Уравнение движения тела имеет вид : x=-80+6t -определите координату x тела через 20 с. -определите в какой момент времени t координат x тела будет равна 100м

Уравнения движения в цилиндрических координатах

Если материальная точка P движется по кривой траектории, то положение точки может быть определено
тремя цилиндрическими координатами: r, θ, z. Тогда положение точки, её скорость и ускорение
могут быть записаны в единицах цилиндрических координат следующим образом:

Если разложить силу, действующую на материальную точку, вдоль единичных векторов цилиндрической системы координат,
то уравнение движения можно записать в виде:

Для выполнения равенства, соответствующие компоненты ur,uθ,uz
левой части уравнения должны быть равны соответствующим компонентам в правой части уравнения. Таким образом,
уравнение движения можно записать с помощью следующих скалярных компонентов:

Если движение происходит в двумерных координатах r-θ, то для описания движения необходимы только
два первых уравнения.

Центростремительное и нормальное ускорение

Обычно задача заключается в определении компонентов результирующей силы: Fθ,Fr, Fz , которые приводят частицу в движение и задают ей определённое ускорение.

Пример

Сила P создаёт движение по траектории r = f(θ). Нормальная сила N всегда
перпендикулярна касательной траектории в данной точке, в то время, как сила трения F всегда
направлена вдоль касательной и против направления движения. Направления сил N и F могут
быть определены относительно r-координаты используя угол θ, который определён между
прямой-направлением радиуса и касательной в заданной точке.

Угол θ определяется смещением
точки на расстояние ds вдоль траектории, радиальное перемещение составляет dr и перемещение
в направлении касательной r dθ. Так как эти две составляющиевзаимно перпендикулярны, угол θ
может быть определён из равенства:

или

Если угол θ положителен, то он измеряется от радиальной линии против направления хода часов или в
положительном направлении угла θ. Если угол отрицательный, то он измеряется в обратном направлении
(по часовой стрелке).

Например, кардиоида, описанная уравнением

когда θ=30°, tg = a(1+ cos 30°)/(-a sen 30°) = -3.732,
или θ = -75°, измеренный против направления хода часов, как представлено на изображении.

Алгоритм решения задач

Цилиндрические координаты удобно использовать для анализа систем, в которых траектории движения заданы
относительно радиальной линии, или могут быть удобным образом выражены в цилиндрических координатах.
Определив координаты точки, уравнения движения могут быть применены для выражения силы в виде компонентов
ускорения.

  1. Установить инерциальную систему координат r, θ, z и изобразить диаграмму свободного тела
  2. Положить ускорения ar, aθ, az направлены вдоль положительного направления
    осей r, θ, z, если направления неизвестны
  3. Определить все неизвестные величины в задачи
  4. Применить уравнения движения

  5. Определить r и производные по времени dr/dt, d2r/dt2, dθ/dt,
    d2θ/dt2, d2z/dz2, затем применить уравнения ускорения

    • ar= d2r/dt2— r dθ2/dt
    • aθ = r d2θ/dt2+ 2 dr/dt dθ/dt
    • az= d2z/dt2
  6. Если какой-либо из компонентов ускорения рассчитан со знаком минус,то этот компонент ускорения направлен вдоль отрицательного направления оси координат
Ссылка на основную публикацию