Формулы скорости, высоты и времени при свободном падении тела вертикально вниз, с начальной скоростью не равной нулю, vο≠o

Итеративные алгоритмы

Итеративные алгоритмы называются так потому, что итеративно перераспределяют
объекты между кластерами.

Алгоритм k-means

Общая идея алгоритмов *-means: Минимизация расстояний между объектами в
кластерах. Останов происходит, когда минимизировать расстояния больше уже
невозможно. Минимизируемая функция в случае k-means такова: —
объект кластеризации (точка) — центр кластера
(центроид). | X | = N, | C | =
M

На момент старта алгоритма должно быть известно число С (количество
кластеров). Выбор числа С может базироваться на результатах предшествующих
исследований, теоретических соображениях или интуиции.

Описание алгоритма 0. Первоначальное распределение объектов по кластерам.
Выбираются С точек. На первом шаге эти точки считаются центрами кластеров. Выбор
начальных центроидов может осуществляться путем подбора наблюдений для
максимизации начального расстояния, случайным выбором наблюдений или выбором
первых наблюдений.

1. Итеративное перераспределение объектов по кластерам. Объекты
распределяются по кластерам путем подсчета расстояния от объекта до центров
кластеров и выбора наименьшего.

2. Когда все объекты распределены по кластерам, заново считаются их центры.
(можно считать по
каждой координате отдельно)

3. Если cj =
cj − 1, то это означает, что кластерные центры
стабилизировались и соответственно распределение закончено. Иначе переходим к
шагу 1.

Сложным является выбор числа кластеров. В случае, если предположений нет,
обычно делают несколько попыток, сравнивая результаты (скажем, сначала 2, потом
3 и т.д.). Проверка качества кластеризации После получений результатов
кластерного анализа методом k-средних следует проверить правильность
кластеризации (т.е. оценить, насколько кластеры отличаются друг от друга). Для
этого рассчитываются средние значения для каждого кластера. При хорошей
кластеризации должны быть получены сильно отличающиеся средние для всех
измерений или хотя бы большей их части. Достоинства алгоритма k-средних:

  • простота использования;
  • быстрота использования;
  • понятность и прозрачность алгоритма.

Недостатки алгоритма k-средних:

алгоритм слишком чувствителен к выбросам, которые могут искажать среднее.

Возможным решением этой проблемы является использование модификации алгоритма
— алгоритм k-медианы;

алгоритм может медленно работать на больших базах данных. Возможным
решением

данной проблемы является использование выборки данных.

Более строгой интерпретацией этого алгоритма является алгоритм hard
c-means
. Его отличия — в минимизируемой функции и строгости самого
алгоритма:

uij = 1, если , и uij = 0,, если нет. То есть
минимизируется расстояние от точек до центроида, а не от центроида до точек.

Тогда формула центроида тоже несколько меняется:

Сам же метод не меняется.

Farthest First — еще одна модификация k-means, особенностью его
является изначальный выбор центроидов — от 2 и выше они выбираются по принципу
удаленности от остальных(центроидом выбирается точка, наиболее отдаленная от
остальных центроидов).

Алгоритм Fuzzy C-Means

Нечеткие методы — это методы, основанные не на бинарной логике — где все
четко — элемент либо принадлежит одному кластеру, либо другому — а на
предположении, что каждый элемент в какой-то степени принадлежит определенному
кластеру. m — мера нечеткости, она как раз определяет нечеткость алгоритма.
Минимизируемая функция почти аналогична hard c-means:

0. Выбираем число классов M, меру нечеткости функцию расстояний
d(c,x) (обычно d(c,x) = | | x
c | | 2), критерий окончания поиска 0 . Задаем матрицу весов принадлежности
точки к кластеру с центром cj для всех точек и кластеров
(можно взять принадлежности к кластеру из k-means или просто по рандому,
ограничения для для (вытекают в общем из
определения нечеткой принадлежности)).

1. Вычисляем центроиды :

2. Перевычисляем веса :

3. Проверяем | | Uk
Uk − 1 | | (чаще всего достаточно — если да, то
заканчиваем, если нет, то переходим к шагу 1.

Постановка задачи

Что делать, если нет обучающего материала для построения классификатора? То
есть нет учителя, который покажет, как следует классифицировать тот или иной
объект?

В этом случае следует прибегнуть к кластеризации (или кластерному анализу).
Кластеризация — это обучение без учителя. При этом она выполняет схожие с
классификацией задачи: позволяет создать определенные правила, с помощью которых
в дальнейшем можно относить объекты к различным классам (группам). Однако, в
отличие от классификации, кластеризация эти группы еще и выявляет в наборе
объектов различными способами. Объект группируются, исходя из их сходства, или
близости.

Общий алгоритм кластеризации выглядит так:

  1. Приведение исходных данных к нужному виду (подготовка данных);
  2. Выбор меры близости;
  3. Выбор алгоритма (метаалгоритма) кластеризации;
  4. Выполнение алгоритма;
  5. Представление полученных результатов;
  6. Интерпретация полученных результатов.

Рассмотрим каждый из этапов более подробно.

На первом этапе происходит подготовка данных к кластеризации. Данные для
кластеризации чаще всего представляют в виде таблиц, где каждый столбец — это
один из атрибутов, строка — объект данных.

На втором этапе выбирают, как охарактеризовать сходство объектов. Для этого
используются различные меры близости, то есть, фактически, оценки близости двух
объектов друг к другу. Меры близости выбирают, исходя из свойств объектов. Так,
популярной мерой близости является декартово расстояние (в двумерном случае):
d2( x1,y1 > , x2,y2 > ) =
sqrt((x1
x2)2 + (y1
y2)2) или метрика Минковского в многомерном
случае: dn(x,y) = | |
X,Y | | Это достаточно хорошие меры близости для
представимых на координатной плоскости значений. Для нечисленных атрибутов
подбирают такие меры близости, которые позволяют свести их к численным и
сравнить. Так, основным расстоянием для строк является метрика Левенштейна,
которая устанавливает расстояние между двумя строками равным количеству
перестановок, которые необходимо совершить, чтобы превратить одну строку в
другую. Мера близости подбирается индивидуально для конкретных типов данных.
Иногда адекватной меры близости подобрать не удается, и приходится ее
придумывать самим.

На третьем этапе выбирают алгоритм, по которому мы будем строить модель
данных, то есть группировать объекты. Выбор алгоритма сложен, и зачастую
приходится использовать несколько алгоритмов прежде, чем будет получен нужный
(интерпретируемый) результат. Иногда алгоритмы кластеризации комбинируют, чтобы
получить метаалгоритм, результат выполнения одного когда служит промежуточным
результатом выполнения другого.

На четвертом этапе алгоритм реализуется, и его результатом является
построенная модель данных, то есть группировка объектов по кластерам.

На пятом этапе полученную группировку пытаются представить в наиболее удобном
для интерпретации виде. Алгоритмы кластеризации на выходе выдают только группы и
объекты, к ним принадлежащие. Но для человека наиболее интересным является не
это чаще всего, а то, исходя из чего — каких свойств объекта — эти объекты были
отнесены к определенной группе. Представление результатов кластеризации призвано
помочь наиболее точно интерпретировать результаты выполнения алгоритма.

И, наконец, на последнем этапе кластеризации результаты выполнения алгоритма
интерпретируются, из них получается знание, то есть полезные правила, которые
можно использовать в дальнейшем для отнесения новых объектов к той или иной
группе — кластеру.

Плотностные алгоритмы

Другой класс алгоритмов — плотностные. Они так называются потому, что
определяют кластер как группу объектов,расположенных достаточно кучно. Под
кучностью понимают то, что в эпсилон-окрестности точки есть некоторое
минимальное количество других объектов: d(xi,xj)
для некоторого количества j > Minpts.

Алгоритм DBSCAN

Алгоритм DBSCAN обычно проводится над данными, упорядоченными в R-деревья
(для удобства выборки окрестных точек). Но в общем случае этого не требует.

0. Выбираем окрестность ε, в которой мы будем
требовать наличия Minpts объектов, и сам Minpts.

1. Берем произвольный еще не обработанный объект. Проверяем для него, что в
эпсилон-окрестности точки есть некоторое минимальное количество других объектов:
d(xi,xj)
для некоторого количества j > Minpts. Если это не так, то
очевидно, что эта точка — шум. Берем следующую.

2. Если это не так, то помечаем эту точку как принадлежащую кластеру. Это так
называемая корневая точка. Заносим окружающие ее точки в отдельную категорию.

2.1. Для каждой еще не обработанной точки из этой категории сначала помечаем
ее как принадлежащую кластеру, а затем проверяем то же самое: что в
эпсилон-окрестности точки есть некоторое минимальное количество других объектов:
d(xi,xj)
для некоторого количества j > Minpts. Если это так, то заносим
эти точки в эту же категорию.

2.2. После проверки выносим точку из этой временной категории. Очевидно, что
рано или поздно точки в данной категории кончатся (мы достигнем границ кластера,
где правило кучности не выполняется). Тогда переходим к шагу 1. Иначе
возвращаемся к шагу 2.1.

Этот алгоритм имеет сложность O(NlogN). Очевидно, что основным его
недостатком является неспособность связывать кластеры через узкие места, где
правило плотности не выполняется.

Классификация алгоритмов

  • Иерархические алгоритмы;
    • Агломеративные алгоритмы;
    • Дивизимные алгоритмы.
  • Неиерархические алгоритмы
    • По методу
      • Итеративные
      • Плотностные
      • Модельные
      • Концептуальные
      • Сетевые.

Принято делить все алгоритмы кластеризации на иерархические и
неиерархические. Деление это происходит по выдаваемым на выходе данным.
Иерархические алгоритмы на выходе выают некую иерархию кластеров, и мы вольны
выбрать любой уровень этой иерархии для того, чтобы интерпретировать результаты
алгоритма. Неиерархические — это, фактически, все алгоритмы, которые на выходе
иерархию не выдают (или выбор интерпретации происходит не по уровню иерархии).

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

  • при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
  • при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
  • при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Как же рассчитать скорость?

На самом деле, рассчитать ее можно несколькими способами:

  • через формулу нахождения мощности;
  • через дифференциальные исчисления;
  • по угловым параметрам и так далее.

В этой статье рассматривается самый простой способ с самой простой формулой — нахождение значения этого параметра через расстояние и время. Кстати, в формулах дифференциального расчета также присутствуют эти показатели. Формула выглядит следующим образом:

v=S/t, где

  • v — скорость объекта,
  • S — расстояние, которое пройдено или должно быть пройдено объектом,
  • t — время, за которое пройдено или должно быть пройдено расстояние.

Как видите, в формуле первого класса средней школы нет ничего сложного. Подставив соответствующие значения вместо буквенных обозначений, можно рассчитать быстроту передвижения объекта. Например, найдем значение скорости передвижения автомобиля, если он проехал 100 км за 1 час 30 минут. Сначала требуется перевести 1 час 30 минут в часы, так как в большинстве случаев единицей измерения рассматриваемого параметра считается километр в час (км/ч). Итак, 1 час 30 минут равно 1,5 часа, потому что 30 минут есть половина или 1/2 или 0,5 часа. Сложив вместе 1 час и 0,5 часа получим 1,5 часа.

Теперь нужно подставить имеющиеся значения вместо буквенных символов:

v=100 км/1,5 ч=66,66 км/ч

Здесь v=66,66 км/ч, и это значение очень приблизительное (незнающим людям об этом лучше прочитать в специальной литературе), S=100 км, t=1,5 ч.

Таким нехитрым способом можно найти скорость через время и расстояние.

А что делать, если нужно найти среднее значение? В принципе, вычисления, показанные выше, и дают в итоге результат среднего значение искомого нами параметра. Однако можно вывести и более точное значение, если известно, что на некоторых участках по сравнению с другими скорость объекта была непостоянной. Тогда пользуются таким видом формулы:

vср=(v1+v2+v3+…+vn)/n, где v1, v2, v3, vn — значения скоростей объекта на отдельных участках пути S, n — количество этих участков, vср — средняя скорость объекта на всем протяжении всего пути.

Эту же формулу можно записать иначе, используя путь и время, за которое объект прошел этот путь:

  • vср=(S1+S2+…+Sn)/t, где vср — средняя скорость объекта на всем протяжении пути,
  • S1, S2, Sn — отдельные неравномерные участки всего пути,
  • t — общее время, за которое объект прошел все участки.

Можно записать использовать и такой вид вычислений:

  • vср=S/(t1+t2+…+tn), где S — общее пройденное расстояние,
  • t1, t2, tn — время прохождения отдельных участков расстояния S.

Но можно записать эту же формулу и в более точном варианте:

vср=S1/t1+S2/t2+…+Sn/tn, где S1/t1, S2/t2, Sn/tn — формулы вычисления скорости на каждом отдельном участке всего пути S.

Таким образом, очень легко найти искомый параметр, используя данные выше формулы. Они очень просты, и как уже было указано, используются в начальных классах. Более сложные формулы базируются на этих же формулах и на тех же принципах построения и вычисления, но имеют другой, более сложный вид, больше переменных и разных коэффициентов. Это нужно для получения наиболее точного значения показателей.

Иерархические алгоритмы

Иерархические алгоритмы делятся на агломеративные и дивизимные.
Агломеративные алгоритмы — это алгоритмы, которые начинают свое выполнение с
того, что каждый объект заносят в свой собственный кластер и по мере выполнения
объединяют кластеры, до тех пор, пока в конце не получает один кластер,
включающий в себя все объекты набора. Дивизимные алгоритмы, напротив, сначала
относят все объекты в один кластер и затем разделяют этот кластер до тех пор,
пока каждый объект не окажется в своем собственном кластере.

Представление результатов иерархического
алгоритма

Представлением результата иерархического алгоритма является дендрограмма —
схема, показывающая, в какой последовательности происходило слияние объектов в
кластер/разделение объектов на кластеры.

Алгоритм ближайшего соседа

Достаточно ярким примером иерархического агломеративного алгоритма является
алгоритм «соседей». Это алгоритмы ближнего, дальнего и среднего соседей. Он
объединяет кластеры, исходя из расстояния между ближайшими, наиболее удаленными
или центральными объектами кластеров. Рассмотрим схему выполнения алгоритма
ближайшего соседа:

  1. Составление матрицы попарных расстояний между объектами. Каждому объекту
    назначается свой кластер;
  2. Нахождение в матрице наименьшего элемента (то есть наименьшего расстояния
    между соседями);
  3. Объединение кластеров, в которые входят объекты, имеющие наименьшее
    расстояние.
  4. Проверка: сколько осталось кластеров. Если один, то завершить алгоритм.
    Если два и более, то перейти к шагу 1.

Результаты выполнения этого алгоритма хорошо представимы в виде дендрограммы,
а кластеры на каждом из этапов его выполнения легко получимы путем проведения
линии, перпедикулярной направлению распространения этой дендрограммы.

Задача 3

Найти относительную скорость двух автомобилей, движущихся по двум дорогам, пересекающимся под , в одном направлении со скоростями по 30 м/с. Варианты ответов: 1. 0 м/с; 2. 30 м/с; 3. 60 м/с; 4. 45 м/с.

Дано: ;

Найти:

Решение

Относительная скорость второго автомобиля по отношению к первому равна:

На рисунке 5 выполнен схематический рисунок к задаче.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Для того чтобы найти разность двух векторов, необходимо выражение относительной скорости представить в таком виде:

Тогда к концу вектора  прикладывается начало вектора  и эти вектора соединяются. Полученный вектор является вектором относительной скорости.

Треугольник скоростей является равнобедренным, с углом при вершине , следовательно:

Ответ: 2. 30 м/с.

Домашнее задание

  1. Упражнение 2 (1, 2) стр. 27 – Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10 (см. список рекомендованной литературы)
  2. Какие виды механического движения вам известны?
  3. Самолет летит с грузом к месту назначения на высоте 405 м над песчаной местностью с горизонтальным профилем со скоростью 130 м/с. Чтобы груз попал в намеченное место на земле (силой сопротивления движения пренебречь), летчик должен освободить его от крепежа, не долетев до цели. Варианты ответа: 1. 0,53 км 3. 0,95 км 2. 0,81 км 4. 1,17 км
  4. Поезд половину пути проехал со скоростью 72 км/ч, а вторую половину – в 1,5 раза медленнее. Определить среднюю скорость на всем пути.

Список литературы

  1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10–11. – М.: Дрофа, 2006.
  3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. – М.: Наука, 1988.
  4. А.В. Пёрышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.
  5. Орлов В.А., Демидова М.Ю., Никифоров Г.Г., Ханнанов Н.К. Оптимальный банк заданий для подготовки к ЕГЭ. Единый государственный экзамен 2015. Физика. Учебное пособие. – М.: Интеллект-Центр, 2015.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Physics.ru ().
  2. Интернет-портал Indigomath.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Afportal.ru (Источник).
Ссылка на основную публикацию