Показатель адиабаты для воздуха

Введение

Термодинамика
Статья является частью одноименной серии.
Начала термодинамики
Уравнение состояния
Термодинамические величины
Термодинамические потенциалы
Термодинамические циклы
Фазовые переходы
править
См. также «Физический портал»

Показатель адиабаты (иногда называемый коэффициент Пуассона) — это отношение теплоёмкости при постоянном давлении (CP) к теплоёмкости при постоянном объёме (CV). Иногда его ещё называют фактор изоэнтропийного расширения и обозначается греческой буквой γ (гамма) или κ (каппа). Буквенный символ в основном используется в химических инженерных дисциплинах. В теплотехнике используется латинская буква k.

где

C — это теплоёмкость и
c — удельная теплоёмкость (отношение теплоёмкости к единице массы) газа.
Индексы P и V обозначают условие постоянства давления или постоянства объёма соответственно.

Для понимания этого соотношения можно рассмотреть следующий эксперимент:

Закрытый цилиндр с закреплённым неподвижно поршнем содержит воздух. Давление внутри равно давлению снаружи. Этот цилиндр нагревается до определённой, требуемой температуры. Пока поршень не может двигаться, объём воздуха в цилиндре остаётся неизменным, в то время как температура и давление возрастают. Когда требуемая температура будет достигнута, нагревание прекращается. В этот момент поршень «освобождается» и, благодаря этому, начинает двигаться наружу без теплообмена с окружающей средой (воздух расширяется адиабатически. Совершая работу, воздух внутри цилиндра охлаждается ниже достигнутой ранее температуры. Чтобы вернуть воздух к состоянию, когда его температура опять достигнет упомянутого выше требуемого значения (при всё ещё «освобождённом» поршне) воздух необходимо нагреть. Для этого нагревания извне необходимо подвести примерно на 40 % (для двухатомного газа — воздуха) большее количество теплоты, чем было подведено при предыдущем нагревании (с закреплённым поршнем). В этом примере количество теплоты, подведённое к цилиндру с закреплённом поршне, пропорционально CV, тогда как общее количество подведённой теплоты пропорционально CP. Таким образом, показатель адиабаты в этом примере равен 1.4.

Другой путь для понимания разницы между CP и CV состоит в том, что CP применяется тогда, когда работа совершается над системой, которую принуждают к изменению своего объёма (то есть путём движения поршня, который сжимает содержимое цилиндра), или если работа совершается системой с изменением её температуры (то есть нагреванием газа в цилиндре, что вынуждает поршень двигаться). CV применяется только если PdV — а это выражение обозначает совершённую газом работу — равно нулю. Рассмотрим разницу между подведением тепла при закреплённом поршне и подведением тепла при освобождённом поршне. Во втором случае давление газа в цилиндре остаётся постоянным, и газ будет как расширяться, совершая работу над атмосферой, так и увеличивать свою внутреннюю энергию (с увеличением температуры); теплота, которая подводится извне, лишь частично идёт на изменение внутренней энергии газа, в то время как остальное тепло идёт на совершение газом работы.

Показатели адиабаты для различных газов
Темп. Газ γ   Темп. Газ γ   Темп. Газ γ
−181 °C H2 1.597 200 °C Сухой воздух 1.398 20 °C NO 1.400
−76 °C 1.453 400 °C 1.393 20 °C N2O 1.310
20 °C 1.410 1000 °C 1.365 −181 °C N2 1.470
100 °C 1.404 2000 °C 1.088 15 °C 1.404
400 °C 1.387 0°C CO2 1.310 20 °C Cl2 1.340
1000 °C 1.358 20 °C 1.300 −115 °C CH4 1.410
2000 °C 1.318 100 °C 1.281 −74 °C 1.350
20 °C He 1.660 400 °C 1.235 20 °C 1.320
20 °C H2O 1.330 1000 °C 1.195 15 °C NH3 1.310
100 °C 1.324 20 °C CO 1.400 19 °C Ne 1.640
200 °C 1.310 −181 °C O2 1.450 19 °C Xe 1.660
−180 °C Ar 1.760 −76 °C 1.415 19 °C Kr 1.680
20 °C 1.670 20 °C 1.400 15 °C SO2 1.290
0°C Сухой воздух 1.403 100 °C 1.399 360 °C Hg 1.670
20 °C 1.400 200 °C 1.397 15 °C C2H6 1.220
100 °C 1.401 400 °C 1.394 16 °C C3H8 1.130

Соотношения для идеального газа

Для идеального газа теплоёмкость не зависит от температуры. Соответственно, можно выразить энтальпию как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): H = C_P \cdot T
и внутренняя энергия может быть представлена как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): U = C_V T
. Таким образом, можно также сказать, что показатель адиабаты — это отношение энтальпии к внутренней энергии:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma = \frac{H}{U}

С другой стороны, теплоёмкости могут быть выражены также через показатель адиабаты (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma
) и универсальную газовую постоянную (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): R
):

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): C_P = \frac{\gamma R}{\gamma — 1} \qquad \text{и} \qquad C_V = \frac{R}{\gamma — 1}

Может оказаться достаточно трудным найти информацию о табличных значениях Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): C_V
, в то время как табличные значенияНевозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): C_P
приводятся чаще. В этом случае можно использовать следующую формулу для определения Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): C_V
:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): C_V = C_P — \nu R

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \nu
 — количество вещества в молях.

Соотношения с использованием количества степеней свободы

Показатель адиабаты (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma
) для идеального газа может быть выражен через количество степеней свободы (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): i
) молекул газа:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma = \frac{i+2}{i}\qquad
или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \qquad i = \frac{2}{\gamma — 1}
.

Таким образом, для одноатомного идеального газа (три степени свободы) показатель адиабаты равен:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma = \frac{5}{3} \approx 1{,}67
,

в то время как для двуатомного идеального газа (пять степеней свободы) (при комнатной температуре):

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma = \frac{7}{5} = 1{,}4
.

Для многоатомного идеального газа (шесть степеней свободы) показатель адиабаты равен:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma = \frac{6+2}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33
.

Воздух на земле представляет собой в основном смесь двухатомных газов (около 78 % азота — N2, и около 21 % кислорода — O2), и при нормальных условиях его можно рассматривать как идеальный. Двухатомный газ имеет пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных степени свободы; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур). Как следствие, теоретически, показатель адиабаты для воздуха имеет величину:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5} = 1{.}4
.

Это хорошо согласуется с экспериментальными измерениями показателя адиабаты воздуха, которые приблизительно дают значение 1,403 (приведённое выше в таблице).

Описание экспериментальной установки

Общий вид
экспериментальной установки показан на рис. 2.

От компрессора
(1) воздух накачивается в балластную стеклянную банку (2). Снизу этой банки
имеется клапан (3), с помощью которого можно точно регулировать поток газа (и
давление), подаваемого в измерительную колбу (4). Сверху в эту колбу на шлифе
вставлена трубка (5), в которую помещён лёгкий пластмассовый цилиндр (6)
(осциллятор). Сбоку в трубке имеется небольшое отверстие, расположенное
симметрично между двумя синими полосками на трубке. Регулируя клапаном подачу
воздуха в измерительную колбу нужно добиться того, чтобы осциллятор совершал
колебания между этими двумя полосками. Период этих колебаний измеряется с
помощью устройства, называемого световым барьером (7).

В этом
устройстве имеется источник света и приёмник света. Стеклянная трубка с
осциллятором располагается на пути светового луча. При колебаниях осциллятора
он периодически перекрывает луч света и в датчике светового барьера возникает
периодический электрический сигнал. С помощью цифрового дисплея имеющегося на
этом устройстве можно измерить период колебаний осциллятора.

Порядок выполнения
работы.

1. Убедитесь, что экспериментальная установка
собрана согласно рис. 2. Все пробки в стеклянных сосудах вставлены достаточно
плотно.

2. Отрегулируйте взаимное расположение светового
барьера и стеклянной трубки с осциллятором. Луч света должен проходить по
диаметру трубки на высоте вблизи верхней или нижней полоски на трубке.

3. Включите
питание светового барьера, выберите режим COUNT
(счетчик колебаний).

4. Включите компрессор и с помощью клапана (3)
установите такой поток воздуха, чтобы осциллятор колебался между двумя
полосками на трубке.

Внимание.
Во избежании вылета осциллятора из трубки при большом потоке газа слегка
прикрывайте рукой верхней конец трубки. 5

На световом
барьере нажмите кнопку Reset (сброс) и одновременно
включите секундомер

5. На световом
барьере нажмите кнопку Reset (сброс) и одновременно
включите секундомер.

6. Когда
счетчик светового барьера покажет цифру 50 (50 полных колебаний) остановите
секундомер.

7. Разделив
время, измеренное по секундомеру, на 50, получим период колебаний осциллятора.

8. По формуле
(11) рассчитать показатель адиабаты.

Значения
величин входящих в эту формулу следующее:

m = 4,6.10-3 кг – масса
осциллятора,

V = 1.14.10-3 м3 – объём
измерительной колбы,

Т – измеренный
период колебаний,

Р = 105
Па (ввиду малого веса осциллятора давление можно считать равным атмосферному),

r = 5,95.10-3 м – радиус
осциллятора.

Экспериментальное определение величины показателя адиабаты

Поскольку процессы, происходящие в небольших объёмах газа при прохождении звуковой волны, близки к адиабатическим, показатель адиабаты можно определить, измерив скорость звука в газе. В этом случае показатель адиабаты и скорость звука в газе будут связаны следующим выражением:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): c = \sqrt{\frac{\gamma kT}{m}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma
 — показатель адиабаты; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): k
 — постоянная Больцмана; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): R
 — универсальная газовая постоянная; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): T
 — абсолютная температура в кельвинах; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): m
 — молекулярная масса; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): M
 — молярная масса.

Другим способом экспериментального определения величины показателя адиабаты является метод Клемана — Дезорма, который часто используется в учебных целях при выполнении лабораторных работ. Метод основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим.

Лабораторная установка включает стеклянный баллон, соединенный с манометром, краном и резиновой грушей. Груша служит для нагнетания воздуха в баллон. Специальный зажим предотвращает утечку воздуха из баллона. Манометр измеряет разность давлений внутри и вне баллона. Кран может выпускать воздух из баллона в атмосферу.

Пусть первоначально в баллоне было атмосферное давление и комнатная температура. Процесс выполнения работы можно условно разбить на два этапа, каждый из которых включает в себя адиабатный и изохорный процесс.

1-й этап:
При закрытом кране накачиваем в баллон небольшое количество воздуха и зажимаем шланг зажимом. При этом давление и температура в баллоне повысятся. Это адиабатный процесс. Со временем давление в баллоне начнет уменьшаться вследствие того, что газ в баллоне начнёт охлаждаться за счет теплообмена через стенки баллона. При этом давление будет уменьшаться при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравняется с температурой окружающего воздуха, запишем показания манометра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): h_1
.

2-й этап:
Теперь откроем кран 3 на 1—2 секунды. Воздух в баллоне будет адиабатно расширяться до атмосферного давления. При этом температура в баллоне понизится. Затем кран закроем. Со временем давление в баллоне начнет увеличиваться вследствие того, что газ в баллоне начнет нагреваться за счет теплообмена через стенки баллона. При этом снова будет увеличиваться давление при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравнится с температурой окружающего воздуха, запишем показание манометра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): h_2
. Для каждой ветви 2-х этапов можно написать соответствующие уравнения адиабаты и изохоры. Получится система уравнений, которые включают в себя показатель адиабаты. Их приближённое решение приводит к следующей расчетной формуле для искомой величины:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл не найден; См. math/README — справку по настройке.): \gamma = {h_1 \over {h_1 — h_2}}

Недостатком данного метода является то, что процессы быстрого расширения газа в ходе лабораторной работы не являются чисто адиабатическими ввиду теплообмена через стенку сосудов, а рассматриваемый газ заведомо не является идеальным. И хотя полученная в ходе лабораторной работы величина будет заведомо содержать методическую погрешность, всё же существуют различные способы её устранения, например, за счет учета времени расширения и количества подведенного за это время тепла.

3.3 Определение плотности смеси газов при стандартных условиях по компонентному составу

3.3.1
Компонентный состав смеси газов определяется в объемных долях по формуле

,(9)

или в молярных долях по формуле

,(10)

Киломоль
(килограмм-молекула) — количество вещества в килограммах, равное молярной массе
этого вещества, поэтому число молей i-го компонента газовой смеси
определяется по формуле

.(11)

В
соответствии с ИСО 6976 [] объемная ri, и молярная хi
доли связаны следующими соотношениями:

.(13)

Из )
и )
можно вывести следующие условия:

,(14)

.(15)

3.3.2 В соответствии с ИСО 6976 []
плотность природного газа при стандартных условиях вычисляют по формуле

rc = rc.и/zc,(16)

где

Значения
плотности rc.иi и фактора bi0,5
приведены в .

При
содержании в природном газе углеводородных соединений типа СkН2k+2)
и )
можно представить в следующем виде:

,(19)

,(20)

где ki — количество атомов
углерода в i-м углеводородном компоненте (СkН2k+2) природного
газа.

3.3.3
Погрешности определения плотности природного газа и фактора сжимаемости при
стандартных условиях вычисляют по формулам:

,(21)

,(22)

,(23)

где dxi, dxa
и dxy — погрешности
определения молярных долей, соответственно, i-го компонента природного
газа, а также азота и диоксида углерода, как компонентов природного газа;

dэ
= 0,05 % — погрешность экспериментального определения фактора сжимаемости.

(Измененная
редакция, Изм. № 1).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При изменении
состояния термодинамической системы в общем случае меняется и ее температура.

Величина С, определяемая формулой

D =CdT

когда приток тепла dQ отнесен к одному молю
системы, называется мо­лярной теплоемкостью. Её значение зависит от вида
процесса изменения состояния. При адиабатическом процессе в теплоизолированной
системе, когда dQ = 0, теплоемкость равна
нулю. Если состояние изменяется изо­термически ( = 0), то теплоемкость равна бесконечности.

Согласно первому началу термодинамики
подводимое к системе те­пло dQ в расчете на один моль
в процессе малого изменения его состоя­ния связано с изменением внутренней
энергии системы dU и работой рdV , совершаемой системой, соотношением

DQ = dU + pdV

Где p — давление;

V-
молярный объем.

Из этого уравнения следует, что при
изохорическом изменении со­стояния (dV =
0)

Соответствующая теплоемкость  называется теплоемкостью при постоянном объеме.

Помимо внутренней энергии в
термодинамике используется еще од­на важная для ряда практических приложений
функция состояния I,
назы­ваемая теплосодержанием или энтальпией,

            I = U + pV,

или

где m молярная масса;

r — плотность системы. При изобарическом изменении состояния, когда dp=0,

Величина  называется теплоемкостью при постоянном давлении.

Таким образом, если объем
системы остается постоянным, то приток тепла равен приращению внутренней
энергии системы, если же постоянно давление, то он выражается приращением
энтальпии.

Так как для идеального газа I = U(T) + pV, то теплосодержание та­кого газа, как и его
внутренняя энергия, есть функция только температуры. Теплоемкости Сp и СV идеального газа и их отношение g = Cp/CV тоже зависят только от температуры; при этом

                        Cp
– CV =R,

где R —
универсальная газовая постоянная.

Так как R > 0 и СV
>
0, то всегда g > 1.

Согласно классическому результату статистической
физики энергия молекул газа, находящегося в равновесном состоянии, распределяется
одинаковыми долями по всем степеням свободы возможных движений молекулы.
Энергия, приходящаяся на одну степень свободы, составляет в расчете на один
моль . Таким образом, если i — число степеней свободы
движения молекулы, внутренняя энергия одного моля газа U равна

С учетом уравнения состояния pV = RT  молярное теплосодержание идеального
газа

Соответственно теплоемкости Сp и СV и их отношение у даются формулами

Таким образом, теплоемкости находящегося в
равновесном состоя­нии идеального газа с равномерным распределением энергии по
степеням свободы постоянны.

Наименьшее число степеней свободы — три — имеют
одноатомные га­зы (при нормальных условиях — это гелий Не, неон Nе и др., при
высокой температуре — полностью диссоциированные кислород О, азот N и др.). Для
таких газов g = 5 /
3, и это значение хорошо подтверждается экспери­ментальными данными. Газы с
очень сложными молекулами имеют боль­шое число внутренних степеней свободы и
для них g 1. Таким образом, величина g для идеальных газов заключена в пределах 1

Классический результат статистической физики не
дает правильного представления о распределении энергии по колебательным
степеням сво­боды молекул, а при очень низких температурах — и по вращательным
сте­пеням свободы молекул. Так, для двухатомной молекулы (О2, Н2 и др.) число степеней свободы i =
7 (три поступательных, две вращательных -вокруг главных осей, две колебательные
— симметричные и антисиммет­ричные колебания вокруг центра масс), и согласно
классической теории g =9/7.

Однако, как следует из квантовой теории,
теплоемкости двухатом­ных молекул при постоянном объеме

при Тqи  

            при Т>>qи    

где q
характеристическая колебательная температура (q
для кисло­рода равна 2273 К, для азота — 3393 К).

Таким образом, отношение теплоемкостей у
двухатомных газов при нормальной температуре с большой точностью равно 7/5 и,
постепенно уменьшаясь с ростом температуры, лишь при температуре в несколько ты­сяч
градусов (меньшей, чем температура, при которой существенную роль начинает
играть диссоциация) приближается к значению 9/7, следующему из классической
теории.

У воздуха, представляющего собой в основном смесь
двухатомных газов — азота и кислорода, значения у при нормальных условиях
близки к 7/5, т.е. 1,40.

Ссылка на основную публикацию