Каков период обращения спутника вокруг луны и от чего он зависит?

Меняем направление: центростремительное ускорение

При вращательном движении по окружности линейная скорость мячика постоянно меняет направление, как показано на рис. 7.2. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центростремительным (или центробежным). В любой точке вращательного движения с постоянной величиной и меняющимся направлением вектор линейной скорости перпендикулярен радиусу.

Если в показанных на рис. 7.2 положениях нить, удерживающая мяч, оборвется, то куда полетит мяч? Если в этот момент вектор линейной скорости направлен влево, то мяч полетит влево, а если этот вектор направлен вправо, то мяч полетит вправо, и т.д. Этот, казалось бы, простой и интуитивно понятный момент часто вызывает трудности у тех, кто впервые постигает физику.

Управляем скоростью с помощью центростремительного ускорения

Особенностью равномерного вращательного движения является постоянство величины линейной скорости. Это значит, что вектор ускорения не имеет компоненты, параллельной вектору линейной скорости, поскольку в противном случае величина линейной скорости менялась бы. Однако при равномерном вращательном движении меняется только направление линейной скорости. Такое изменение линейной скорости поддерживается центростремительным ускорением, направленным к центру окружности вращения и перпендикулярно вектору линейной скорости.

В примерах на рис. 7.1 и 7.2 на мяч со стороны нити действует сила натяжения нити, которая поддерживает его движение по окружности. Именно эта сила сообщает мячу центростремительное ускорение ​\( a_ц \)​, вектор которого показан на рис. 7.1. (Попробуйте раскрутить мяч с помощью привязанной к нему нити, и вы сразу же почувствуете действие этой силы со стороны нити.)

Часто возникает вопрос: если вектор ускорения мяча направлен к центру окружности, то почему мяч не движется к центру? Дело в том, что при равномерном вращательном движении это ускорение меняет только направление, а не величину линейной скорости.

Определяем величину центростремительного ускорения

Нам уже известно направление вектора центростремительного ускорения, а чему же равна его величина? Итак, величина центростремительного ускорения объекта, равномерно движущегося с линейной скоростью ​\( v \)​ по окружности с радиусом ​\( r \)​, равна:

Как видите, величина центростремительного ускорения обратно пропорциональна радиусу окружности ​\( r \)​ и прямо пропорциональна квадрату скорости ​\( v \)​. Поэтому не удивительно, что автомобиль на более крутых поворотах испытывает более сильное центростремительное ускорение.

Стремимся к центру: центростремительная сила

На крутых поворотах действие центростремительного ускорения обеспечивается трением шин по дороге. Какую силу нужно приложить, чтобы удержать движущийся со скоростью ​\( v \)​ автомобиль на повороте с радиусом кривизны ​\( r \)​?

Допустим, что в примере на рис. 7.1 легкий мяч заменили на тяжелое пушечное ядро. Теперь, чтобы поддерживать движение ядра по окружности с тем же радиусом и периодом вращения, потребуется гораздо большая сила.

Центростремительная сила ​\( F_ц \)​, необходимая для равномерного вращения по окружности с радиусом ​\( r \)​ объекта массой ​\( m \)​ с постоянной скоростью ​\( v \)​, равна:

С помощью этого уравнения можно легко определить силу, необходимую для равномерного вращения объекта по окружности с известной массой, скоростью и радиусом окружности.

В примерах на рис. 7.1 и 7.2 мяч движется со скоростью ​\( v \)​ = 13 м/с и удерживается нитью длиной 1,0 м, т.е. в данном случае радиус окружности ​\( r \)​ = 1 м. Какая сила потребуется, чтобы поддерживать такое же движение для пушечного ядра с массой 10 кг? Подставляя численные значения в уже известную нам формулу, получим:

Приличная сила! Остается только надеяться, что ваши руки достаточно сильны, чтобы удержать ядро.

Вращательное движение: перемещение, скорость и ускорение

Если вы привыкли решать задачи о прямолинейном движении типа “некто движется из пункта А в пункт Б”, то задачи о вращательном движении можно формулировать аналогично, но для этого нужно приобрести некоторый опыт. На рис. 7.1 мяч движется криволинейно по окружности, а не прямолинейно по линии. Это движение можно было бы описать как комбинацию прямолинейных движений с координатами X и Y. Однако гораздо удобнее характеризовать его иначе, а именно как вращательное движение с одной координатой ​\( \theta \)​. В данном примере вращательного движения перемещение можно характеризовать углом \( \theta \) так же, как в прямолинейном движении перемещение характеризуется расстоянием \( s \). (Более подробно перемещение при прямолинейном движении описывается в главе 3.)

Стандартной единицей измерения перемещения при вращательном движении является радиан (рад), а не градус. Полная окружность охватывает угол величиной ​\( 2\pi \)​ радиан, что равно 360°. Соответственно, половина окружности охватывает угол величиной ​\( \pi \)​ радиан, а четверть окружности — ​\( \pi/2 \)​.

Как преобразуются величины углов из градусов в радианы и обратно? Достаточно определить, сколько радиан приходится на один градус, т.е. вычислить отношение ​\( 2\pi \)​/360°. Например, величина угла 45° в радианах равна:

Аналогично, для преобразования величины угла из радианов в градусы следует определить, сколько градусов приходится на один радиан, т.е. вычислить отношение 360°/​\( 2\pi \)​. Например, величина угла ​\( \pi/2 \)​ в градусах равна:

Формулировка вращательного движения в терминах прямолинейного движения очень удобна. Напомним основные формулы прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3:

Теперь для вывода аналогичных основных формул вращательного движения достаточно в формулах прямолинейного движения вместо расстояния ​\( s \)​, которое характеризует прямолинейное перемещение, подставить угол ​\( \theta \)​, который характеризует угловое перемещение. А как определяется угловая скорость? Очень просто. Угловая скорость ​\( \omega \)​ определяется аналогично, как изменение угла за единицу времени, и равна количеству радианов, пройденных за секунду:

Обратите внимание, как похоже это выражение для угловой скорости на выражение для линейной скорости:

Давайте теперь вычислим угловую скорость мяча на рис. 7.1. Он совершает полный круг, охватывающий ​\( 2\pi \)​ радиан, за 1/2 с, а значит, его угловая скорость равна:

(Величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности к длине ее радиуса. Поэтому радиан — это безразмерная величина, и ее обозначение (рад) часто опускается. Соответственно, угловую скорость принято указывать “в обратных секундах” как с-1, т.е. без указания единицы измерения углов. — Примеч. ред.)

Угловое ускорение ​\( \alpha \)​ определяется аналогично линейному ускорению:

Оно определяется как изменение угловой скорости за единицу времени и измеряется в радианах на секунду в квадрате. Если скорость за 2 с изменилась от величины ​\( 4\pi c^{-1} \)​ до величины \( 8\pi c^{-1} \), то чему равно угловое ускорение? Подставим эти численные значения в предыдущую формулу и получим:

Итак, для описания вращательного движения у нас есть следующие аналоги: для линейного перемещения ​\( s \)​ — угловое перемещение ​\( \theta \)​, для линейной скорости ​\( v \)​ — угловая скорость ​\( \omega \)​ и для линейного ускорения ​\( a \)​ — угловое ускорение ​\( \alpha \)​.

На основании этой аналогии можно легко вывести основные формулы вращательного движения (подобно основным формулам прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3):

Более подробно эти выражения рассматриваются далее в главе 10 при описании момента импульса и момента силы.

Вписываемся в повороты: учитываем радиус и наклон

Если вам приходилось ехать на автомобиле или велосипеде или даже бежать трусцой, то наверняка вы заметили, что в крутой поворот проще вписаться, если поверхность дороги немного наклонена внутрь поворота. Из опыта известно, что чем больше наклон, тем проще вписаться в поворот. Это объясняется тем, что в таком случае на вас действует меньшая центростремительная сила. Центростремительная сила обеспечивается силой трения о поверхность дороги. Если поверхность дороги покрыта льдом, то сила трения становится меньше и потому часто не удается вписаться в поворот на обледеневшей дороге на большой скорости.

Представьте, что автомобилю с массой 1000 кг нужно вписаться в поворот с радиусом Юм, а коэффициент трения покоя (подробнее о нем см. главу6) равен 0,8. (Здесь используется коэффициент трения покоя, поскольку предполагается, что шины по поверхности дороги.) Какую максимальную скорость может развить этот автомобиль без риска не вписаться в поворот. Итак, сила трения покоя шин о поверхность дороги ​\( F_{трение\,покоя} \)​ должна обеспечивать центростремительную силу:

где ​\( m \)​ — это масса автомобиля, ​\( v \)​ — его скорость, ​\( r \)​ — радиус, ​\( \mu_п \)​ — коэффициент трения покоя, a ​\( g \)​ = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения под действием силы гравитации. Отсюда легко находим скорость:

(Обратите внимание, что максимальная безопасная скорость прохождения поворота не зависит от массы автомобиля. — Примеч

ред.)

Это выражение выглядит очень просто, а после подстановки в него численных значений получим:

Итак, максимальная скорость безопасного проезда при таком повороте равна 8,9 м/с. Пересчитаем в единицы “км/ч”, в которых скорость указана на спидометре, и сравним. Получается, что 8,9 м/с = 32 км/ч, а на спидометре всего 29 км/ч. Прекрасно, но далеко не все водители умеют так быстро рассчитывать безопасную скорость прохождения поворотов. Поэтому конструкторы дорог часто строят повороты с наклоном внутрь, чтобы обеспечить центростремительное ускорение не только за счет силы трения, но и за счет горизонтальной компоненты силы гравитации.

На рис. 7.3 показан пример поворота дороги с некоторым наклоном под углом ​\( \theta \)​ к горизонтали. Предположим, что конструкторы решили полностью обеспечить центростремительное ускорение только за счет горизонтальной компоненты силы гравитации (т.е. без учета силы трения) ​\( F_н\sin\theta \)​, где ​\( F_н \)​ — это нормальная сила (подробнее о ней см. в главе 6). Тогда:

В вертикальном направлении на автомобиль действует сила гравитации ​\( mg \)​, которая уравновешивается вертикальной компонентой нормальной силы \( F_н\cos\theta \):

или, иначе выражая это соотношение, получим:

Подставляя это выражение в прежнее соотношение между центростремительной силой и нормальной силой, получим:

Поскольку ​\( \sin\theta/\!\cos\theta=tg\,\theta \)​ в то

Отсюда легко получаем, что угол наклона поворота дороги ​\( \theta \)​ равен:

Именно это уравнение используют инженеры при проектировании дорог

Обратите внимание, что масса автомобиля не влияет на величину угла, при котором центростремительная сила полностью обеспечивается только горизонтальной компонентой нормальной силы. Попробуем теперь определить величину угла наклона поворота с радиусом 200 м для автомобиля, движущегося со скоростью 100 км/ч или 27,8 м/с:

Для обеспечения безопасного движения автомобиля со скоростью 100 км/ч в повороте с радиусом 200 м без учета силы трения, инженеры должны создать наклон около 22°. Отлично, из вас может получиться неплохой инженер-конструктор автомагистралей!

10.2. Законы Кеплера

Законы, по которым планеты обращаются вокруг Солнца, были эмпирически
(т.е. из наблюдений) установлены Кеплером, а затем теоретически обоснованы
на основе закона всемирного тяготения Ньютона.

Первый закон. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце.

Второй закон. При движении планеты ее радиус-вектор описывает
равные площади за равные промежутки времени.

Третий закон. Квадраты сидерических времен обращений планет относятся
друг к другу как кубы больших полуосей их орбит (как кубы их средних расстояний
от Солнца):

Третий закон Кеплера является приближенным, из закона всемирного тяготения
был получен уточненный третий закон Кеплера:

Третий закон
Кеплера выполняется с хорошей точностью только потому, что массы планет
много меньше массы Солнца
.

Эллипс — это геометрическая фигура (см. рис. 20), у которой есть две
главные точки — фокусы F1, F2, и сумма расстояний от любой точки
эллипса до каждого из фокусов есть величина постоянная, равная большой оси
эллипса. У эллипса есть центр O, расстояние от которого до
наиболее удаленной точки эллипса называется большой полуосью a, а
расстояние от центра до самой ближайшей точки называется малой
полуосью
b. Величина, которая характеризует сплюснутость эллипса,
называется эксцентриситетом e:

Рис. 20.
Орбита планеты — эллипс

Окружность является частным случаем эллипса (e=0).

Расстояние от планеты до Солнца изменяется от наименьшего, равного

rmin = a(1-e) (31)

перигелием

rmax = a(1+e) (32)

афелием

10.1. Планетные конфигурации

Планеты Солнечной системы обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам
(см.законы Кеплера) и делятся на две группы. Планеты, которые
расположены ближе к Солнцу, чем Земля, называются нижними. Это
Меркурий и Венера. Планеты, которые расположены дальше от Солнца, чем Земля,
называются верхними. Это Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон.

Планеты в процессе обращения вокруг Солнца могут располагаться относительно
Земли и Солнца произвольным образом. Такое взаимное расположение Земли, Солнца
и планеты называется конфигурацией. Некоторые из конфигураций являются
выделенными и носят специальные названия (см. рис. 19).

Рис. 19.
Конфигурации планет. 1 — орбита верхней планеты, 2 — орбита Земли (З.),
3 — орбита нижней планеты. Конфигурации нижней планеты: в.с. — верхнее соединение, н.с. — нижнее соединение,
В.э. — наибольшая восточная элонгация, З.э. — наибольшая западная элонгация.

Нижняя планета может располагаться на одной линии с Солнцем и Землей: либо
между Землей и Солнцем — нижнее соединение, либо за Солнцем —
верхнее соединение. В момент нижнего соединения может произойти
прохождение планеты по диску Солнца (планета проецируется на диск Солнца).
Но из-за того, что орбиты планет не лежат в одной плоскости, такие прохождения
случаются не каждое нижнее соединение, а достаточно редко. Конфигурации, при
которых планета при наблюдении с
Земли находится на максимальном угловом удалении от Солнца (это наиболее благоприятные
периоды для наблюдения нижних планет), называются наибольшими элонгациями,
западной
и восточной.

Верхняя планета также может находиться на одной линии с Землей и Солнцем:
за Солнцем — соединение, и по другую сторону от Солнца —
противостояние. Противостояние — это самое благоприятное время для
наблюдения верхней планеты. Конфигурации, при которых угол между направлениями
с Земли на планету и на Солнце равен 90o, называются квадратурами,
западной
и восточной.

Промежуток времени между двумя последовательными одноименными конфигурациями
планеты называется ее синодическим периодом обращения P, в отличие
от истинного периода ее обращения относительно звезд, называемого поэтому
сидерическим S. Разница между этими двумя периодами возникает из-за
того, что Земля тоже обращается вокруг Солнца с периодом T.
Синодический и сидерический периоды связаны между собой:

Орбиты искусственных спутников Земли

На сегодняшний день в ближайшем околоземном космическом пространстве находится множество объектов, которые являются результатами человеческой деятельности. В основном, это искусственные спутники, служащие для обеспечения связи, однако есть и немало космического мусора. Одним из самых известных искусственных спутников Земли является Международная космическая станция.

ИСЗ движутся по трем основным орбитам: экваториальной (геостационарной), полярной и наклонной.  Первая полностью лежит в плоскости окружности экватора, вторая строго ей перпендикулярна, а третья располагается между ними.

Геосинхронная орбита

Название этой траектории связано с тем, что тело, движущееся по ней, имеет скорость, равную звездному периоду вращения Земли.  Геостационарная орбита – это частный случай геосинхронной орбиты, которая лежит в той же плоскости, что и земной экватор.

При наклонении не равном нулю и нулевом эксцентриситете спутник, при наблюдении с Земли, описывает в течение суток в небе восьмерку.

Первый спутник на геосинхронной орбите – американский Syncom-2, выведенный на нее в 1963 году. Сегодня в некоторых случаях размещение спутников на геосинхронной орбите происходит по причине того, что ракета-носитель не может вывести их на геостационарную.

Геостационарная орбита

Данная траектория имеет такое название по той причине, что, несмотря на постоянное движение, объект, на ней находящийся, остается статичным относительно земной поверхности. Место, в котором находится объект, называется точкой стояния.

Спутники, выведенные на такую орбиту, часто используются для передачи спутникового телевидения, потому что статичность позволяет единожды направить на него антенну и долгое время оставаться на связи.

Высота расположения спутников на геостационарной орбите равна 35 786 километрам. Поскольку все они находятся прямо над экватором, для обозначения позиции называют только меридиан, например, 180.0˚E Интелсат 18 или 172.0˚E Eutelsat 172A.

Приблизительный радиус орбиты равен ~42 164 км, длина – около 265 000 км, а орбитальная скорость – примерно 3, 07 км/с.

Высокая эллиптическая орбита

Высокой эллиптической орбитой называют такую траекторию, высота которой в перигее в несколько раз меньше, чем в апогее. Выведение спутников на такие орбиты имеет ряд важных преимущества. Например, одной такой системы может быть достаточно для обслуживания всей России или, соответственно, группы государств с равной суммарной площадью. Кроме того, системы ВЭО на высоких широтах более функциональные, чем геостационарные спутники. А еще вывод спутника на высокую эллиптическую орбиту обходится приблизительно в 1,8 раза дешевле.

Крупные примеры систем, работающих на ВЭО:

  • Космические обсерватории, запущенные NASA и ESA.
  • Спутниковое радио Sirius XM Radio.
  • Спутниковая связь Меридиан, -З и –ЗК, Молния-1Т.
  • Спутниковая система коррекции GPS.

Низкая околоземная орбита

Это одна из самых низких орбит, которая в зависимости от разных обстоятельств может иметь высоту 160-2000 км и период обращения, соответственно, 88-127 минут. Единственным случаем, когда НОО была преодолена пилотируемыми космическими аппаратами – это программа Апполон с высадкой американских астронавтов на луну.

Большая часть используемых сейчас или использованных когда-либо ранее искусственных земных спутников работали на низкой околоземной орбите. По этой же причине в этой зоне сейчас расположена основная доля космического мусора. Оптимальная орбитальная скорость для спутников, находящихся на НОО, в среднем, равна 7,8 км/с.

Примеры искусственных спутников на НОО:

  • Международная Космическая станция (400 км).
  • Телекоммуникационные спутники самых разных систем и сетей.
  • Разведывательные аппараты и спутники-зонды.

Обилие космического мусора на орбите – главная современная проблема всей космической индустрии. Сегодня ситуация такова, что вероятность столкновения различных объектов на НОО растет. А это, в свою очередь, ведет к разрушению и образованию на орбите еще большего числа фрагментов и деталей. Пессимистичные прогнозы говорят о том, что запущенный Принцип домино может полностью лишить человечество возможности осваивать космос.

Низкая опорная орбита

Низкой опорной принято называть ту орбиту аппарата, которая предусматривает изменение наклона, высоты или другие существенные изменения. Если же у аппарата нет двигателя и он не совершает маневры, его орбиту называют низкой околоземной.

Ссылка на основную публикацию