Урок по теме: «тепловое излучение. законы стефана-больцмана и вина. люминесценция»

Фиксация значения

XXIV Генеральная конференция по мерам и весам, состоявшаяся 17—21 октября 2011 года, приняла резолюцию, в которой, в частности, было предложено будущую ревизию Международной системы единиц произвести так, чтобы зафиксировать значение постоянной Больцмана, после чего она будет считаться определённой точно. В результате должно было выполняться точное равенство k = 1,380 6X⋅10−23 Дж/К, где Х заменяет одну или более значащих цифр, которые должны были быть определены в дальнейшем на основании наиболее точных рекомендаций CODATA.
Такая фиксация была связана со стремлением переопределить единицу термодинамической температуры кельвин, связав его величину со значением постоянной Больцмана.

§ 2. Закон Больцмана

Отметим
здесь тот факт, что числитель показателя экспоненты в равенстве (40.1) — это
потенциальная энергия атома. Поэтому можно в нашем случае сформулировать закон
следующим образом: плотность в каждой точке пропорциональна

,

где
п.э. — потенциальная энергия отдельного атома.

Возможно,
что эта случайность и этот закон справедлив только в частном случае однородного
гравитационного поля. Однако можно показать, что это весьма общее утверждение.
Предположим, что на молекулы газа действуют какие-то иные, не гравитационные,
силы. Например, молекулы обладают электрическим зарядом, а тогда они реагируют
на электрическое поле или на другой заряд, притягивающий их. А может быть, в
результате взаимного притяжения атомов друг к другу или к стенкам, или к
какому-нибудь твердому телу, или еще к чему-то существуют какие-то силы
притяжения, которые зависят от взаимного расположения молекул и действуют на
все молекулы. Предположим теперь для простоты, что все молекулы одинаковы и что
сила действует на каждую отдельную молекулу, так что полная сила, действующая
на произвольно выделяемую часть газа, равна просто произведению числа молекул
на силу, действующую на одну молекулу. Дело совсем упростится, если выбрать
систему координат так, что сила  будет действовать вдоль оси .

Так
же, как и раньше, рассечем газ двумя параллельными плоскостями, промежуток
между которыми равен . Тогда сила, действующая на каждый
атом, умноженная на число атомов в (обобщение прежнего ) и умноженная на , должна
сбалансировать изменение давления: . Или, придав этому закону другую
форму, которая пригодится позднее, запишем:

.                   (40.2)

Теперь
заметим, что  —
это работа, которую надо совершить для переноса молекулы из  в , и если сила  произошла из
потенциала, т. е. работу можно описывать с помощью потенциальной энергии, то
нужную нам величину можно считать изменением потенциальной энергии (п. э.).
Отрицательное изменение потенциальной энергии — это произведенная работа , так что , или после
интегрирования

.                (40.3)

Таким
образом, то, что нам удалось заметить в частном случае, справедливо вообще. (А
что если  не
происходит из потенциала? Тогда (40.2) просто-напросто не имеет решения. В этом
случае, после того как какой-нибудь атом опишет замкнутый путь, вдоль которого
полная работа не равна нулю, энергия либо прибавится, либо убавится и
равновесие никогда не установится. Температурное равновесие невозможно, если
внешние силы, действующие на газ, не консервативны.) Уравнение (40.3) известно
под названием закона Больцмана. Это еще один из принципов статистической
механики: вероятность найти молекулу в заданной точке заданной пространственной
конфигурации изменяется экспоненциально, причем показатель экспоненты состоит
из потенциальной энергии в заданной пространственной конфигурации, взятой с
обратным знаком и деленной на .

Таким
образом, мы знаем кое-что о распределении молекул. Предположим, что в нашем
распоряжении имеется плавающий в жидкости положительный ион; он притягивает
окружающие его отрицательные ионы. Много ли их окажется на разных расстояниях
от положительного иона? Если нам известно, как зависит от расстояния
потенциальная энергия, то отношение чисел ионов на разных расстояниях
определяется полученным нами законом. Этому закону можно найти еще много других
применений.

Текст 2 страницы из документа «Глава 03. Закон Стефана-Больцмана»

Сопоставляя определения (2.2) и (2.6), приходим к выражению потока через интенсивность:

У точечных источников измеряется именно поток излучения. В случае цилиндрической симметрии, когда справедлива формула

Обычно мы будем пользоваться последней формулой.

Суммирование по угловым переменным в (2.6), на первый взгляд, должно означать, что поток не зависит от направления. Это действительно так, если иметь в виду характеристику поля излучения. Но величина потока зависит от направления площадки. Здесь проявляется различие между интенсивностью и потоком. Если мы изменим направление контрольной площадки, не меняя поля излучения, то интенсивность в любом направлении останется прежней, но поток через площадку станет другим

Поэтому при вычислении потока важно указывать, о какой площадке идёт речь. Далее мы будем иметь в виду обычно принимаемое предположение, что площадка расположена перпендикулярно лучу зрения

Средняя интенсивность

Средняя интенсивность Jω определяется как делённый на 4π интеграл от интенсивности по всем направлениям:

В случае изотропной ( не зависящей от направления ) интенсивности, когда

Iω = I0,

постоянный множитель I можно вынести за знак интеграла. Учитывая, что телесный угол полной сферы равен 4π, получим

Jω = I.

В (2.9) мы суммируем именно интенсивность, а не прошедшую через площадку энергию с учётом знака. Это свойство отличает среднюю интенсивность от потока. Особенно сильно различие проявляется в только что рассмотренном случае изотропного излучения. Здесь количество «втекающей» и «вытекающей» энергии одинаково в каждом направлении, откуда следует, что полный поток через любую площадку равен нулю.

Интенсивность и плотность энергии

Средняя интенсивность связана с плотностью энергии излучения. Обозначим посредством dUω() плотность энергии квантов, летящих в определённом направлении d. За время t в телесном угле  через площадку S, расположенную перпендикулярно рассматриваемому направлению, проходит количество энергии, равное произведению dUω() на объём параллелепипеда площадью S и высотой c·t, (c — скорость света). Воспользовавшись определением интенсивности (2.2), напишем

откуда получим выражение для полной плотности энергии:

или, согласно (2.9)

Итак, плотность энергии излучения однозначно связана со средней интенсивностью.

Поток от границы изотропного источника

Сформулируем модель границы изотропного источника. Графически она изображена на рис.(3.2.3).

Аналитически модель определяется следующей зависимостью интенсивности от полярного угла :

Смысл этого выражения в том, что исходящее от границы излучение изотропно, но отсутствует излучение, входящее в неё извне. Такое поле излучения уже не является изотропным, и поэтому его поток может быть отличен от нуля. С помощью (2.8) получим

(2.13) F = π I.

Подчеркнём, что, строго говоря, (2.13) не есть связь между потоком и интенсивностью, так как поток — это число, а интенсивность — функция угла. Равенство числа и функции возможно только в том случае, если функция принимает постоянное значение во всей области определения. Но изотропной интенсивности отвечает поток, равный нулю. Формула (2.13) справедлива только для функции Iω() из (2.12).

Формула Стефана–Больцмана

Формула Стефана-Больцмана для интегрального по всему спектру потока излучения F справедлива в рамках сформулированной выше модели границы изотропного источника. Внутри чёрного тела интенсивность I равна своему среднему по углам значению J, которое, в свою очередь, с помощью формулы (2.11) выражается через плотность энергии. Воспользовавшись (1.1) и (1.2) окончательно приходим к

(2.14) F =  T4,

где

есть постоянная Стефана–Больцмана для потока излучения, или просто постоянная Стефана–Больцмана.

Реальные объекты, близкие по своим характеристикам к черному телу

Излучательная и поглощательная способности черного тела являются идеализированным случаем, однако в природе существуют объекты, которые по этим характеристикам в первом приближении можно считать черным телом.

Самым простым объектом, который по своей способности поглощать видимый свет близок к черному телу, является изолированная емкость, имеющая небольшое отверстие в своем корпусе. Через это отверстие луч света попадает в полость объекта и испытывает многократное отражение от внутренних стенок емкости. При каждом отражении часть энергии луча поглощается, и этот процесс продолжается до тех пор, пока вся энергия не будет поглощена.

Еще одним объектом, который практически полностью поглощает падающий на него свет, является сплав никеля и фосфора. Получен этот сплав был в 1980 году индусами и американцами, а в 1990 году он был усовершенствован японскими учеными. Этот сплав отражает всего 0,16 % падающей на него световой энергии, что в 25 раз меньше, чем аналогичная величина для самой черной краски.

Реальным примером излучателя в космосе, который по своим свойствам близок к излучающей способности черного тела, являются звезды галактик.

Определение энтропии

Энтропия термодинамической системы определяется как величина, пропорциональная натуральному логарифму от числа различных микросостояний Z{\displaystyle Z}, соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией).

S=kln⁡Z.{\displaystyle S=k\ln Z.}

Коэффициент пропорциональности k{\displaystyle k} и есть постоянная Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими (Z{\displaystyle Z}) и макроскопическими состояниями (S{\displaystyle S}), выражает центральную идею статистической механики.

Литература

  • Алмалиев А. Н., Копытин И. В., Корнев А. С., Чуракова Т. А. Термодинамика и статистическая физика: Статистика идеального газа. — Воронеж: Ворон. гос. ун-т, 2004. — 79 с.
  • Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб. — М. — Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
  • Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л. — М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
  • Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
  • Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.

Связь между температурой и энергией

В однородном идеальном газе, находящемся при абсолютной температуре T{\displaystyle T}, энергия, приходящаяся на каждую поступательную степень свободы, равна, как следует из распределения Максвелла, kT2{\displaystyle kT/2}. При комнатной температуре (300 К) эта энергия составляет 2,07×10−21{\displaystyle 2{,}07\times 10^{-21}} Дж, или 0,025851 эВ. В одноатомном идеальном газе каждый атом обладает тремя степенями свободы, соответствующими трём пространственным осям, что означает, что на каждый атом приходится энергия в 32kT{\displaystyle {\frac {3}{2}}kT}.

Зная тепловую энергию, можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая обратно пропорциональна квадратному корню атомной массы. Среднеквадратичная скорость при комнатной температуре изменяется от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона. В случае молекулярного газа ситуация усложняется, например, двухатомный газ имеет 5 степеней свободы — 3 поступательных и 2 вращательных (при низких температурах, когда не возбуждены колебания атомов в молекуле и не добавляются дополнительные степени свободы).

5.4. Определение термодинамической вероятности по методам Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака

Обратимся к обзору способов вычисления термодинамической вероятности, т. е. способов подсчета микросостояний, посредством которых данное макросостояние может быть реализовано. Здесь нет единства в трудах различных авторов. В зависимости от принятой методики подсчета микросостояний, охватываемых данным макросостоянием, статистика разветвляется на статистику классическую и на статистику квантовую. Другое деление статистики, также по методам подсчета термодинамической вероятности, заключается в следующем: мы имеем, с одной стороны, комбинаторную статистику — метод Больцмана, с другой стороны, — метод ансамблей, предложенный и развитый Гиббсом.

В комбинаторной статистике для подсчета микросостояний пользуются непосредственно законами теории вероятности. Здесь существует разный подход к пониманию возможных и различимых микросостояний и в связи с этим имеются три выражения для термодинамической вероятности: 1) Больцмана, 2) Бозе — Эйнштейна и 3) Ферми — Дирака. Для пояснения различия в подсчете микросостояний, посредством которых реализуется данное макросостояние, прибегнем к наглядной аналогии.

Удобнее всего, как обычно и делают в комбинаторной статистике, представлять состояние отдельной молекулы положением ее в той или иной ячейке в шестимерном пространстве координат и импульсов. Представим, что аналогом такого фазового пространства является аудитория, аналогом ячеек — отдельные ряды этой аудитории, аналогом частиц — слушатели. По Больцману, макросостояние задается указанием числа частиц находящихся в первой, во второй, в третьей и т. д

фазовых ячейках, при этом, что важно, перестановки молекул из одной ячейки в другую ячейку отвечают одному и тому же макросостоянию, но представляют собой различные микросостояиия. Стало быть, если ячейками являются ряды, а слушатели символизируют частицы, то какое-либо макросостояние будет задано указанием, что, например, в первом ряду слушателей имеется 10, во втором ряду 15, в третьем 20 и т

д. Очевидно, что 10 человек в первом ряду могут рассесться по-разному, но такие перемены мест не учитываются как новое микросостояние, потому что это — аналог перемещения частиц внутри одной фазовой ячейки. Но если какой-либо слушатель из первого ряда пересядет в другой ряд, с тем чтобы один из слушателей этого ряда занял его место, то такое перемещение, не нарушая заданного макросостояния, должно учитываться как отдельное микросостояние.

Для большей ясности возьмем меньшее число объектов, скажем, шесть частиц в двух ячейках (табл. 4). Каково может быть здесь число макросостояний и сколько микростояний отвечает каждому макросостоянию? В первом столбце расположим число частиц, имеющихся в первой ячейке, во втором — число частиц, находящихся во второй ячейка.

Таким образом, если имеются шесть частиц и они распределяются между двумя ячейками, то в понимании Больцмана, можно иметь семь макросостояний. Каждому из них отвечает некоторое число микросостояний. Первому и второму макросостояниям может отвечать только одно

история

В 1864 году, Джон Тиндаль представлены измерения инфракрасного излучения с помощью платиновой нити и соответствующего цвета нити. Пропорциональность четвертой степени абсолютной температуры была выведена Йозефа Стефана (1835-1893) в 1879 г. на основе экспериментальных измерений Тиндаля, в статье Убер умереть Beziehung Zwischen дер Wärmestrahlung унд дер Temperatur ( О связи между тепловым излучением и температура ) в бюллетенях из сессий Венской академии наук. Вывод закона из теоретических соображений был представлен Людвиг Больцман (1844-1906) в 1884 году, опираясь на работу Адольфо Бартоли . Бартоли в 1876 году было получено существование давления излучения от принципов термодинамики . Вслед за Бартоли, Больцман считается идеальным тепловой двигателем с помощью электромагнитного излучения вместо идеального газа в качестве рабочего вещества.

Закон был почти сразу же проверена экспериментально. Генрих Вебер в 1888 году указывал отклонения при более высоких температурах, но идеально точность в пределах неопределенности измерений было подтверждено до температуры 1535 K по 1897. закону, в том числе теоретического предсказания Стефана-Больцмана как функция от скорости света , постоянная Больцмана и постоянная Планка , является из закона Планка , сформулированные в 1900 году.

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Первый закон излучения Вина

В 1893 году Вильгельм Вин, исходя из представлений классической термодинамики, вывел следующую формулу:

  • где uν — плотность энергии излучения
  • ν — частота излучения
  • T — температура излучающего тела
  • f — функция, зависящая только от частоты и температуры. Вид этой функции невозможно установить, исходя только из термодинамических соображений.

Первая формула Вина справедлива для всех частот. Любая более конкретная формула (например, закон Планка) должна удовлетворять первой формуле Вина.

Из первой формулы Вина можно вывести закон смещения Вина (закон максимума) и закон Стефана-Больцмана, но нельзя найти значения постоянных, входящих в эти законы.

Исторически именно первый закон Вина назывался законом смещения, но в настоящее время термином «закон смещения Вина» называют закон максимума.

Второй закон излучения Вина

В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:

  • где uν — плотность энергии излучения
  • ν — частота излучения
  • T — температура излучающего тела
  • C1,C2 — константы.

Опыт показывает, что вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Позже Макс Планк показал, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов, а также нашёл постоянные C1 и C2. С учётом этого, второй закон Вина можно записать в виде:

  • где uν — плотность энергии излучения
  • ν — частота излучения
  • T — температура излучающего тела
  • h — постоянная Планка
  • k — постоянная Больцмана
  • c — скорость света в вакууме

Закон Релея — Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела исходя из классических принципов термодинамики и электродинамики приводит к закону Релея — Джинса:

Эта формула предполагает квадратичное возрастание спектральной плотности излучения в зависимости от его частоты. На практике такой закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию излучения коротковолновой области спектра. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Тем не менее закон излучения Рэлея — Джинса справедлив для длинноволновой области спектра и адекватно описывает характер излучения. Объяснить факт такого соответствия можно лишь при использовании квантово-механического подхода, согласно которому излучение происходит дискретно. Исходя из квантовых законов можно получить формулу Планка, которая будет совпадать с формулой Рэлея — Джинса при

Этот факт является прекрасной иллюстрацией действия принципа соответствия, согласно которому новая физическая теория должна объяснять всё то, что была в состоянии объяснить старая.

Закон Планка

Зависимость мощности излучения чёрного тела от длины волны

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от температуры и частоты определяется законом Планка:

где I(ν)dν — мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в диапазоне частот от ν до ν + dν.

Эквивалентно,

где u(λ)dλ — мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в диапазоне длин волн от λ до λ + dλ.

Закон Стефана — Больцмана

Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана — Больцмана:

где j — мощность на единицу площади излучающей поверхности, а

4постоянная Стефана — Больцмана

Таким образом, абсолютно чёрное тело при T = 100 K излучает 5,67 ватт с квадратного метра своей поверхности. При температуре 1000 К мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатт с квадратного метра.

Закон смещения Вина

Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:

где T — температура в кельвинах, а λmax — длина волны с максимальной интенсивностью в метрах.

Так, если считать в первом приближении, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36°C (309 К) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области спектра).

Видимый цвет абсолютно чёрных тел с разной температурой представлен на диаграмме.

Ссылка на основную публикацию