое положение у вращающейся точки, но и скорость её самой применительно к линейному движению. В приведённом выше примере были сделаны расчёты для колеса – но колесо движется по дороге и либо вращается под действием скорости автомобиля, либо само ему эту скорость обеспечивает. Значит, каждая точка на поверхности колеса помимо угловой будет иметь и линейную скорость.

Рассчитать её проще всего через радиус. Поскольку скорость зависит от времени (которым будет период обращения) и пройденного расстояния (которым является длина окружности), то, учитывая приведённые выше формулы, угловая и линейная скорость будут соотноситься так:

V = ωR

Где:

  • V – линейная скорость;
  • R – радиус.

Из формулы очевидно, что чем больше радиус, тем выше и значение такой скорости. Применительно к колесу с самой большой скоростью будет двигаться точка на внешней поверхности протектора (R максимален), но вот точно в центре ступицы линейная скорость будет равна нулю.

Связь с конечным поворотом в пространстве

Пусть поворот, изменяющийся во времени, задан величиной угла θ(t){\displaystyle \;\theta (t)} и ортом оси конечного поворота в пространстве n→(t).{\displaystyle {\vec {n}}(t).} Тогда угловая скорость, соответствующая этому повороту, равна

ω→=n→θ˙+n→˙sin⁡θ+n→×n→˙(1−cos⁡θ).{\displaystyle {\vec {\omega }}={\vec {n}}{\dot {\theta }}+{\dot {\vec {n}}}\sin \theta +{\vec {n}}\times {\dot {\vec {n}}}(1-\cos \theta ).}

Если поворот задан матрицей поворота Tij=ninj+(δij−ninj)cos⁡θ−nkεijksin⁡θ,{\displaystyle T_{ij}=n_{i}n_{j}+(\delta _{ij}-n_{i}n_{j})\cos \theta -n_{k}\varepsilon _{ijk}\sin \theta ,} где δij{\displaystyle \;\delta _{ij}} — символ Кронекера, εijk{\displaystyle \varepsilon _{ijk}} — символ Леви-Чивиты (суммирование ведётся по правилу Эйнштейна от 1 до 3), выражение для элементов которой через θ{\displaystyle \;\theta } и n→{\displaystyle {\vec {n}}} могут быть получены, например, с помощью формулы Родрига, то угловая скорость равна

ωi=12εijkTjnT˙kn.{\displaystyle \omega _{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}T_{jn}{\dot {T}}_{kn}.}

Если для описания поворота используется кватернион, выражаемый через угол θ{\displaystyle \;\theta } и орт оси поворота n→{\displaystyle {\vec {n}}} как q=(cos⁡(θ/2),n→sin⁡(θ/2)),{\displaystyle q={\bigl (}\cos(\theta /2),{\vec {n}}\sin(\theta /2){\bigr )},} то угловая скорость находится из выражения (0,ω→)=2q˙q¯.{\displaystyle \left(0,{\vec {\omega }}\right)=2\,{\dot {q}}\,{\overline {q}}.}

В случае, когда поворот описывается с помощью вектора V→=n→tg⁡(θ/4),{\displaystyle {\vec {V}}={\vec {n}}\operatorname {tg} (\theta /4),} изменяющегося во времени, обозначим W→=dV→/dt (Wi=dVi/dt),{\displaystyle {\vec {W}}=d{\vec {V}}/dt\ {\bigl (}W_{i}=dV_{i}/dt{\bigr )},} а также Tij1/2=ninj+(δij−ninj)cos⁡(θ/2)−nkεijksin⁡(θ/2){\displaystyle T_{ij}^{1/2}=n_{i}n_{j}+(\delta _{ij}-n_{i}n_{j})\cos(\theta /2)-n_{k}\varepsilon _{ijk}\sin(\theta /2)} — матрица половинного поворота (Tij1/2Tjk1/2=Tik),{\displaystyle \;{\bigl (}T_{ij}^{1/2}T_{jk}^{1/2}=T_{ik}{\bigr )},} V2{\displaystyle \;V^{2}} — квадрат модуля вектора V→.{\displaystyle {\vec {V}}.} Тогда угловая скорость:

ωi=4Tij12Wj1+V2.{\displaystyle \omega _{i}={\frac {4T_{ij}^{1/2}W_{j}}{1+V^{2}}}.}

Примечания

Комментарии

  1. Плоский угол, определяемый как отношение длины дуги окружности, заключённой между двумя радиусами, к длине радиуса, безразмерен, поэтому единицей измерения плоских углов является число «один», а единицей измерения угловой скорости в системе СИ — с−1. Однако, в случае плоских углов единице «один» присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно физическая величина имеется в виду.

Источники

  1.  Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции / Отв. ред. Б. В. Раушенбах. — М.: «Наука», 1987. — С. 239.
  2. Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
  3.  (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006; обновлено в 2014). Дата обращения 29 января 2016.

Ускорение, момент и связь их с массой

Помимо приведённых выше величин, с вращением связано ещё несколько моментов. Учитывая же, сколько в автомобиле крутящихся деталей разного веса, их практическое значение нельзя не учесть.

Равномерное вращение – это важная вещь. Вот только нет ни одной детали, которая бы всё время крутилась равномерно. Число оборотов любого крутящегося узла, от коленвала до колеса, всегда в конечном итоге растёт, а затем падает. И та величина, которая показывает, насколько выросли обороты, называется угловым ускорением. Поскольку она производная от угловой скорости, измеряется она в радианах на секунду в квадрате (как линейное ускорение – в метрах на секунду в квадрате).

С движением и её изменением во времени связан и другой аспект – момент импульса. Если до этого момента мы могли рассматривать только чисто математические особенности движения, то здесь уже нужно учитывать то, что каждая деталь имеет массу, которая распределена вокруг оси. Он определяется соотношением начального положения точки с учётом направления движения – и импульса, то есть произведения массы на скорость. Зная момент импульса, возникающий при вращении, можно определить, какая нагрузка будет приходиться на каждую деталь при её взаимодействии с другой

Как определить угловую скорость: что это за величина?

С физико-математической точки зрения эту величину можно определить следующим образом: это данные, которые показывают, как быстро некая точка осуществляет оборот вокруг центра окружности, по которой она движется.

ПОСМОТРЕТЬ ВИДЕО

Эта, казалось бы, чисто теоретическая величина, имеет немалое практическое значение при эксплуатации автомобиля. Вот лишь несколько примеров:

  • Необходимо правильно соотносить движения, с которыми вращаются колёса при повороте. Угловая скорость колеса автомобиля, движущегося по внутренней части траектории, должна быть меньше, чем у внешнего.
  • Требуется рассчитывать, насколько быстро в автомобиле вращается коленвал.
  • Наконец, сама машина, проходя поворот, тоже имеет определённую величину параметров движения – и от них на практике зависит устойчивость автомобиля на трассе и вероятность опрокидывания.

Чему равна угловая скорость в конкретных случаях?

Приведём пример расчёта на основе приведённых выше формул. Допустим, имеется автомобиль. При движении на 100 км/ч его колесо, как показывает практика, делает в среднем 600 оборотов за минуту (f = 600 об/мин). Рассчитаем угловую скорость.

Для начала переведем об/мин в об/с. Для этого разделим 600 на 60 (число секунд в минуте) и получим 10 об/с . Попутно мы получили и период обращения: эта величина является обратной по отношению к частоте и при измерении в секундах 0,1 с.

Далее используем формулу:

ω = 2 π *f

Поскольку точно выразить π десятичными дробями невозможно, результат примерно равен будет 62,83 рад/с.

Момент сил

Если, рассматривая физическую проблему, мы имеем дело не с материальной точкой, а с твердым телом, то действие нескольких сил на него, приложенных к различным точкам этого тела, нельзя свести к действию одной силы. В этом случае рассматривают момент сил.

Моментом силы называют произведение силы на плечо. Это векторная величина, и ее находят по формуле: M = RFsinα, где α — угол между векторами R и F. Если на тело действует несколько моментов сил, то их действие можно заменить их равнодействующей, векторной суммой этих моментов: M = M1 + M2 + …+ Mn.

Эксперименты и опыт показывают, что под действием момента силы угловая скорость тела меняется, то есть тело имеет угловое ускорение. Выясним, как зависит угловое ускорение материальной точки (совокупности материальных точек) от приложенного момента сил: F = mɑ, RF = Rma = R2mβ, β= M/mR2 = M/I, где I = mR2 — момент инерции материальной точки. Заметим, что момент инерции тела имеет зависимость как от массы тела, так и от расположения этой массы относительно оси вращения.

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

\ = = \frac{Обороты}{Секунда} = \frac{(об)}{с} = \frac{1}{c} = Герц \]

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если n — число оборотов, f — частота, T — продолжительность одного оборота, период, φ — угловое перемещение, N — полное число оборотов, t — время, продолжительность вращения, ω — угловая частота,
то

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2π:

\

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

\

Обратите внимание:• формулы (1)—(6) справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.

Примеры решения задач

Задача 1. Ротор центрифуги делает 2•104 об/мин. После того как выключили двигатель, его вращение прекращается через 8 мин. Найдите угловое ускорение, а также число оборотов, которое совершает ротор с момента выключения двигателя до его полной остановки, считая, что движение ротора равноускоренное.

Решение

Найдем угловое ускорение, учитывая, что угловая скорость при равноускоренном движении описывается уравнением: ω(t) = ω- εt.

Отсюда, учитывая, что в конце движения скорость равна нулю, найдем: ε = ω/t = 2πn/t.

Переведя данные задачи в систему единиц СИ (n = 333 об/с; t = 480 с), получим: ε = 2π333/480 = 4,36(рад/с2).

Угол поворота ротора центрифуги за время t будет: φ(t)= φ + ωt + εt2/2. Учитывая выражение для углового ускорения и то, что φ= 0, находим: φ(t)= ωt/2 = πnt.

Количество оборотов ротора за это время будет: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8•104 (об.).

Ответ: угловое ускорение равно 4,36 рад/с2; количество оборотов, сделанное ротором с момента выключения двигателя до его полной остановки, равно 8•104 об.

Задача 2. Диск, имеющий массу 1 кг и радиус 20 см, вращается с частотой 120 об. в минуту. Под действием тормозного устройства на край диска начала действовать сила трения 10 Н. Найдите время остановки диска, после того как на него стала действовать сила трения.

Решение

Найдем тормозной момент сил, действующий на диск: M = RF.

Найдем угловое ускорение диска: ε = M/I = FR/mR2 = F/mR.

Найдем время, за которое диск остановится: t = ω/ε, где ω — начальная угловая скорость диска, которая равна 2πv.

Сделаем вычисления: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28•2•1•0,2/10 = 2,5 (с).

Ответ: время остановки равно 2,5 с.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. При равномерном движении тела по окружности

1) изменяется только модуль его скорости 2) изменяется только направление его скорости 3) изменяются и модуль, и направление его скорости 4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости

2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии ​\( R_1 \)​ от центра вращающегося колеса, равна ​\( v_1 \)​. Чему равна скорость ​\( v_2 \)​ точки 2, находящейся от центра на расстоянии ​\( R_2=4R_1 \)​?

1) ​\( v_2=v_1 \)​ 2) ​\( v_2=2v_1 \)​ 3) ​\( v_2=0,25v_1 \)​ 4) ​\( v_2=4v_1 \)​

3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:

1) ​\( T=2\pi\!Rv \)​ 2) \( T=2\pi\!R/v \)​ 3) \( T=2\pi v \)​ 4) \( T=2\pi/v \)​

4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:

1) ​\( \omega=a^2R \)​ 2) \( \omega=vR^2 \)​ 3) \( \omega=vR \) 4) \( \omega=v/R \)​

5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?

1) увеличилась в 2 раза 2) уменьшилась в 2 раза 3) увеличилась в 4 раза 4) не изменилась

6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?

1) не изменилось 2) уменьшилось в 16 раз 3) уменьшилось в 4 раза 4) уменьшилось в 2 раза

7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?

1) увеличилось в 9 раз 2) уменьшилось в 9 раз 3) уменьшилось в 3 раза 4) увеличилось в 3 раза

8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?

1) 200 000 с 2) 3300 с 3) 3·10-4 с 4) 5·10-6 с

9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?

1) 0,05 Гц 2) 2 Гц 3) 20 Гц 4) 200 Гц

10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?

1) 14 с 2) 7 с 3) 0,07 с 4) 0,44 с

11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА А) линейная скорость Б) угловая скорость В) частота обращения

ФОРМУЛА 1) ​\( 1/T \)​ 2) ​\( v^2/R \)​ 3) ​\( v/R \)​ 4) ​\( \omega R \)​ 5) ​\( 1/n \)​

12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце. В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА A) угловая скорость Б) линейная скорость B) центростремительное ускорение

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ 1) увеличилась 2) уменьшилась 3) не изменилась

Скорость вращения шпинделя

При рассмотрении формулы, которая применяется для расчетов частоты вращения шпинделя, уделяется внимание скорости. Она также должна выбираться в зависимости от определенных условий эксплуатации оборудования

Для расчета скорости вращения -шпинделя станка может применяться формула: v=пdn/1000.

Скорость вращения токарного станка по металлу используется в качестве показателя скорости резания. От него зависит следующее:

  1. Производительность труда. Стоимость изделия во многом зависит от того, сколько времени было потрачено на его получение. Для повышений производительности труда следует существенно повысить значение скорости резания. Однако это не всегда можно провести, так как слишком высокий показатель может привести к серьезным проблемам, к примеру, нагреву инструмента или износу основной части.
  2. Шероховатость получаемой поверхности также варьирует в большом диапазоне. С увеличением скорости резания можно существенно повысить качество готового изделия. Поэтому высокие значения применяются в большинстве случаев при чистовом точении.

Выбор определенного показателя скорости вращения шпинделя проводится в зависимости от возможностей применяемого оборудования. Слишком высокий показатель нельзя устанавливать по причине того, что подобная эксплуатация оборудования приводит к сильному износу.

В заключение отметим, что неправильный расчет частоты вращения может привести к весьма тяжелым последствиям. Это связано с возможностью износа привода, а также других элементов. Не рекомендуется выбирать максимальные показателе частоты вращения и скорости резания, так как это может привести к повышенному износу и возможности износа применяемого инструмента.

Свойства

Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу по часовой стрелке

Угловая скорость (синяя стрелка) в полторы единицы по часовой стрелке

Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу против часовой стрелки (вектор угловой скорости направлен навстречу направлению взгляда наблюдателя)

Вектор мгновенной скорости любой точки абсолютно твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}}, определяется формулой:

v→= ω→,r→ ,{\displaystyle {\vec {v}}=,}

где r→{\displaystyle {\vec {r}}} — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определённом расстоянии (радиусе) r{\displaystyle r} от оси вращения можно считать так: v=ωr.{\displaystyle v=\omega r.} Если вместо радианов применять другие единицы измерения углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

  • В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела всегда лежат в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось вращения, то есть на прямую, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трёхмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
  • Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю). Равномерное вращение является частным случаем плоского вращения.
  • Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
  • Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчёта, отличающихся положением начала отсчёта и скоростью его движения, но двигающихся равномерно прямолинейно и поступательно друг относительно друга. Однако в этих инерциальных системах отсчёта может различаться положение оси или центра вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
  • В случае движения точки в трёхмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:
ω→=r→×v→(r→,r→),{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{({\vec {r}},{\vec {r}})}},} где r→{\displaystyle {\vec {r}}} — радиус-вектор точки (из начала координат), v→{\displaystyle {\vec {v}}} — скорость этой точки, r→×v→{\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {v}}} — векторное произведение, (r→,r→){\displaystyle ({\vec {r}},{\vec {r}})} — скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы ω→,{\displaystyle {\vec {\omega }},} подходящие по определению, по-другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как даёт разные ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}} для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела вектора угловой скорости вращения всех его точек совпадают). Однако в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) абсолютно твёрдого тела декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.

При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с) модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких единицах ω=f.{\displaystyle \omega =f.} В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости численно связан с частотой вращения так: ω=2πf.{\displaystyle \omega ={2\pi f}.} Наконец, при использовании градусов в секунду численная связь с частотой вращения будет: ω=360∘f.{\displaystyle \omega ={360^{\circ }f}.}

Ссылка на основную публикацию