Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

дальнейшее чтение

электромагнетизм

журнальные статьи

Максвелл, Джеймс Клерк, « Теория Динамическая электромагнитного поля », Философские труды Королевского общества в Лондоне 155, 459-512 (1865). (Эта статья сопровождала 8 декабря 1864 презентации Максвелла Королевского общества.)

учебники Бакалавриат уровня

  • Гриффитс, Дэвид Дж (1998). Введение в электродинамике (3 — е изд.) . Prentice Hall. ISBN  0-13-805326-X .
  • Типлер, Paul (2004). Физика для ученых и инженеров: (. 5 — е изд) Электричество, магнетизм, свет и Elementary современной физики . WH Freeman. ISBN  0-7167-0810-8 .
  • Эдвард М. Перселл, Электричество и магнетизм (McGraw-Hill, Нью — Йорк, 1985). ISBN  0-07-004908-4 .
  • Герман А. Haus и Джеймс Р. Мелчер, электромагнитные поля и энергия (Prentice-Hall, 1989) ISBN  0-13-249020-X .
  • Банеш Гофман, теория относительности и ее корни (Freeman, Нью — Йорк, 1983). ISBN  0-7167-1478-7 .
  • Дэвид Х. Staelin, Энн У. Морджентэлер, и Джин Au Kong, электромагнитные волны (Prentice-Hall, 1994) ISBN  0-13-225871-4 .
  • Чарльз Ф. Стивенс, шесть основных теорий современной физики , (MIT Press, 1995) ISBN  0-262-69188-4 .
  • Markus Зан, теория электромагнитного поля: а подход к решению проблемы , (John Wiley & Sons, 1979) ISBN  0-471-02198-9

учебники Graduate уровня

  • Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3 — е изд.) . Wiley. ISBN  0-471-30932-X .
  • Ландау Л. Д. , Классическая теория полей ( Курс теоретической физики : Том 2), (Баттерворта-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN  0-08-018176-7 .
  • Максвелл, Джеймс С. (1954). Трактат об электричестве и магнетизме . Дувр. ISBN  0-486-60637-6 .
  • Мизнер, Кип С. Торн , Уилер , Гравитация (1970) WH Freeman, Нью — Йорк; ISBN  0-7167-0344-0 . (Обеспечивает обработку уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм.)
  • PC Matthews Vector Исчисление , Springer 1998, ISBN  3-540-76180-2
  • HM Шей, Div Град Curl и все , что: неофициальный текст на векторном исчислении , 4 — е издание (WW Нортон & Company, 2005) ISBN  0-393-92516-1 .

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского-Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название СГС СИ Примерное словесное выражение
Закон Гаусса Поток электрической индукции через замкнутую поверхность sпропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s.
Закон Гаусса для магнитного поля Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон индукции Фарадея Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхностьs, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
Теорема о циркуляции магнитного поля Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s, пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

— двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера-Максвелла (её границей является замкнутый контур ).

§ — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл);

§ — электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади направлен из объёма наружу. Ориентация при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлениемправого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Происхождение уравнения электромагнитной волны

Открытка из Максвелла Питера Тэт .

В своей статье под названием 1865 года динамической теории электромагнитного поля Максвелл использовал поправку к закону циркуляционного Ампера , что он сделал в третьей части его 1861 года бумаги О физических линиях сил . В части VI своей статье под названием 1864 Электромагнитная теория света , Максвелл комбинированный ток смещения с некоторыми из других уравнений электромагнетизма , и он получил волновое уравнение со скоростью , равной скорости света. Он отметил:

Вывод Максвелла уравнения электромагнитной волны был заменен в современной физике образования, гораздо менее громоздкий способом , включающем комбинируя исправленную версию закона циркуляционного Ампера с законом индукции Фарадея .

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме , используя современный метод, мы начинаем с современной « форме Хевисайда» уравнений Максвелла . В вакуумно и заряд свободного пространства, эти уравнения:

∇⋅Езнак равно∇×Езнак равно-∂В∂T∇⋅Взнак равно∇×Взнак равноμε∂Е∂T{\ Displaystyle {\ {начинается выровнено} \ набли \ CDOT \ mathbf {Е} & = 0 \\\ наб \ раза \ mathbf {E} & = — {\ гидроразрыва {\ парциального \ mathbf {B}, {} \ частичная т}} \\\ набла \ CDOT \ mathbf {B}, & = 0 \\\ набла \ \ mathbf раз {B} = & \ му _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ гидроразрыва {\ парциальное \ mathbf {Е}} {\ парциальное т}} {\\\ конец выровнен}}}

Таковы общие уравнения Максвелла специализированные в случае с зарядом и током и устанавливается в ноль. Принимая завиток локона уравнений дает:

∇×(∇×Е)знак равно-∂∂T∇×Взнак равно-με∂2Е∂T2∇×(∇×В)знак равноμε∂∂T∇×Езнак равно-με∂2В∂T2{\ Displaystyle {\ начинаются {выровнены} \ набли \ раза \ влево (\ набла \ раз \ mathbf {E} \ справа) & = — {\ гидроразрыв {\ парциального} {\ парциального т}} \ наб \ раза \ mathbf {B} = — \ му _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ гидроразрыва {\ парциальное ^ {2} \ mathbf {E}} {\ парциальное т ^ {2}}} \\\ набла \ раз \ левый (\ набла \ раза \ mathbf {B}, \ справа) & = \ му _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ гидроразрыва {\ парциального} {\ парциального т}} \ наб \ раза \ mathbf {E} = — \ му _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ гидроразрыва {\ парциальное ^ {2} \ mathbf {B}} {\ парциальное т ^ {2}}} \ {конец выровнен}}}

Мы можем использовать векторную идентичность

∇×(∇×В)знак равно∇(∇⋅В)-∇2В{\ Displaystyle \ набла \ раз \ влево (\ набла \ раз \ mathbf {V}, \ справа) = \ набла \ влево (\ набла \ CDOT \ mathbf {V}, \ справа) — \ набла ^ {2} \ mathbf { V}}

где V является любой вектор — функция пространства. А также

∇2Взнак равно∇⋅(∇В){\ Displaystyle \ набла ^ {2} \ mathbf {V} = \ наб \ CDOT \ влево (\ наб \ mathbf {V}, \ справа)}

где ∇ V представляет собой Диадические , который при работе на оператором дивергенции ∇ ⋅ дает вектор. поскольку

∇⋅Езнак равно∇⋅Взнак равно{\ Displaystyle {\ {начинается выровнено} \ набли \ CDOT \ mathbf {Е} & = 0 \\\ наб \ CDOT \ mathbf {B}, & = 0 \ {конец выровнен}}}

то первое слагаемое справа в тождестве обращается в нуль, и мы получаем волновые уравнения:

1с2∂2Е∂T2-∇2Езнак равно1с2∂2В∂T2-∇2Взнак равно{\ Displaystyle {\ начинаются {выровнен} {\ гидроразрыва {1} {C_ {0} ^ {2}}} {\ гидроразрыва {\ парциальное ^ {2} \ mathbf {E}} {\ парциальное т ^ {2} }} — \ набла ^ {2} \ mathbf {Е} & = 0 \\ {\ гидроразрыва {1} {C_ {0} ^ {2}}} {\ гидроразрыва {\ парциальное ^ {2} \ mathbf {B }} {\ парциальное т ^ {2}}} — \ набла ^ {2} \ mathbf {B}, & = 0 \ {конец выровнен}}}

где

сзнак равно1μεзнак равно2.99792458×108Миз{\ Displaystyle C_ {0} = {\ гидроразрыва {1} {\ SQRT {\ му _ {0} \ varepsilon _ {0}}}} = 2.99792458 \ раз 10 ^ {8} \; {\ textrm {м / s}}}

является скорость света в свободном пространстве.

Ковариантная форма однородного волнового уравнения

Замедление времени в поперечном движении. Требование о том , что скорость света постоянна в каждой инерциальной системе отсчета приводит к специальной теории относительности .

Эти релятивистские уравнения можно записать в контравариантном виде , как

Aμзнак равно{\ Displaystyle \ Box A ^ {\} мю = 0}

где электромагнитный потенциал является

Aμзнак равно(φс,A){\ Displaystyle А ^ {\ му} = \ влево ({\ гидроразрыва {\ Phi} {C}}, \ mathbf {A}, \ справа)}

с калибровочным условием Лоренца :

∂μAμзнак равно,{\ Displaystyle \ парциальное _ {\ му} A ^ {\ му} = 0,}

и где

знак равно∇2-1с2∂2∂T2{\ Displaystyle \ коробка = \ набла ^ {2} — {\ гидроразрыва {1} {с ^ {2}}} {\ гидроразрыва {\ парциальное ^ {2}} {\ парциальное т ^ {2}}}}

является оператор Даламбера .

Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии

В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

СГС СИ

В оптическом диапазоне частот вместо диэлектрической проницаемости ε используется показатель преломления (зависящий от длины волны), показывающий отличие скорости распространения монохроматической световой волны в среде от скорости света в вакууме. При этом в оптическом диапазоне диэлектрическая проницаемость обычно заметно меньше чем на низких частотах, а магнитная проницаемость большинства оптических сред практически равна единице. Показатель преломления большинства прозрачных материалов составляет от 1 до 2, достигая 5 у некоторых полупроводников. В вакууме и диэлектрическая, и магнитная проницаемости равны единице: ε = μ = 1.

Поскольку уравнения Максвелла в линейной среде являются линейными относительно полей и свободных зарядов и токов , справедлив принцип суперпозиции:

Если распределения зарядов и токов создают электромагнитное поле с компонентами , а другие распределения создают, соответственно, поле , то суммарное поле, создаваемое источниками , будет равно .

При распространении электромагнитных полей в линейной среде в отсутствие зарядов и токовсумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.

16.4. Изучение диполя

— это два разноименных точечных заряда, находящихся на некотором
расстоянии друг от друга
(см.).

Пусть расстояние между зарядами диполя периодически изменяется
с течением времени, т.е. ,
диполь колеблется. Тогда  .

Электрическое и магнитное поле диполя будет переменным, диполь
будет излучать электромагнитные волны.


   

Точный расчет на основе уравнений Максвелла показывает,
что электрическое поле в этой волне, распространяющейся в вакууме:

Направление векторов
и изображено на рисунке.
Угол θ — это угол между направлением дипольного
момента и направлением
излучения.

Пусть ,
тогда:

Для E из ()
имеем:

Из ():

— это графическое изображение в полярной системе координат
зависимости интенсивности излучения I, (16.4.2.2),
от угла θ.

На рисунке дана половина пространственного изображения диаграммы
направленности. Полная диаграмма похожа на бублик без дырки.

Ссылка на основную публикацию