§ 6. сложение скоростей

Релятивистская механика

В XIX веке физика столкнулась с проблемой распространения этого правила сложения скоростей на оптические (электромагнитные) процессы. По существу произошёл конфликт между двумя идеями классической механики (первая — Пространство-время теории Ньютона, вторая — принцип относительности), перенесёнными в новую область — теорию электромагнитных процессов.

Например, если рассмотреть пример с волнами на поверхности воды из предыдущего раздела и попробовать обобщить на электромагнитные волны, то получится противоречие с наблюдениями (см., например, опыт Майкельсона).

Классическое правило сложения скоростей соответствует преобразованию координат от одной системы осей к другой системе, движущиеся относительно первой без ускорения. Если при таком преобразовании мы сохраняем понятие одновременности, то есть сможем считать одновременными два события не только при их регистрации в одной системе координат, но и во всякой другой инерциальной системе, то преобразования называются галилеевыми. Кроме того, при галилеевых преобразованиях пространственное расстояние между двумя точками — разница между их координатами в одной инерциальной системе отсчёта — всегда равно их расстоянию в другой инерциальной системе.

Вторая идея — принцип относительности. Находясь на корабле, движущемся равномерно и прямолинейно, нельзя обнаружить его движение какими-то внутренними механическими эффектами. Распространяется ли этот принцип на оптические эффекты? Нельзя ли обнаружить абсолютное движение системы по вызванным этим движением оптическим или, что то же самое, электродинамическим эффектам? Интуиция (довольно явным образом связанная с классическим принципом относительности) говорит, что абсолютное движение нельзя обнаружить какими бы то ни было наблюдениями. Но если свет распространяется с определённой скоростью относительно каждой из движущихся инерциальных систем, то эта скорость изменится при переходе от одной системы к другой. Это вытекает из классического правила сложения скоростей. Говоря математическим языком, величина скорости света не будет инвариантна относительно галлилеевых преобразований. Это нарушает принцип относительности, вернее, не позволяет распространить принцип относительности на оптические процессы. Таким образом электродинамика разрушила связь двух, казалось бы, очевидных положений классической физики — правила сложения скоростей и принципа относительности. Более того, эти два положения применительно к электродинамике оказались несовместимыми.

Специальная теория относительности даёт ответ на этот вопрос. Она расширяет понятие принципа относительности, распространяя его и на оптические процессы. Одновременно специальная теория относительности кардинально изменяет представления о пространстве и времени. Правило сложения скоростей при этом не отменяется совсем, а лишь уточняется для больших скоростей с помощью преобразования Лоренца:

vrel=v1+v21+v1v2c2.{\displaystyle v_{rel}={\frac {{v}_{1}+{v}_{2}}{1+{\dfrac {{v}_{1}{v}_{2}}{c^{2}}}}}.}

Можно заметить, что в случае, когда vc→{\displaystyle v/c\rightarrow 0}, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Это говорит о том, что механика в специальной теории относительности сводится к механике Ньютона при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Это объясняет, каким образом соотносятся специальная теория относительности и классическая механика — первая является обобщением второй.

Относительность движения

Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. В этом определении ключевой является фраза «относительно других тел». Каждый из нас относительно какой-либо поверхности неподвижен, но относительно Солнца мы совершаем вместе со всей Землей орбитальное движение со скоростью 30 км/с, то есть движение зависит от системы отсчета.

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, относительно которого изучается движение. Например, описывая движения пассажиров в салоне автомобиля, систему отсчета можно связать с придорожным кафе, а можно с салоном автомобиля или с движущимся встречным автомобилем, если мы оцениваем время обгона (рис. 1).

Рис. 1. Выбор системы отсчета

Какие же физические величины и понятия зависят от выбора системы отсчета?

1. Положение или координаты тела

Рассмотрим произвольную точку . В различных системах она имеет разные координаты (рис. 2).

Рис. 2. Координаты точки  в разных системах координат

2. Траектория

Рассмотрим траекторию точки, находящейся на пропеллере самолета, в двух системах отсчета: системе отсчета, связанной с пилотом, и системе отсчета, связанной с наблюдателем на Земле. Для пилота данная точка будет совершать круговое вращение (рис. 3).

Рис. 3. Круговое вращение

В то время как для наблюдателя на Земле траекторией данной точки будет винтовая линия (рис. 4). Очевидно, что траектория зависит от выбора системы отсчета.

Рис. 4. Винтовая траектория

Относительность траектории. Траектории движения тела в различных системах отсчета

Рассмотрим, как меняется траектория движения в зависимости от выбора системы отсчета на примере задачи.

Задача

Какой будет траектория точки на конце пропеллера в разных СО?

1. В СО, связанной с летчиком самолета.

2. В СО, связанной с наблюдателем на Земле.

Решение:

1. Относительно самолета ни летчик, ни пропеллер не перемещаются. Для летчика траектория точки  будет казаться окружностью (рис. 5).

Рис. 5. Траектория точки  относительно летчика

2. Для наблюдателя на Земле точка  движется двумя способами: вращаясь и двигаясь вперед. Траектория будет винтовой (рис. 6).

Рис. 6. Траектория точки  относительно наблюдателя на Земле

Ответ: 1) окружность; 2) винтовая линия.

На примере данной задачи мы убедились, что траектория – это относительное понятие.

В качестве самостоятельной проверки предлагаем вам решить следующую задачу:

Какой будет траектория точки на конце колеса относительно центра колеса, если это колесо совершает поступательное движение вперед, и относительно точек, находящихся на земле (неподвижный наблюдатель)?

3. Перемещение и путь

Рассмотрим ситуацию, когда плывет плот и в какой-то момент с него спрыгивает пловец и стремится переправиться на противоположный берег. Перемещение пловца относительно рыбака, сидящего на берегу, и относительно плота будет разным (рис. 7).

Перемещение относительно земли называют абсолютным, а относительно движущегося тела – относительным. Перемещение движущегося тела (плота) относительно неподвижного тела (рыбака) называют переносным. 

Рис. 7. Перемещение пловца

Из примера следует, что перемещение и путь являются относительными величинами.

4. Скорость

С помощью предыдущего примера можно легко показать, что скорость тоже относительная величина. Ведь скорость – это отношение перемещения ко времени. Время у нас одно и то же, а перемещение разное. Следовательно, скорость будет разной.

Зависимость характеристик движения от выбора системы отсчета называется относительностью движения.

В истории человечества были и драматичные случаи, связанные как раз с выбором системы отсчета. Казнь Джордано Бруно, отречение Галилео Галилея – все это следствия борьбы между сторонниками геоцентрической системы отсчета и гелиоцентрической системы отсчета. Уж очень сложно было человечеству привыкнуть к мысли о том, что Земля – это вовсе не центр мироздания, а вполне обычная планета. А движение можно рассматривать не только относительно Земли, это движение будет абсолютным и относительно Солнца, звезд или любых других тел. Описывать движение небесных тел в системе отсчета, связанной с Солнцем, намного удобнее и проще, это убедительно показали сначала Кеплер, а потом и Ньютон, который на основании рассмотрения движения Луны вокруг Земли вывел свой знаменитый закон всемирного тяготения.

Закон движения центра масс

Теорема о движении центра масс (центра инерции) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему.

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие:

Импульс материальной точки и системы тел — это физическая векторная величина, которая является мерой действия силы, и зависит от времени действия силы.

Закон сохранения импульса (доказательство)

Закон сохранения импульса (Закон сохранения количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства.

Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц:

где импульс системы

а — равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы

Здесь — равнодействующая сил, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой, а — равнодействующая всех внешних сил, действующих k-ю частицу. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть . Поэтому вторая сумма в правой части выражения (1) будет равна нулю, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:

Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона.

Для систем из N частиц, в которых сумма всех внешних сил равна нулю

или для систем, на частицы которых не действуют внешние силы (для всех k от 1 до n), имеем

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы из N частиц, где N любое целое число, есть величина постоянная. Для N = 1 получаем выражение для одной частицы.

Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.

Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, но и для систем, сумма всех внешних сил равна нулю. Равенство нулю всех внешних сил достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.

Если проекция суммы внешних сил на какую-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.

Динамика вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ при вращательном движении можно сформулировать следующим образом:

«Произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку: «M = I·e.

Основной закон динамики вращательного движения ТВЕРДОГО ТЕЛА относительно закрепленной точки можно сформулировать следующим образом:

«Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно суммарному моменту внешних сил, действующих на тело. Моменты сил и инерции берутся относительно оси (z), вокруг которой происходит вращение: «

M(z) = I(z)·e

Относительность расстояния

Оказывается, что расстояние не является абсолютной величиной, а зависит от скорости движения объекта относительно выбранной системы отсчета (Рис. 1.).

Рис. 1. Следствие 1

Пусть у нас есть стержень длиной  в системе отсчета , относительно которой этот стержень покоится. Тогда длина , этого стержня в системе отсчета , относительно которой стержень движется со скоростью , определяется формулой:

Получается, что длина стержня  будет меньше ее первоначальной длины, если эта ручка будет двигаться со скоростью . В этом и состоит релятивистское сокращение длины.

В повседневной жизни мы сталкиваемся с относительно небольшими скоростями и поэтому наблюдать релятивистское сокращение длины не можем.

Сложное движение точки

Что такое сложное движение точки?

В предыдущей статье рассматривалось движение точки относительно одной системы координат, которую считали неподвижной. В реальном мире все находится в непрерывном движении, и неподвижная система координат в действительности не существует.
Поэтому нередко возникает необходимость рассматривать движение точек одновременно по отношению к двум системам отсчета, одна из которых условно считается неподвижной, а вторая определенным образом движется по отношению к первой.
Движение точки в этом случае называется сложным.

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным, а по отношению к подвижной системе координат – относительным.
Движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной называют переносным движением.
Абсолютное движение точки является сложным и состоит из относительного и переносного движения.

Скорость точки в абсолютном движении называется абсолютной скоростью, а скорость точки в относительном движении называется относительной скоростью. Скорость точки, мысленно закрепленной в данный момент времени на подвижной системе координат, называется переносной скоростью.
Связь между этими скоростями устанавливает теорема о сложении скоростей.

***

Теорема о сложении скоростей

Теорема: абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Пусть за время Δt точка переместилась из положения А в положение А3, двигаясь по траектории абсолютного движения, т. е. по дуге АА3 (см. рис. 1).
Если бы имело место только относительное движение, то точка перешла бы в положение А2. Можно представить, что точка А перешла в положение А3, двигаясь сначала только по траектории переносного движения (дуга АА2), а затем только по траектории относительного движения (дуга А2А3 равная дуге АА1).
Соединив точки А, А2 и А3 хордами, получим следующую зависимость между векторами перемещений точки А:

АА3 = АА2 + А2А3.

Разделим все члены равенства на Δt и перейдем к пределу при Δt, стремящемся к нулю:

lim (AA3)/Δt = lim (AA2)/Δt + lim (A2A3)/Δt,    что дает    v = ve + vr,

где: v – вектор абсолютной скорости; ve — вектор переносной скорости; vr – вектор относительной скорости.

Теорема доказана.

***

Пример решения задачи на сложение скоростей

Задача:
Стержень ОА (рис. 2) вращается в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки О по закону φ = t2.
По стержню равноускоренно движется ползун М, удаляясь от точки О.
Движение ползуна определяется уравнением s = ОМ = 2 + 2t2,
где s – путь в метрах, t – время в секундах.

Найти абсолютную скорость ползуна в момент времени t = 1 сек.

Решение.
Выберем неподвижную систему координат xOy; подвижной системой будет считать стержень.

В этом случае относительным движением является движение ползуна М по стержню. Следовательно, относительная скорость направлена вдоль стержня и равна

vr = ds/dt = Δt.

В момент времени t = 1 сек относительная скорость по модулю будет равна vr1 = 4 м/с.

Переносным движением является вращательное движение стержня ОА с мысленно закрепленным на нем в данный момент времени ползуном, поэтому переносная скорость ve ползуна направлена перпендикулярно стержню, причем ее значение определяется по формуле

ve = ωОМ = (dφ/dt)OM.

Так как ОМ = s = 2 + 2t2, а dφ/dt = 2t, то ve = 2t(2 + 2t2).

Полагая t = 1 сек, получим ve1 = 8 м/с.

Так как относительная и переносная скорости взаимно-перпендикулярны, а на основании теоремы о сложении скоростей v = ve + vr, то по теореме Пифагора получим:

v = √(ve2 + vr2).

Подставив в это уравнение значение скоростей при t = 1 сек, получим:

v = √(ve2 + vr2) = √(42 + 82) = 8,94 м/с.

Задача решена.

***

Учебные дисциплины
  • Инженерная графика
  • МДК.01.01. «Устройство автомобилей»
  •    Карта раздела
  •       Общее устройство автомобиля
  •       Автомобильный двигатель
  •       Трансмиссия автомобиля
  •       Рулевое управление
  •       Тормозная система
  •       Подвеска
  •       Колеса
  •       Кузов
  •       Электрооборудование автомобиля
  •       Основы теории автомобиля
  •       Основы технической диагностики
  • Основы гидравлики и теплотехники
  • Метрология и стандартизация
  • Сельскохозяйственные машины
  • Основы агрономии
  • Перевозка опасных грузов
  • Материаловедение
  • Менеджмент
  • Техническая механика
  • Советы дипломнику
Олимпиады и тесты
  • «Инженерная графика»
  • «Техническая механика»
  • «Двигатель и его системы»
  • «Шасси автомобиля»
  • «Электрооборудование автомобиля»

Физика 11 класс

«Электрический резонанс» — В цепь переменного тока с частотой 400 Гц включена катушка. Демонстрация настройки самодельного радиоприемника на волну. Три конденсатора переменной ёмкости. Контур. Составьте электрическую схему. В электрической цепи резонанс наступает при равенстве. Электрическая схема. Кусочек говядины помещают между обкладками плоского конденсатора. Резонанс в электрической цепи. Условие резонанса.

«Трансформатор, передача электроэнергии» — Трансформатор. Условная схема высоковольтной линии передачи. Павел Николаевич Яблочков. Проверь себя. Устройство для преобразования переменного тока. Принцип действия трансформатора. Устройство трансформатора. Коэффициент трансформации. Что такое генератор. Силовые трансформаторы. Тест. Цель урока. Ход урока. Передача электроэнергии. Почему гудит трансформатор.

«Световая интерференция» — Сложение волн. Интерференция механических волн. Интерференция света. Опыт Юнга. Качественные задачи. Условия когерентности световых волн. Формулы. Сложение в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн. Кольца Ньютона. Цели урока. Кольца Ньютона в отраженном свете. Интерференция световых волн. Как изменится радиус колец.

«Реакция электролиза» — Уравнение электролиза. Название вещества. Формула вещества. Ионы металла. Электролиз растворов и расплавов. Установите соответствие между формулой соли и схемой процесса. электроды. Электролиз расплавов и растворов. Легко разряжаются неметаллы. Вода. Установите соответствие.

«Полное отражение» — Один конец в леса вонзила. Лучи, отраженные от предметов сильно преломляются в нагретом воздухе. Предельный угол полного отражения, ?о. Другим за облака ушла. Пример: рассчитаем предельный угол полного отражения для воды (n=1,33); Эндоскоп. система передачи оптических изображений с помощью стекловолокон (световодов). Оптоволокно. Паук-серебрянка. Cветоводы – прозрачные трубки, окруженные оболочкой из материала с меньшим показателем преломления.

«Регистрация ионизирующих излучений» — Счетчик Гейгера-Мюллера. Экспериментальные методы регистрации ионизирующих излучений. Треки частиц. Счетчик Гейгера. Ионизация молекул. Сцинтилляционный счетчик. Принцип работы камеры Вильсона. Рабочий объем камеры. Камера Вильсона. Сцинтилляционный метод. Способы обнаружения альфа, бета-излучения. Пузырьковая камера. Название. Заполнители. Экспериментальные методы ионизирующих излучений.

«Физика 11 класс»

Основные понятия: момент силы, момент инерции, момент импульса

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массывращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Сложение скоростей

Рубрики: физика | Теги: сложение скоростей, физика | 27 августа 2013 | Svetlana

Складывая перемещения, вы обычно делаете сначала один сдвиг и только затем — другой. Однако при сложении скоростей приходится иметь дело с двумя движениями, происходящими в одно и то же время. Взгляните на задачу, показанную на рисунке. Чему равна скорость мяча относительно земли? Штриховая стрелка, полученная векторным сложением, показывает и модуль, и направление результирующей скорости. Вот другой пример. Рассмотрим самолет, который держит курс на север и летит со скоростью 600 км/ч относительно воздуха.

С запада на восток дует ветер, скорость которого равна 100 км/ч. После часа полета самолет окажется в 600 км к северу и в 100 км к востоку от начального пункта. Его скорость относительно Земли равна 608 км/ч и отклоняется на угол 9,5° к востоку от направления на север. Векторная диаграмма для такого составного движения выглядит точно так же, как и диаграмма перемещений. Для решения любой подобной задачи сделайте набросок векторов, не заботясь о точном соблюдении масштаба, обозначьте векторы, разложите их на взаимно перпендикулярные компоненты, обозначьте эти компоненты, сложите между собой х-компоненты, затем у-компоненты, найдите модуль и направление результирующего вектора.

Приведем еще один пример сложения скоростей. Предположим, что вам нужно переправиться через реку, которая течет на юг со скоростью 6 км/ч. В стоячей воде ваша лодка может плыть со скоростью 10 км/ч. Вы хотите пересечь реку точно поперек с западного берега на восточный. Для этого на всем пути вам придется направлять нос лодки под некоторым углом вверх по течению

(Если вы будете держать курс на восток, вас снесет вниз по течению реки.) Обратите внимание, что в этом случае направление результирующего вектора известно (на восток), но его модуль требуется определить. Модули двух скоростей известны (6 км/ч и 10 км/ч), но направление курса лодки и модуль результирующей скорости, с которой лодка пересекает реку, нужно найти

Это ситуация, типичная для навигации.

Для решения подобной задачи полезно не только сделать набросок векторов, но также записать в виде таблицы то, что известно и что не известно у каждого из векторов. Здесь фигурируют три вектора: скорость течения, скорость лодки относительно воды и результирующая скорость лодки относительно берегов. Таблица должна давать по две величины для каждой из этих скоростей: модуль и направление. Из шести величин в любой подобной задаче четыре должны быть обязательно даны, а две оставшиеся могут быть найдены.

Интересные технические игрушки:   Секрет калейдоскопа прост,   Обезьянка на проволоке

Автор Кл. Э. Суорц “Необыкновенная физика обыкновенных явлений”

Заключение

На этом уроке мы ознакомились со следствиями постулатов теории относительности и сравнили некоторые из них с эквивалентными следствиями и законами из классической механики.

Список литературы

1.  Жилко В.В., Маркович Я.Г. Физика. 11 класс. – 2011.

2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. Физика. 11 класс. Учебник.

3. Касьянов В.А. Физика, 11 класс. – 2004.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Сайт объединения учителей физики Санкт-Петербурга (Источник)

2. Интернет-сайт serg.fedosin.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Задача № 1. Посчитать, на сколько мы сможем замедлить время, если будем мчаться на космическом корабле со скоростью 0,8 с? Сколько будет длиться урок, если на Земле он идет 40 минут?

2. Задача № 2. Найдите полную энергию космического корабля с массой покоя 10 т, движущегося со скоростью  Какую скорость должно иметь тело, чтобы его продольные размеры уменьшились для наблюдателя в 3 раза?

Ссылка на основную публикацию