Глава1. физические основы механики (§ 1-7) >> §3 динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси >> задача — 3.35

Введение

Как вы знаете, многие предметы имеют форму круга. Чем это обусловлено?

Возьмем, к примеру, колесо. Понятно, что круглое колесо катится гораздо лучше, чем, например, квадратное. Или, скажем, стакан круглой формы удобнее держать в руке, чем стакан прямоугольной формы. Поэтому в какой-то момент человечество стало использовать круглые предметы. Но если вы используете круглые предметы, нужно научиться их измерять. Например, вам нужно знать длину окружности стакана, чтобы понять, сколько материала пойдет на его изготовление, или вам нужно знать площадь колеса, чтобы, например, определять, какой должен быть объем исходных материалов, чтобы его сделать.

Поэтому сегодня мы обсудим, как же учились находить длину окружности и площадь круга, и решим некоторые задачи, связанные с этим.

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 22 = 3,14 · 4 = 12,56 (см2)

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

7 : 2 = 3,5 (см)

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr2 ≈ 3,14 · 3,52 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см2)

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

S  =  π D2  ≈  3,14 72  =  3,14 49  =  153,86  =  38,465 (см2)
4 4 4 4

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м2.

Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

r = √S : π

следовательно радиус будет равен:

r ≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (м)

Длина окружности

Теперь, когда мы вспомнили все важные определения, мы можем подумать, как же нам измерить длину окружности.

Один из способов, который был предложен, таков: возьмем, например, стакан, у которого дно будет круглой формы, и обмотаем нитку вокруг дна этого стакана. Теперь мы можем сделать засечку там, где конец нитки совпал с ее началом, затем размотать эту нитку и замерить ее длину линейкой. Естественно, измерение будет не совсем точным, оно будет зависеть от точности наших прикладываний, от точности линейки и т. п. Тем не менее мы примерно сможем измерить длину окружности (см. Рис. 4).

Рис. 4. Способ измерения длины окружности

Конечно же, чем дальше человечество продвигалось по своим научным взысканиям, тем более точно оно могло измерить эту самую длину окружности.

Еще в древности люди заметили, что если вы увеличите радиус окружности, например в два раза, то и длина этой окружности увеличится в два раза. Если уменьшить радиус в три раза, то и длина уменьшится в три раза. Иначе говоря: длина окружности и ее радиус пропорциональны друг другу. То есть их отношение – это постоянное число (см. Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация пропорциональности длины окружности и радиуса

Так как отношение длины окружности к радиусу – постоянное число, то и отношение длины к диаметру – постоянное число.

Итак, пусть длина окружности , а диаметр окружности – . Так как отношение длины к диаметру всегда постоянное, то его можно примерно посчитать. Проделав это, вы примерно получите число  Так как число, которое равно отношению длины окружности к ее диаметру, не могли посчитать точно, его обозначили специальной буквой, буквой  (буква греческого алфавита).

На самом деле сейчас, когда в использование вошли мощные компьютеры, можно посчитать и тысячу, и даже миллионы знаков после запятой у числа . Это сделано, чтобы можно было более точно посчитать длину окружности. Для практических нужд нам достаточно знать первые несколько знаков: 3,14.

Кстати, есть специальные правила, которые позволяют запоминать число . Одно из правил – стихотворение:

Если очень постараться,

То запомнишь все как есть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Есть и другое довольно забавное правило, которое тоже позволяет запомнить первые несколько знаков от числа .

Это я знаю и помню прекрасно:

Пи многие знаки мне лишни, напрасны

Если посчитать количество букв в каждом слове, мы получим число 3,14159265358.

Таким образом, мы выписали еще более длинный ряд. На самом деле есть стихотворения еще более длинные, которые позволяют запоминать число π. Некоторые даже проводят соответствующее чемпионаты, есть, например, чемпионат мира по тому, кто больше запомнит знаков у числа π.

Вернемся к нашей теме.

Используя эту формулу, мы можем посчитать длину любой окружности практически точно, потому что диаметр мы можем просто измерить линейкой, и если мы умножим его число π, то мы получим длину. С другой стороны, число π мы знаем не совсем точно, но для наших приблизительных вычислений достаточно взять его с точностью до сотых или до тысячных, после чего, перемножив, получить искомое число длины. Не забывайте: если вы подставите вместо числа π, например, 3,14, или 3,1415, то длина у вас получится приблизительной, так что знак равенства в этом случае поставить не можем, а можем поставить лишь знак примерного равенства . Если же вы хотите точное равенство, то оставляйте в ответе букву π, это и будет правильным ответом.

Рассмотрим конкретные примеры, на которых это работает.

Площадь кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Фигура, заключенная между этими окружностями и будет кольцо, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.
Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью круга с большим радиусом и площадью круга с меньшим радиусом.

Площадь круга с радиусом r выражается формулой:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь кольца равна произведению числа на разницу квадратов внешнего и внутреннего радиусов:

Пример расчета площади кольца, если известны его радиусы.
Найдите площадь кольца, если его внешний радиус равен 3, а внутренний – 2
Площадь кольца вычисляется по формуле:
Подставив значения из условия задачи, имеем:

Информация о статье

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Категории: Геометрия

На других языках:

English: Calculate the Radius of a Circle, Español: calcular el radio de un círculo, Italiano: Calcolare il Raggio di una Circonferenza, Français: calculer le rayon d’un cercle, Português: Calcular o Raio de um Círculo, Deutsch: Berechnung des Radius eines Kreises, 中文: 计算圆半径, Nederlands: De straal van een cirkel berekenen, Bahasa Indonesia: Menghitung Jari Jari Lingkaran, ไทย: 4 วิธีคำนวณหาค่ารัศมีของวงกลม, हिन्दी: वृत्त के त्रिज्या की गणना करें, العربية: حساب نصف القطر, Čeština: Jak spočítat poloměr kruhu, Tiếng Việt: Tính Bán kính Đường tròn, 日本語: 円の半径を求める, 한국어: 원의 반지름 구하기, Türkçe: Bir Dairenin Yarıçapı Nasıl Hesaplanır

Эту страницу просматривали 612 617 раз.

Была ли эта статья полезной?

Да
Нет

 

Через площадь круга

  1. Разделите площадь круга на число пи.
  2. Найдите корень из результата.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • R — искомый радиус окружности.
  • S — площадь круга. Напомним, кругом называют плоскость внутри окружности.
  • π (пи) — константа, равная 3,14.

Через длину окружности

  1. Умножьте число пи на два.
  2. Разделите длину окружности на результат.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • R — искомый радиус окружности.
  • P — длина окружности (периметр круга).
  • π (пи) — константа, равная 3,14.

Через диаметр окружности

Если вы вдруг забыли, радиус равняется половине диаметра. Поэтому, если диаметр известен, просто разделите его на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • R — искомый радиус окружности.
  • D — диаметр.

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • R — искомый радиус окружности.
  • d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
  • a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • r — искомый радиус окружности.
  • a — сторона описанного квадрата.

Через стороны и площадь вписанного треугольника

  1. Перемножьте три стороны треугольника.
  2. Разделите результат на четыре площади треугольника.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • R — искомый радиус окружности.
  • a, b, с — стороны вписанного треугольника.
  • S — площадь треугольника.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • r — искомый радиус окружности.
  • S — площадь треугольника.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Через площадь сектора и его центральный угол

  1. Умножьте площадь сектора на 360 градусов.
  2. Разделите результат на произведение пи и центрального угла.
  3. Найдите корень из полученного числа.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • R — искомый радиус окружности.
  • S — площадь сектора круга.
  • α — центральный угол.
  • π (пи) — константа, равная 3,14.

Через сторону вписанного правильного многоугольника

  1. Разделите 180 градусов на количество сторон многоугольника.
  2. Найдите синус полученного числа.
  3. Умножьте результат на два.
  4. Разделите сторону многоугольника на результат всех предыдущих действий.

Иллюстрация: Лайфхакер

  • R — искомый радиус окружности.
  • a — сторона правильного многоугольника. Напомним, в правильном многоугольнике все стороны равны.
  • N — количество сторон многоугольника. К примеру, если в задаче фигурирует пятиугольник, как на изображении выше, N будет равняться 5.

Примеры на вычисление длины окружности

Пример 1

Дана окружность с радиусом 2 сантиметра. Чему равна ее длина?

Решение:

Ответ: 12,56 см.

Как видите, тут мы использовали знак приблизительного равенства.

Пример 2

Диаметр окружности равен 3 см, чему равна длина этой окружности?

Решение:

Ответ: 9,42 см.

Можно было записать ответ в виде: .

В этом случае мы можем поставить знак равенства, ведь значение абсолютно точное. Другой вопрос, что для практических целей оно не совсем удобно. Но так как математика – точная наука, то точным ответом будет .

Между прочим, формулу  можно преобразовать. Если вспомнить, что диаметр – это удвоенный радиус, мы можем записать формулу в виде

Или:

.

Ссылка на основную публикацию