Волновое уравнение шредингера

Многомировая интерпретация Эверетта и совместные истории

В многомировой интерпретации квантовой механики, которая не считает процесс измерения чем-то особенным, оба состояния кота существуют, но декогерируют. Когда наблюдатель открывает ящик, он запутывается с котом и от этого образуются два соответствующие живому и мёртвому коту состояния наблюдателя, которые не взаимодействуют друг с другом. Тот же механизм квантовой декогеренции важен и для совместных историй. В этой интерпретации только «мёртвый кот» или «живой кот» могут быть в совместной истории.

Другими словами, когда ящик открывается, Вселенная расщепляется на две разные вселенные, в одной из которых наблюдатель смотрит на ящик с мёртвым котом, а в другой — наблюдатель смотрит на живого кота.

Космолог Макс Тегмарк предложил вариацию опыта с котом Шрёдингера под названием «машина для квантового самоубийства». Он рассматривает эксперимент с котом с точки зрения самого кота и утверждает, что таким образом можно экспериментально различить копенгагенскую и многомировую интерпретации. Другая вариация эксперимента — это опыт с другом Вигнера.

Физик Стивен Хокинг однажды воскликнул: «Когда я слышу про кота Шрёдингера, моя рука тянется за ружьём!». Он перефразировал известное высказывание, принадлежащее одному из героев пьесы «Шлагетер» Ганса Йоста: «Wenn ich ‘Kultur’ höre, entsichere ich meinen Browning!» («Когда я слышу слово „культура“, то снимаю с предохранителя свой браунинг!»).

Фактически Хокинг, как и многие другие физики, придерживался мнения, что «Копенгагенская школа» интерпретации квантовой механики подчёркивает роль наблюдателя безосновательно. Окончательного единства среди физиков по этому вопросу всё ещё не достигнуто.

Распараллеливание миров в каждый момент времени соответствует подлинному недетерминированному автомату в отличие от вероятностного, когда на каждом шаге выбирается один из возможных путей в зависимости от их вероятности.

Литература

  • [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Shredinger1976ru.djvu Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.]
  • Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392с.
  • Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики. — М.: Мир, 1967. — 391 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
  • В. А. Фок. [http://books.e-heritage.ru/book/10070984 Начала квантовой механики]. — Л.: Кубуч, 1932; 2-е изд. — М.: Наука, 1976.
  • В. Паули. Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947. — 330 с.
  • Пригожин Илья. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках. — М.: КомКнига, 2006. — 296 с. — ISBN 5-484-00313-X.
  • Пенроуз Роджер. «Новый ум короля»: о компьютерах, мышлении и законах физики. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 384 с. — ISBN 5-354-00005-X.
  • Кушниренко А. Н. Введение в квантовую теорию поля. — М.: Высшая школа, 1971. — 304 с.
  • Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.
  • Мотт Н., Снеддон И. Волновая механика и её применения. — М.: Наука, 1966. — 428 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1963. — 619 с.
  • ред. Ширков Д. И. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 528 с.
  • Вигнер Е. Теория групп. — М.: ИЛ, 1961. — 444 с.
  • Мигдал А. Б., Крайнов, В. П. Приближенные методы квантовой механики. — М.: Наука, 1966. — 152 с.
  • Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
  • Вигнер Эуген Пол. Инвариантность и законы сохранения. Этюды о симметрии. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 320 с. — ISBN 5-354-00191-9.
  • Грибов Л.А., Муштакова С.П. Квантовая химия. — М.: Гардарики, 1999. — 390 с. — ISBN 5-8297-0017-4.

История

В начале XX века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым телам (в том числе и любым микрочастицам) присущи волновые свойства.

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Само уравнение было сформулировано Эрвином Шрёдингером в 1925 году, опубликовано в 1926 году.

За открытие этого уравнения Э. Шрёдингер получил Нобелевскую премию по физике 1933 года.

Аналогии и связи с другими уравнениями

Квантовая теория, однако, не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь определяет границы применимости классической физики. Следовательно, уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в предельном случае.

Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в пустом пространстве

{−c⋅rot⁡E=∂H∂t,c⋅rot⁡H=∂E∂t{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}-c\cdot \operatorname {rot} E&={\frac {\partial H}{\partial t}},\\c\cdot \operatorname {rot} H&={\frac {\partial E}{\partial t}}\end{aligned}}\right.}

можно путём введения новой комплексной величины Ψ=E+iH{\displaystyle \Psi =E+iH}, аналогичной волновой функции в уравнении Шрёдингера, преобразовать в одно уравнение

i∂Ψ∂t=c⋅rot⁡Ψ,{\displaystyle i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=c\cdot \operatorname {rot} \Psi ,}

похожее на уравнение Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера сходно с уравнениями теплопроводности и диффузии классической физики тем, что оно является уравнением первого порядка по времени и отличается от них наличием мнимого коэффициента перед ∂Ψ∂t{\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}. Благодаря ему оно может иметь и периодические решения.

Уравнение Шрёдингера можно получить из принципа наименьшего действия, рассматривая как уравнение Эйлера

∂L∂ψ−∑k=3∂∂xk∂L∂(∂ψ∂xk)={\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \psi }}-\sum _{k=0}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\frac {\partial L}{\partial \left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\right)}}=0}

некоторой вариационной задачи, в которой плотность лагранжиана имеет вид:

L=iℏψ∗∂ψ∂t−ℏ22m∇ψ∗∇ψ−U(r,t)ψ∗ψ−iℏ∂ψ∗∂tψ.{\displaystyle L=i\hbar \psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \psi ^{*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{*}\psi -i\hbar {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi .}

Практическое применение

Вышеописанное применяется на практике: в квантовых вычислениях и в квантовой криптографии. По волоконно-оптическому кабелю пересылается световой сигнал, находящийся в суперпозиции двух состояний. Если злоумышленники подключатся к кабелю где-то посередине и сделают там отвод сигнала, чтобы подслушивать передаваемую информацию, то это схлопнет волновую функцию (с точки зрения копенгагенской интерпретации будет произведено наблюдение) и свет перейдёт в одно из состояний. Проведя статистические пробы света на приёмном конце кабеля, можно будет обнаружить, находится ли свет в суперпозиции состояний или над ним уже произведено наблюдение и передача в другой пункт. Это делает возможным создание средств связи, которые исключают незаметный перехват сигнала и подслушивание.

Эксперимент (который в принципе может быть выполнен, хотя работающие системы квантовой криптографии, способные передавать большие объёмы информации, ещё не созданы) также показывает, что «наблюдение» в копенгагенской интерпретации не имеет отношения к сознанию наблюдателя, поскольку в данном случае к изменению статистики на конце кабеля приводит совершенно неодушевлённое ответвление провода.

В квантовых вычислениях состоянием Шрёдингеровского кота называется особое запутанное состояние кубитов, при котором они все находятся в одинаковой суперпозиции всех нулей или единиц, то есть 12(|00…⟩+|11…1⟩){\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\dots 0\rangle +|11\dots 1\rangle )}.

Видео из «Теории большого взрыва»

Еще одной наиболее свежей интерпретацией мысленного эксперимента Шредингера является рассказ Шелдона Купера, героя сериала «Теория большого взрыва» («Big Bang Theory»), который он произнес для менее образованной соседки Пенни. Суть рассказа Шелдона заключается в том, что концепция кота Шредингера может быть применена в отношениях между людьми. Для того чтобы понять, что происходит между мужчиной и женщиной, какие отношения между ними: хорошие или плохие, – нужно просто открыть ящик. А до этого отношения являются одновременно и хорошими, и плохими.

Ниже приведен видеофрагмент этого диалога «Теории большого взрыва» между Шелдоном и Пении.

Копенгагенская интерпретация

В копенгагенской интерпретации система перестаёт быть смешением состояний и выбирает одно из них в тот момент, когда происходит наблюдение. Эксперимент с котом показывает, что в этой интерпретации природа этого самого наблюдения — измерения — определена недостаточно. Некоторые полагают, что опыт говорит о том, что до тех пор, пока ящик закрыт, система находится в обоих состояниях одновременно, в суперпозиции состояний «распавшееся ядро, мёртвый кот» и «нераспавшееся ядро, живой кот», а когда ящик открывают, то только тогда происходит коллапс волновой функции до одного из вариантов. Другие догадываются, что «наблюдение» происходит, когда частица из ядра попадает в детектор; однако (и это ключевой момент мысленного эксперимента) в копенгагенской интерпретации нет чёткого правила, которое говорит, когда это происходит, и потому эта интерпретация неполна до тех пор, пока такое правило в неё не введено, или не сказано, как его можно ввести. Точное правило таково: случайность появляется в том месте, где в первый раз используется классическое приближение.

Таким образом, мы можем опираться на следующий подход: в макроскопических системах мы не наблюдаем квантовых явлений (кроме явления сверхтекучести и сверхпроводимости); поэтому, если мы накладываем макроскопическую волновую функцию на квантовое состояние, мы из опыта должны заключить, что суперпозиция разрушается. И хотя не совсем ясно, что́ значит, что нечто является «макроскопическим» вообще, про кота точно известно, что он является макроскопическим объектом. Таким образом, копенгагенская интерпретация не считает, что до открытия ящика кот находится в состоянии смешения живого и мёртвого.

§ 1. Уравнение Шредингера для атома водорода

В лекции N 7 мы разобрали боровскую теорию атома
водорода, основанную на постулатах Бора и условии стационарности
состояний атома (4.3).

Уравнение Шредингера, примененное к атому водорода,
позволяет получить результаты боровской теории атома водорода
без привлечения постулатов Бора и условия квантования. Квантование
энергии возникает как естественное условие, появляющееся при решении
уравнения Шредингера, в некотором смысле аналогичное причине квантования
энергии для частицы в потенциальной яме. Применить стационарное
уравнение Шредингера (7.3) к атому водорода это значит:

После этого получим уравнение
Шредингера для атома водорода

Так как потенциальная энергия зависит только
от r, решение уравнения удобно искать в сферической системе координат:
r, θ, φ
.(рис. 8.1)

Рис. 8.1

Волновая функция в этом случае будет функцией
от r, θ и φ,
т.е.

Оператор Лапласа
необходимо записать в сферических координатах, т.е. выразить через
производные по r, θ и φ.
Мы не будем этого делать, поскольку получение решения уравнения
Шредингера для атома водорода не входит в программу курса общей
физики. Приведем лишь результаты.

Оказывается, что решение уравнения Шредингера
для атома водорода существует при следующих условиях:

Эта формула совпадает с полученной Бором формулой
для энергии стационарных состояний атома водорода. Целое число
n называют главным
квантовым числом
.

Зависимое от времени уравнение

Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени :

Зависящее от времени уравнение (общий случай)

iℏ∂∂tΨ=H^Ψ,{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi ,}

где H^{\displaystyle {\hat {H}}} — гамильтониан.

Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера в координатном представлении для точечной частицы массы m{\displaystyle m}, движущейся в потенциальном поле c потенциалом V(r→,t){\displaystyle V({\vec {r}},t)} :

Пример зависящего от времени уравнения Шрёдингера

iℏ∂∂tΨ(r→,t)=−ℏ22m∇2+V(r→,t)Ψ(r→,t).{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {r}},t)=\left\Psi ({\vec {r}},t).}

В данном примере гамильтониан H^=−ℏ22m∇2+V(r→,t){\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)}.

Некоторые свойства

Средние значения механических величин для волнового пакета, который можно описать уравнением Шрёдингера, удовлетворяют классическим уравнениям Гамильтона (теорема Эренфеста).

Уравнение Шрёдингера инвариантно относительно преобразований Галилея. Из этого факта вытекает ряд важных следствий: существование ряда операторов квантовой механики, связанных с преобразованиями Галилея, невозможность описания состояний со спектром масс или нестабильные элементарные частицы в нерелятивистской квантовой механике (теорема Баргмана), существование квантовомеханических инвариантов, порождаемых преобразованием Галилея.

Уравнение Шрёдингера является более сложным по сравнению с уравнениями Гамильтона классической механики. Уравнения Гамильтона являются системой обыкновенных , а уравнение Шрёдингера является дифференциальным уравнением в частных производных.

Уравнение Шрёдингера линейно, то есть если волновые функции Ψ{\displaystyle \Psi } и Φ{\displaystyle \Phi } удовлетворяют уравнению Шрёдингера, то ему удовлетворяет любая их линейная комбинация αΨ+βΦ{\displaystyle \alpha \Psi +\beta \Phi }, где α{\displaystyle \alpha } и β{\displaystyle \beta } — комплексные числа. Вследствие этого линейная суперпозиция волновых функций не нарушается уравнением Шрёдингера и необходима операция измерения для редукции волновой функции. Линейность оператора Шрёдингера является следствием и обобщением принципа суперпозиции, который важен для корректной формулировки понятия операции измерения.

Для всех квантовых систем, занимающих ограниченные области пространства, решения уравнения Шрёдингера существуют только для счётного множества значений энергии En{\displaystyle E_{n}} и представляют собой счётное множество волновых функций Ψn{\displaystyle \Psi _{n}}, члены которого нумеруются набором квантовых чисел n{\displaystyle n}.

Уравнение Шрёдингера, как и уравнения Гамильтона, является уравнением первого порядка по времени. Оно является математическим выражением принципа статистического детерминизма в квантовой механике — данное состояние системы определяет её последующее состояние не однозначно, а лишь с определённой вероятностью, задаваемой при помощи волновой функции Ψ{\displaystyle \Psi }.

Ограничения применимости

Уравнение Шрёдингера не может объяснить спонтанного излучения, так как волновая функция возбуждённого состояния является точным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера не может описывать процесс измерения в квантовой механике, поскольку оно линейно, детерминистично и обратимо во времени, а процесс измерения нелинеен, стохастичен и необратим во времени.

§ 2. Квантовые числа

Волновые функции электрона ψnlm(r,
θ, φ)
определяются тремя целочисленными параметрами:
n, l, me.
Эти целые числа называются квантовыми
числами
:

n — главное квантовое число,
оно, как мы знаем (см. (8.3)), определяет значение энергии En,
n=1,2,3┘;

l— азимутальное (орбитальное) квантовое число, оно определяет
L — модуль момента импульса электрона.

При заданном n азимутальное
квантовое число l может принимать
следующие значения:

всего n значений.

Следовательно, из уравнения Шредингера вытекает,
что момент импульса электрона в атоме
водорода квантуется
и может принимать n значений.
Так при n = 1 азимутальное квантовое число
может принимать единственное значение l = 0.
При n = 2 возможны значения l
= 0,1
.

ml
это магнитное квантовое число.

Из уравнения Шредингера также следует, что проекция
момента импульса L на выбранное направление
в пространстве, скажем, ось z, также квантуется.
Величина этой проекции, Lz, связана
с квантовым числом ml.

При заданном lмагнитное квантовое число ml
может принимать следующие значения:

всего 2l + 1 значений.

Значит, при заданной главным квантовым числом
n энергии En
возможны n значений азимутального квантового
числа (от l = 0
до n — 1) и 2l + 1
значений магнитного квантового числа ml..
Таким образом, при заданном n число различных волновых функций
ψnlm, отвечающих заданной
энергии En, будет равно

Говорят, что  уровень энергии En
будет вырожден  с
кратностью n2.

В атомной физике применяют заимствованные из
спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными
значениями момента импульса:

l
= 0
—      s-состояние;

l
= 1
—      p-состояние;

l
= 2
—      d-состояние;

l
= 3
—      f-состояние;

затем идут g, h и дальше
в алфавитном порядке.

Значение главного квантового числа n
указывают перед буквой, являющейся условным обозначением азимутального
квантового числа l.

Например, 1s-состояние
— это состояние с главным квантовым числом n =
1
и азимутальным квантовым числом l =
0
(на это указывает буква s).

Описание эксперимента

Оригинальная статья Эрвина Шредингера вышла в свет в 1935 году. В ней эксперимент был описан с использованием приема сравнение или даже олицетворение:

Можно построить и случаи, в которых довольно бурлеска. Пусть какой-нибудь кот заперт в стальной камере вместе со следующей дьявольской машиной (которая должна быть независимо от  вмешательства кота): внутри счётчика Гейгера находится крохотное количество радиоактивного вещества, столь небольшое , что в течение часа может распасться только один атом, но с такой же вероятностью может и не распасться; если же это случится, считывающая трубка разряжается и срабатывает реле, спускающее молот, который разбивает колбочку с синильной кислотой.

Если на час предоставить всю эту систему самой себе, то можно сказать, что кот будет жив по истечении этого времени, коль скоро распада атома не произойдёт. Первый же распад атома отравил бы кота. Пси-функция системы в целом будет выражать это, смешивая в себе или размазывая живого и мёртвого кота (простите за выражение) в равных долях. Типичным в подобных случаях является то, что неопределённость, первоначально ограниченная атомным миром, преобразуется в макроскопическую неопределённость, которая может быть устранена путём прямого наблюдения. Это мешает нам наивно принять «модель размытия» как отражающую действительность. Само по себе это не означает ничего неясного или противоречивого. Есть разница между нечётким или расфокусированным фото и снимком облаков или тумана.

Другими словами:

  1. Есть ящик и кот. В ящике имеется механизм, содержащий радиоактивное атомное ядро и ёмкость с ядовитым газом. Параметры эксперимента подобраны так, что вероятность распада ядра за 1 час составляет 50%. Если ядро распадается, открывается ёмкость с газом и кот погибает. Если распада ядра не происходит — кот остается жив-здоров.
  2. Закрываем кота в ящик, ждём час и задаёмся вопросом: жив ли кот или мертв?
  3. Квантовая же механика как бы говорит нам, что атомное ядро (а следовательно и кот) находится во всех возможных состояниях одновременно (см. квантовая суперпозиция). До того как мы открыли ящик, система «кот—ядро» находится в состоянии «ядро распалось, кот мёртв» с вероятностью 50% и в состоянии «ядро не распалось, кот жив» с вероятностью 50%. Получается, что кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно.
  4. Согласно современной копенгагенской интерпретации, кот-таки жив/мёртв без всяких промежуточных состояний. А выбор состояния распада ядра происходит не в момент открытия ящика, а ещё когда ядро попадает в детектор. Потому что редукция волновой функции системы «кот—детектор-ядро» не связана с человеком-наблюдателем ящика, а связана с детектором-наблюдателем ядра.

Наводящие соображения[ | код]

Оператор сдвига во времени | код

В квантовой механике производную по времени от волновой функции можно рассматривать как оператор смещения по времени, по аналогии с классической механикой и соотношению между энергией и временем, можно предположить, что его роль всегда играет гамильтониан. Отсюда немедленно следует уравнение Шрёдингера.

Cоответствие между классической механикой и геометрической оптикой | код

К уравнению Шрёдингера можно прийти, опираясь на соответствие между классической механикой и геометрической оптикой. Понятиям материальной точки, траектории, скорости, потенциальной энергии, энергии, вариационному принципу Мопертюи в классической
механике соответствуют понятия волнового пакета, луча, групповой скорости, фазовой скорости (показателя преломления), частоты,
вариационного принципа Ферма в геометрической оптике.

Вариационному принципу Мопертюи в классической механике

∫E−Vds=min{\displaystyle \int {\sqrt {E-V}}ds=\min \qquad } (1)

соответствует вариационный принцип Ферма в оптике

∫dsv=min.{\displaystyle \int {\frac {ds}{v}}=\min .\qquad } (2)

Здесь E{\displaystyle E} — полная энергия, V{\displaystyle V} — потенциальная энергия, v{\displaystyle v} — фазовая скорость. Траектория в классической механике соответствует лучу света в оптике, если

1v(ω,x)=f(ω)E(ω)−V(x).{\displaystyle {\frac {1}{v(\omega ,x)}}=f(\omega ){\sqrt {E(\omega )-V(x)}}.\qquad } (3)

Волновой пакет можно представить в виде

∑ωaωcos⁡2πω(t−xv(ω)).{\displaystyle \sum _{\omega }a_{\omega }\cos {2\pi \omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )}}\right)}.}

Для максимума пакета справедливо равенство:

ddω{ω(t−xv(ω))}.{\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )}}\right)\right\}.}

Из этого равенства следует, что t=xddω(ωv){\displaystyle t=x{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)}. В классической механике этому соответствует равенство t=xVg{\displaystyle t={\frac {x}{V_{g}}}}. Из этих двух выражений получается формула для групповой скорости:

Vg=ddω(ωv)−1.{\displaystyle V_{g}=\left^{-1}.\qquad } (4)

Тогда условие равенства скорости материальной точки и групповой скорости волнового пакета можно записать в виде:

ddω(ωv)=m21E(ω)−V(x).{\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {E(\omega )-V(x)}}}.\qquad } (5)

Отсюда, используя (3), получаем:

m21E−V=ddω{ωf(ω)E−V}=d(ωf(ω))dωE−V+ωf(ω)2E−VdEdω.{\displaystyle {\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {E-V}}}={\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega f(\omega ){\sqrt {E-V}}\right\}={\frac {d(\omega f(\omega ))}{d\omega }}{\sqrt {E-V}}+{\frac {\omega f(\omega )}{2{\sqrt {E-V}}}}{\frac {dE}{d\omega }}.}

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях E−V{\displaystyle {\sqrt {E-V}}}, находим

ddω(ωf(ω))=,m2=ωf(ω)2dEdω.{\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}(\omega f(\omega ))=0,\qquad {\sqrt {\frac {m}{2}}}={\frac {\omega f(\omega )}{2}}{\frac {dE}{d\omega }}.}

Первое из них дает ωf(ω)=const{\displaystyle \omega f(\omega )=\mathrm {const} }, тогда из второго следует dEdω=const{\displaystyle {\frac {dE}{d\omega }}=const}, E=ℏω{\displaystyle E=\hbar \omega }, f(ω)=2mℏω{\displaystyle f(\omega )={\frac {\sqrt {2m}}{\hbar \omega }}}. Фазовая скорость волны v{\displaystyle v} зависит от частоты ω{\displaystyle \omega }:

v=ℏω2m1ℏω−V.{\displaystyle v={\frac {\hbar \omega }{\sqrt {2m}}}{\frac {1}{\sqrt {\hbar \omega -V}}}.\qquad } (6)

Монохроматическая волна с фазовой скоростью v{\displaystyle v} удовлетворяет уравнению

∇2Ψ−1v2∂2Ψ∂t2={\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0.\qquad } (7)

Частное решение этого уравнения имеет вид:

Ψ=ue−iωt=ue−iℏEt,{\displaystyle \Psi =ue^{-i\omega t}=ue^{-{\frac {i}{\hbar }}Et},\qquad } (8)

где ω{\displaystyle \omega } — частота волны. Подставив решение (8) в уравнение (7) получаем:

∇2u+ω2v2u={\displaystyle \nabla ^{2}u+{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}u=0.\qquad } (9)

Подставляя (6) в (9), получаем:

∇2u+2mℏ2(ℏω−V)u={\displaystyle \nabla ^{2}u+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(\hbar \omega -V)u=0.\qquad } (10)

Из уравнения (8) получаем:

ωu=−1i∂Ψ∂t.{\displaystyle \omega u=-{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}.\qquad } (11)

Подставляя (11) в (10) получаем зависящее от времени уравнение Шрёдингера (12):

iℏ∂∂tΨ=−ℏ22m∇2+VΨ.{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\left\Psi .\qquad } (12)
Ссылка на основную публикацию