Электромагнитные волны

4 вариант

1. В каком диапазоне длин волн работает приемник, если емкость конденсатора в его колебательном контуре мож­но плавно изменять от 200 пФ до 1800 пФ, а индуктив­ность катушки постоянна и равна 60 мкГн?

2. На какой частоте суда посылают сигнал SOS, если по международному соглашению длина радиоволны должна быть равной 600 м?

3. Найдите период колебаний контура, излучающего электромагнитную волну с λ = 3 км.

4. Изменение силы тока в антенне радиопередатчика про­исходит по закону i = 0,3sin 15,7t А. Найдите длину из­лучающей электромагнитной волны.

5. Уравнение напряженности электрического поля бегущей электромагнитной волны имеет вид Е = 60sin π(1,5 ⋅ 1014t − 0,5 ⋅ 106х) В. Найдите амплитуду, частоту, период, длину волны и скорость распростране­ния волны.

6. При изменении тока в катушке индуктивности на 1 А за 0,5 с в ней индуцируется ЭДС 0,2 мВ. Какую длину волны будет иметь радиоволна, если контур состоит из этой катушки и конденсатора емкостью 50 мкФ?

Ответы на контрольную работа по физике Электромагнитные волны 11 класс1 вариант
1. 942 м
2. 500
3. 507 пФ
4. Е = 106 ⋅ sin(3,14 ⋅ 1015t − 1,05 ⋅ 107х) В/м
5. 1065 м
6. 77 500 м2 вариант
1. От 0,1 до 0,05 МГц
2. 200 м
3. 3,5 ⋅ 10-7 Гн
4. 1000 м
5. 40 В/м; 1,5 ⋅ 1014 Гц; 0,67 ⋅ 10-14 с; 2 мкм; 3 ⋅ 108 м/с
6. Увеличить в 2,25 раза3 вариант
1. 0,28 мкФ
2. 4 м
3. От 3 до 9 м
4. Е = 2 ⋅ 105 ⋅ sin(2,5 ⋅ 1015t + 0,83 ⋅ 107) В/м
5. 471 м
6. 3 см4 вариант
1. От 206 до 619 м
2. 500 кГц
3. 10-5 с
4. 1,2 ⋅ 108 м
5. 60 В/м; 0,75 ⋅ 1014 Гц; 0,25 ⋅ 10-14 с; 4 мкм; 3 ⋅ 108 м/с
6. 42 100 м

Математическое описание стоячих волн

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:

y1=ysin⁡(kx−ωt){\displaystyle y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)}
y2=ysin⁡(kx+ωt){\displaystyle y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)}

где:

  • y — амплитуда волны,
  • ω{\displaystyle \omega } — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
  • k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как 2π{\displaystyle 2\pi } поделённое на длину волны λ{\displaystyle \lambda },
  • x и t — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y1 и y2:

y=ysin⁡(kx−ωt)+ysin⁡(kx+ωt).{\displaystyle y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).}

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

y=2ycos⁡(ωt)sin⁡(kx).{\displaystyle y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).}

Если рассматривать моды x=,λ2,3λ2,…{\displaystyle x=0,\lambda /2,3\lambda /2,…} и антимоды x=λ4,3λ4,5λ4,…{\displaystyle x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,…}, то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны λ2{\displaystyle \lambda /2}.

Волновое уравнение

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

(∇2−1v2∂2∂t2)u={\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=0}

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

(∇2−1v2∂2∂t2)u=fu,{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=f_{0}u,}

где f{\displaystyle f_{0}} — выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

Теория про уравнение бегущей волны

Когда мы говорим о движении тела, то имеем в виду перемещение в пространстве его самого. В случае же волнового движения речь идет не о перемещении среды или поля, а о перемещении возбужденного состояния среды или поля. В волне определенное состояние, сначала локализованное в одном месте пространства, передается (перемещается) в другие, соседние точки пространства.

Состояние среды или поля в данной точке пространства характеризуется одним или несколькими параметрами. Такими параметрами, например, в волне, образуемой на струне, является отклонение данного участка струны от положения равновесия (х), в звуковой волне в воздухе — это величина, характеризующая сжатие или расширение воздуха, в электромагнитной волне — это модули векторов  и . Важнейшим понятием для любой волны является фаза. Под фазой понимается состояние волны в данной точке и в данный момент времени, описанное соответствующими параметрами. Например, фаза электромагнитной волны задается модулями векторов  и . Фаза от точки к точке меняется. Таким обpазом, фаза волны в математическом смысле есть функция координат и времени. С понятием фазы связано понятие волновой поверхности. Это поверхность, все точки которой в данный момент времени находятся в одной и той же фазе, т.е. это поверхность постоянной фазы.

Понятия волновой поверхности и фазы позволяют провести некоторую классификацию волн по характеру их поведения в пространстве и времени. Если волновые поверхности перемещаются в пространстве (например, обычные волны на поверхности воды), то волна называется бегущей.

Бегущие волны можно разделить на: плоские, сферические и цилиндрические.

Физика

§ 4.5. Уравнение бегущей волны

Найдем уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны. Для определенности будем рассматривать волну, бегущую по длинному тонкому резиновому шнуру.

Ось X направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура (см. рис. 4.11). Смещение любой колеблющейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой S. Для описания волнового процесса необходимо знать значение S в любой точке шнура в любой момент времени, а следовательно, знать вид функции s = s(x, t).

Заставим конец шнура (точка х = 0) соверпгать гармонические колебания с частотой ω. Колебания этой точки будут происходить по закону

если начальную фазу колебаний считать равной нулю. Здесь sm — амплитуда колебаний (рис. 4.14, а).

Рис. 4.14

Колебания распространяются вдоль шнура (оси X) со скоростью v и в произвольную точку шнура с координатой х придут спустя время

Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой ω, но с запаздыванием на время τ (рис. 4.14, б). Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой sm, но с другой фазой:

Это и есть уравнение бегущей волны*, распространяющ;ей-ся в положительном направлении оси X. В случае, когда начальная фаза колебаний в точке x = 0 равна не нулю, а произвольной величине φ, уравнение бегуньей волны запишется так:

Амплитуда колебаний sm называется амплитудой волны. Величину, стоящую под знаком синуса, называют фазой волны. В общем случае фаза волны равна:

Разумеется, вместо синуса при записи уравнения бегущей волны мы могли бы использовать и косинус. Замена синуса на косинус эквивалентна изменению начальной фазы на π/2.

Выражение (4,5.5) для фазы волны можно преобразовать, если выразить циклическую частоту колебаний ω через частоту v или период Т, а скорость волны v заменить ее значением согласно формуле (4.3.2). Для случая φ = 0 получим:

Уравнение (4.5.3) бегущей гармонической волны примет при этом форму:

В этой форме записи отчетливо видно, что функция s(x, t) обладает периодичностью двоякого рода. Она периодична по времени при фиксированном х (период равен периоду колебаний Т, см. рис. 4.14) и периодична по пространству при фиксированном моменте времени (период равен длине волны λ, см. рис. 4.11). Это означает, что при замене t ⇒ t + Т или x ⇒ x + λ смещение s от положения равновесия согласно уравнению (4.5.7) остается одним и тем же.

Итак, в бегущей волне все точки среды (участки шнура) совершают вынужденные колебания с одним и тем же периодом, но с различными фазами. Две точки с координатами х1 и х2 имеют разность фаз

При x2 — х1 = λ, разность фаз равна 2π. Точки колеблются синфазно. Если х2 — х1 = λ/2. О колебания происходят в противофазе.

Надо отметить, что строго гармонических волн не существует. Из-за неизбежных потерь механической энергии амплитуда колебаний постепенно уменьшается по мере распространения волны от источника возбуждения колебаний. Можно приближенно говорить о гармонической волне в том случае, когда затухание бегущей волны на одной длине волны очень мало и по всей длине шнура укладывается много длин волн. Уравнение (4.5.3) описывает процессы не только в поперечной волне, но и в продольной, например в длинном упругом стержне. При этом s(x, t) по-прежнему имеет смысл смещения колеблющихся частей стержня от положения равновесия. Эти смещения в продольной волне происходят вдоль направления распространения волны (оси X).

* Волна называется бегущей по той причине, что, как мы увидим в следующем параграфе, существуют и стоячие волны, у которых максимумы и минимумы колебаний не перемещаются с течением времени.

Уравнение сферической и цилиндрической бегущей волны

Уравнение сферической бегущей волны:

В экспоненциальной форме уравнение сферической волны имеет вид:

где  – комплексная амплитуда. Везде, кроме особой точки r=0, функция x удовлетворяет волновому уравнению .

Уравнение цилиндрическое бегущей волны:

где r – расстояние от оси.

где  – комплексная амплитуда.Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Плоская незатухающая звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты  Амплитуда колебаний источника a. Напишите уравнение колебаний источника x(0,t), если в начальный момент смещение точек источника максимально.
Решение

Запишем уравнение бегущей волны, зная, что она плоская:

Используем в записи уравнения w=, запишем (1.1) в начальный момент времени (t=0):

Из условий задачи известно, что в начальный момент смещение точек источника максимально. Следовательно, .

Получим: , отсюда  в точке, где расположен источник (т.е. при r=0).

Соответственно: .

Ответ
Ссылка на основную публикацию