Тело движется прямолинейно с постоянным ускорением. какая величина, характеризующая движение этого тела, всегда сонаправлена с равнодействующей приложенных к телу сил, а какие величины могут быть направлены противоположно равнодействующей?

Задача

Автомобиль ехал прямолинейно в течение часа. В начале часа его скорость была 10 км/ч, а в конце – 100 км/ч (см. рис. 11).

Рис. 11. Рисунок к задаче

Скорость изменялась равномерно. Сколько километров проехал автомобиль?

Проанализируем условие задачи.

Скорость автомобиля изменялась равномерно, то есть всё время пути его ускорение было постоянным. Ускорение по определению равно:

Автомобиль ехал прямолинейно, поэтому мы можем рассматривать его движение в проекции на одну ось координат:

Найдем перемещение.

Пример возрастающей скорости

На стол кладут орехи, по одному ореху в минуту. Понятно: сколько минут пройдет, столько орехов на столе окажется. А теперь представим, что скорость накладывания орехов равномерно возрастает с нуля: первую минуту орехов не кладут, во вторую кладут один орех, потом два, три и так далее. Сколько орехов окажется на столе через какое-то время? Понятно, что меньше, чем если бы максимальная скорость поддерживалась всегда. Причем хорошо видно, что меньше в 2 раза (см. рис. 12).

Рис. 12. Количество орехов при разной их скорости выкладывании

Так же и с равноускоренным движением: допустим, сначала скорость была равна нулю, в конце стала равна  (см. рис. 13).

Рис. 13. Изменение скорости

Если бы тело постоянно двигалось с такой скоростью, его перемещение было бы равно , но поскольку скорость равномерно возрастала – то в 2 раза меньше.

            Мы умеем находить перемещение при РАВНОМЕРНОМ движении: . Как обойти эту проблему? Если скорость изменяется не на много, то движение можно приближенно считать равномерным. Изменение скорости будет небольшим за небольшой интервал времени (см. рис. 14).

Рис. 14. Изменение скорости

Поэтому разобьем время в пути T на N небольших отрезков длительностью  (см. рис. 15).

Рис. 15. Разбиение отрезка времени

Подсчитаем перемещение на каждом отрезке времени. Скорость прирастает на каждом интервале на:

На каждом отрезке мы будем считать движение равномерным и скорость приближенно равной начальной скорости на данном отрезке времени. Посмотрим, не приведет ли к ошибке наше приближение, если на небольшом промежутке движение будем считать равномерным. Максимальная ошибка будет равна:

и суммарная ошибка за всё время пути -> . При больших N принимаем  ошибка  близка к нулю. Это мы увидим и на графике (см. рис. 16): на каждом интервале будет ошибка, но суммарная ошибка при достаточно большом количестве интервалов будет пренебрежимо мала.

Рис. 16. Ошибка на интервалах

Итак, каждое следующее значение скорости на одну и ту же величину  больше предыдущего. Из алгебры мы знаем, что это арифметическая прогрессия с разностью прогрессии :

Путь на участках (при равномерном прямолинейном движении (см. рис. 17) равен:

Рис. 17. Рассмотрение участков движения тела

На втором участке:

На n-м участке путь равен:

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Арифметическая прогрессия задается двумя параметрами: начальный член прогрессии  и разность прогрессии . Тогда последовательность записывается так:

Сумма первых  членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Просуммируем все пути. Это будет сумма первых N членов арифметической прогрессии:

Т. к. мы разбили движение на много интервалов, то можно считать, что , тогда:

У нас было множество формул, и, чтобы не запутаться, мы не писали каждый раз индексы х, но рассматривали всё в проекции на координатную ось.

Итак, мы получили главную формулу равноускоренного движения: перемещение при равноускоренном движении за время T, которую мы наряду с определением ускорения (изменение скорости за единицу времени) будем использовать для решения задач:

Мы занимались решением задачи об автомобиле. Подставим в решение числа и получим ответ: автомобиль проехал 55,4 км.

            Математическая часть решения задачи

Вычислим ускорение:

Перемещение равно:

Подставим числа и получим ответ:

ФизикаУчебник для 10 класса

§ 4.3. Неинерциальные системы отсчета, движущиеся прямолинейно с постоянным ускорением

Самый простой случай неинерциальной системы — это система, все точки которой движутся с одинаковыми постоянными ускорениями.

Пусть система отсчета X’O’Y’ движется относительно инерциальной системы XOY с постоянным ускорением ап. Это ускорение иногда называют переносным.

Если скорость тела относительно одной системы отсчета равна от, а сама система отсчета движется прямолинейно относительно другой системы отсчета со скоростью п, то скорость тела относительно этой другой системы (согласно закону сложения скоростей Галилея) равна:

a = от + п.       (4.3.1)

Такая связь, как следует из определения ускорения, будет и между ускорениями:

a = от + п.

Следовательно,

отa = —п.

и, согласно (4.2.4), сила инерции равна

п = —mп

Итак, если неинерциальная система имеет ускорение п = const, то в ней наряду с обычными силами действуют силы инерции, определяемые выражением (4.3.4).

Теперь на простом примере познакомимся с отличием описания движения в неинерциальной системе отсчета от описания того же движения относительно инерциальной системы. Пусть тележка, на которой установлен подвес с маятником (рис. 4.2, а), движется с постоянным ускорением п. При движении маятник отклонится от вертикали и после затухания возникших колебаний «замрет» в отклоненном положении (рис. 4.2, б). Нить подвеса будет образовывать угол а с вертикалью.

Рис. 4.2

Рассмотрим установившееся движение, когда колебаний маятника нет. Сначала будет дано описание движения в инерциальной системе отсчета (относительно Земли, которую в данном случае можно считать инерциальной системой), а потом — в неинерциальной системе (относительно тележки).

Инерциальная система отсчета

1. Маятник движется с ускорением а = п, так как относительно тележки он покоится, а тележка имеет ускорение п.

2. На маятник действуют две силы: сила тяжести m и сила натяжения нити . Они сообщают маятнику ускорение п, направленное горизонтально. Второй закон Ньютона

справедлив. Как видно из рисунка 4.3,

Рис. 4.3

3. Силы m и обусловлены действием других тел: m — притяжением к Земле, а — упругостью нити подвеса. Третий закон Ньютона справедлив: маятник притягивает Землю и растягивает нить.

Неинерциальная система отсчета

1. Относительно тележки маятник неподвижен: аот = 0.

2. На маятник действуют те же силы m и . Но эти силы не сообщают маятнику ускорения. Второй закон Ньютона непосредственно несправедлив. Чтобы он выполнялся, необходимо добавить еще силу инерции и = -mп. Тогда

Сумма сил равна нулю и аот = 0. Второй закон теперь выполняется. Причем попрежнему (рис. 4.4).

Рис. 4.4

3. Сила и не вызвана действием какого-либо определенного тела. Третий закон Ньютона для этой силы не имеет места. Силы же m и по-прежнему обусловлены действием других тел.

* * * * *

Примером неинерциальной системы отсчета может служить система отсчета, связанная с лифтом при его замедленном или ускоренном движении. Если ускорение лифта направлено вверх, то наряду с силой тяжести m на все тела в лифте будет действовать сила инерции mп, направленная вниз. Это эквивалентно увеличению веса: вес будет равен m(g + ап) вместо mg. Если ускорение лифта направлено вниз, то это эквивалентно уменьшению веса, который теперь равен m(g — ап) вместо mg. Эти изменения в весе непосредственно можно ощущать, находясь в лифте.

При движении системы отсчета с постоянным ускорением сила инерции равна взятому со знаком «минус» произведению массы на ускорение системы.

Ссылка на основную публикацию