Практическая работа «движение тела, брошенного под углом к горизонту»

Динамика

Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту

Рассмотрим материальную точку М массой m, брошенную из точки О поверхности Земли с начальной скоростью v под углом α к горизонту (см. рис. 1).

Определим движение точки М, считая, что на нее действует только сила тяжести G (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Возьмем начало координат в точке О, ось x направим по горизонтали вправо (в направлении траектории, по которой движется точка), а ось y – по вертикали вверх. Очевидно, что проекция ускорения на ось х будет равна нулю, поскольку единственная сила, действующая на точку — сила тяжести — направлена вертикально вниз (вдоль оси y), а согласно аксиоме Ньютона, без силы нет и ускорения.
Составим дифференциальные уравнения, описывающие движение точки:

m (d2x/dt2) = 0;     m(d2y/dt2) = — mg.

Сокращая равенства на m, получим:

d2x/dt2 = 0;     (1)
  d2y/dt2 = — g.     (2)

Интегрируя первое из этих уравнений (1), получим:

dx/dt = С1, где С1 – некоторая произвольная постоянная.

Следовательно, проекция скорости точки М на ось x все время остается величиной постоянной, равной vx = v cosα или, на основании результата интегрирования уравнения (1), можно записать:

dx/dt = v cosα.

Интегрируя это уравнение, получаем:

x = vt cosα + С2.

По условию при t = 0    x = 0, следовательно, произвольная постоянная С2 равна нулю.
Окончательно имеем:

x = vt cosα.

Интегрируем уравнение (2), находим:

vy = dy/dt = — gt + C3.

Подставив в это уравнение значение t = 0, найдем произвольную постоянную С3:

С3 = vy = v sinα, следовательно:

dy/dt = v sinα – gt.

Интегрируя вторично, получаем:

y = vt sinα – gt2/2 + C4.

Поскольку по условию t = 0     y = 0 , следовательно, произвольная постоянная С4 равна нулю.
Окончательно получаем:

y = vt sinα – gt2/2.

Таким образом становится очевидным, что материальная точка М, брошенная с начальной скоростью v под углом α к горизонту, движется согласно уравнениям:

x = vt cosα,     (3)
  y = vt sinα – gt2/2.     (4)

***

Определение траектории, высоты и дальности полета

Для определения траектории точки М исключаем из полученной системы уравнений движения время. Для этого из формулы (3) выражаем время: t = x/(v cosα) и подставляем это значение в формулу (4).
Получим уравнение траектории:

y = x tgα – gx2/(2v2 cos2α).

Траектория точки М представляет собой параболу с вертикальной осью симметрии.

Определим время полета точки М, для чего во второе уравнение движения (4) подставим значение y = 0.
Тогда уравнение движения примет вид:

vt sinα – gt2/2 = 0.

Отсюда находим два значения времени t, при которых ордината равна нулю (корни уравнения):

t = 0;     t2 = (2v sinα)/g.

Первое значение времени соответствует началу полета, второе – конечной точке траектории полета.
Тогда общая продолжительность полета будет равна:

t2 – t = t2 = (2v sin α)/g.

Определим дальность полета по горизонтали, для чего в уравнение движения (3) подставим значение времени t2:

x2 = vt cosα = (v cosα×2v sinα)/g    или    x2 = vt cosα = (v2 sin 2α)/g.

Из полученного уравнения можно сделать вывод, что максимальная дальность полета xmax имеет место при sin2α = 1, т. е. при α = π/4 рад:

xmax = v2/g.

Определим наибольшую высоту подъема точки М, т. е. ее ординату в тот момент времени t1, когда проекция скорости на ось y окажется равной нулю:

dy/dt = vy = v sinα – gt1 = 0.

Из полученного равенства определим t1:

t1 = (v sinα)/g = t2/2.

Следовательно, наибольший подъем точки имеет место в середине пути полета, при x1 = x2/2.

Подставив значение t1 в уравнение (4), получим:

y1 = (v sinα×v sinα)/g – gv2 sin 2α/(2g2).

Из полученного уравнения можно сделать вывод, что максимальной высоты точка достигает при sinα = 1 или при α = π/2 рад, т. е. когда точка брошена под углом 90˚ к горизонту (вертикально вверх).

Полученные формулы и зависимости позволяют решать различные задачи на движение тел и точек под действием силы тяжести в приближенной форме, поскольку они не учитывают силы сопротивления движению со стороны воздуха (аэродинамическое сопротивление).

***

Учебные дисциплины
  • Инженерная графика
  • МДК.01.01. «Устройство автомобилей»
  •    Карта раздела
  •       Общее устройство автомобиля
  •       Автомобильный двигатель
  •       Трансмиссия автомобиля
  •       Рулевое управление
  •       Тормозная система
  •       Подвеска
  •       Колеса
  •       Кузов
  •       Электрооборудование автомобиля
  •       Основы теории автомобиля
  •       Основы технической диагностики
  • Основы гидравлики и теплотехники
  • Метрология и стандартизация
  • Сельскохозяйственные машины
  • Основы агрономии
  • Перевозка опасных грузов
  • Материаловедение
  • Менеджмент
  • Техническая механика
  • Советы дипломнику
Олимпиады и тесты
  • «Инженерная графика»
  • «Техническая механика»
  • «Двигатель и его системы»
  • «Шасси автомобиля»
  • «Электрооборудование автомобиля»

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Теперь рассмотрим случай, когда тело, движущееся под действием силы тяжести, имеет начальную скорость, направленную под некоторым углом к горизонту. Примерами такого движения могут служить: движение мяча, брошенного под различными углами к горизонту; движение снаряда, выпущенного из пушки; движение лыжника при прыжке с трамплина; движение воды из шланга и т. п.

ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разбить на два этапа.

На первом этапе при движении от начала траектории до точки, соответствующей наибольшей высоте подъёма, скорость тела уменьшается. На втором этапе тело будет двигаться вниз, аналогично движению тела, брошенного горизонтально.

Внимание учёных к такому виду движения начиная с XVI в. объяснялось необходимостью развития баллистики — науки о движении снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия, и в частности развития теории полёта пушечных ядер

Итальянский математик Н. Тарталья в своих сочинениях впервые утверждает, что траектория пушечного ядра является кривой линией, тогда как его предшественники считали, что она состоит из двух прямых, соединённых кривой линией.

Точную форму траектории тела, брошенного под утлом к горизонту, установил великий Галилей спустя почти сто лет после Тартальи. Именно он доказал, что траектории снарядов, если пренебречь сопротивлением воздуха, представляют собой параболы.

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом а к горизонту. Пусть при этом точка бросания тела и точка его падения лежат на горизонтальной прямой. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Это движение также можно представить как сумму двух движений, протекающих независимо друг от друга: равномерного движения вдоль оси ОХ и движения под действием силы тяжести вдоль оси OY.

Введём следующие обозначения: ʋ — начальная скорость, h — максимальная высота подъёма тела, l — дальность полёта.

Обозначим проекцию начальной скорости ʋ на ось ОХ через ʋ0x и на ось OY через ʋ0y. Поскольку движение вдоль оси ОХ является равномерным, то проекция скорости на эту ось остаётся неизменной: ʋ0x = ʋx.

ВЫСОТА ПОДЪЕМА ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

Поднимаясь вверх, тело движется равнозамедленно, и его скорость в момент времени t можно найти по формуле ʋ = ʋ + gt. Рассмотрим движение тела вдоль оси ОУ. Получаем, что

Обозначим максимальную высоту подъёма тела как h, а момент времени, в который тело достигло наибольшей высоты, через tпод. Поскольку в наивысшей точке траектории ʋy = 0, то

Воспользовавшись уравнением движения тела, получим

Подставив выражение (2) в выражение (3), получим

При отсутствии сопротивления воздуха время tпод, затраченное телом на подъём, составляет половину всего времени движения тела, т. е. оно равно времени от момента, когда тело достигает максимальной высоты, до момента падения тела.

ДАЛЬНОСТЬ ПОЛЕТА ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

Учитывая, что движение вдоль горизонтальной оси равномерное, дальность полёта I можно найти по формуле

где t — время полёта тела.

С учётом формулы (3) можно записать:

Подставив выражение (5) в формулу (4), получим

Полученное выражение свидетельствует о том, что при одном и том же значении начальной скорости дальность полёта зависит от значений проекций ʋx и ʋ0x и, следовательно, от величины угла а. В геометрии доказывается, что максимальное значение l достигается для угла а = 45.

Именно Н. Тарталья впервые установил, что наибольшая дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту, достигается под углом 45°. Этот результат он получил, пытаясь ответить на вопрос своего друга-артиллериста, под каким углом необходимо устанавливать ствол пушки для наибольшей дальности полёта ядра.

При одном и том же значении начальной скорости величина проекции ʋy будет тем больше, чем больше угол а. При этом с увеличением угла а величина проекции ʋx уменьшается.

Траекторию движения снарядов считали состоящей из двух прямолинейных участков и одного криволинейного участка. Это неудивительно, так как в реальной жизни с учётом сопротивления воздуха траектория такого движения уже не является параболой, а выглядит так, как изображено на рисунке сплошной линией.

Никколо Тарталья (1500—1557) В первом из своих сочинений «Nuova scienza» («Новая наука», 1537 г.) он впервые рассматривает вопрос о траектории выпущенного снаряда.

Вы смотрели Конспект по физике для 9 класса «Движение тела, брошенного под углом к горизонту».

Вернуться к Списку конспектов по физике (Оглавление).

Ссылка на основную публикацию